Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Определение скалярного произведения
Пусть даны векторы . Приложим эти векторы к одной точке , и пусть , Углом между двумя ненулевыми векторами называется наименьший угол между лучами и . Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между векторами не определён. Угол между векторами и обозначается через 𝜑 или . Очевидно, что . Определение5.1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла 𝜑 между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение полагается равным нулю. Скалярное произведение векторов обозначается следующим образом . Итак, по определению . Пусть - ненулевые векторы. Обозначим через – проекцию вектора на ось, определяемую ненулевым вектором Тогда в силу теоремы 4.1 настоящей главы , где 𝜑 – угол между векторами Следовательно равенство (1) может быть записано в виде . Аналогично доказывается справедливость равенства Заметим, что равенство (2) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора , в том числе нулевого. И равенство (3) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора в том числе нулевого. Физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точкаприложения которой перемещается из начала в конец вектора, то работа, производимая этой силой равна скалярному произведению . Два ненулевых вектора называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол 𝜑 между ними является прямым. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы также считаются ортогональными. Теорема 5.1. Для ортогональности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. Достаточность. Пусть . Тогда в силу определения скалярного произведения . Из последнего равенства мы имеем либо 1) либо 2) . В первом случае хотя бы один из векторов нулевой, и тогда векторы считаются ортогональными по определению. Во тором случае , следовательно угол 𝜑 прямой, т.е. векторы ортогональны. Необходимость. Если векторы ортогональны, то либо угол 𝜑 прямой, либо хотя бы один из векторов нулевой, но в любом случае Теорема 5.1 доказана. Теорема 5.2. Для любых векторов и числа 1) ;
2) ; 3) 4) , если - ненулевой вектор и , если - нулевой вектор. Свойство 1 следует из определения скалярного произведения. Действительно, если ненулевые векторы, то . Докажем свойство 2. Рассмотрим случай, когда - нулевой вектор. Тогда , и = . В этом случае справедливость свойства 2 очевидна. Пусть теперь - ненулевой вектор. Тогда согласно теореме 4.5 §4 главы 3 Свойство 2 доказано. Докажем свойство 3. В случае, когда нулевой вектор, справедливость свойства 3 очевидна. Пусть - ненулевой вектор, тогда . Свойство 3 доказано. Докажем свойство 4. Из определения скалярного произведения следует, что Из последнего равенства следует справедливость свойства 4. Замечание. Свойства 2) и 3) называются свойством линейности скалярного произведения по первому множителю. Из свойства 1) следует, что скалярное произведение обладает свойством линейности и по второму множителю, т.е. и для любых векторов и любого действительного числа 𝜆. Рассмотрим следующий вопрос: Как можно выразить скалярное произведение векторов , зная их координаты. Теорема 5.3. Если вектор имеет декартовы координаты , а координаты , то скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е. Доказательство. Представим векторы , . Тогда Пользуясь свойствами скалярного произведения, получим Учитывая в правой части последнего равенства, что , , , получим Теорема 5.3 доказана. Следствие. Для ортогональности двух векторов и необходимо и достаточно, чтобы . Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теорем 5.1 и 5.3. Пусть - прямоугольные декартовы координаты вектора в прямоугольной системе координат . Согласно теореме 5.3 С другой стороны . Следовательно Если - прямоугольные координаты вектора в системе координат , то
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 61; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.33.41 (0.007 с.) |