Пучок прямых, уравнение пучка прямых.

Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку , будем называть пучком прямых, проходящих через точку .

Пучок прямых, проходящих через точку  будем обозначать .

Рассмотрим множество всевозможных прямых, проходящих через некоторую точку  и не параллельных оси . Пусть  – уравнение произвольной прямой из указанного множества. Тогда . Подставляя найденное выражение для коэффициента  в уравнение прямой, получим

Уравнение любой прямой, проходящей через точку  и не параллельной оси , получается из уравнения (42) при соответствующем подборе углового коэффициента . Это уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку

Пусть прямые заданные общими уравнениями

 пересекаются в единственной точке .

Справедлива следующая теорема:

Теорема 2.2. Для того, чтобы прямая ,заданная общим уравнением принадлежала пучку прямых, проходящих через точку , необходимо и достаточно, чтобы существовали такие действительные числа  и β, , что , , .

Доказательство. Докажем сначала достаточность.

Пусть выполнены равенства (45) Докажем, что прямая  принадлежит пучку . Для этого достаточно доказать справедливость равенства

Так как, точка  принадлежит как прямой , так и прямой , то её координаты ,  удовлетворяют равенствам

. (46)

Рассмотрим выражение . Подставляя в место коэффициентов  соответствующие выражения из равенств (45), получим

Достаточность доказана.

Докажем необходимость. Пусть прямая  задана её общим уравнением  принадлежит пучку , т.е. проходящих через точку .

Покажем, что существуют такие действительные числа  и β, , что верны равенства (45).

Пусть  произвольная, отличная от , точка прямой . Положим . Поскольку точка  не может одновременно лежать на , то по крайней мере одно из чисел  или  отлично от нуля.

Рассмотрим прямую заданную уравнением

                              (47)

Из равенств

.

Следует, что точки  и  лежат на прямой, заданной уравнением (47).

 Так как, через две различные точки  и проходит единственная прямая, то прямая  совпадает с прямой, заданной уравнением (47). Необходимость доказана.

 

Из теоремы следует, что прямая  с общим уравнением  принадлежит пучку прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых

Тогда и только тогда, когда уравнение прямой  можно представить в виде

Заметим, что уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых  можно получить путём соответствующего подбора  и β.

В частности, если , , мы получим уравнение прямой . Если , мы получим уравнение прямой .