Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Классификация линий второго порядка.
В зависимости от знака величины общее уравнение линии второго порядка разделяются на следующие три типа: 1. эллиптический тип 2. гиперболический тип 3. параболический тип. Нами доказано, что любое уравнение линии второго порядка при путём преобразования координат (параллельный перенос и поворот на определённый угол ) можно привести к виду Очевидно, что при преобразовании координат меняется только вид уравнения линии второго порядка. Поэтому мы можем вместо общего уравнения линии второго порядка исследовать уравнение более простого вида, а именно уравнение (47). 1) Рассмотрим линии эллиптического типа, т.е. . Выше было доказано, что , т.е. величина является инвариантом относительно указанных преобразований координат. Так как , то , и следовательно, . Рассмотрим два случая а) , , . Тогда из уравнения (47) имеем Т.к. и , то обозначая и , получим Очевидно, что последнему уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса. б) , , . Тогда из уравнения (47) имеем Т.к. и , обозначая , , получим Т.е. в этом случае уравнение (47) определяет эллипс. (Рассмотреть случай , , ) Случаи , , и , , рассматриваются аналогично. 2) Гиперболический тип. . Согласно лемме 3.1 общее уравнение линии второго порядка приводится к виду . Рассмотрим следующие возможные случаи: а) , , . Перенесём в правую часть уравнения и разделим на него, получим Так как и , то, обозначая и , получим Последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы. б) , , . Тогда уравнение (47) примет вид . Обозначая , , получим или . Последнему уравнению удовлетворяют координаты точек, расположенных на пересекающихся прямых и . Таким образом, в данном случае, уравнение (47) определяет пару пересекающихся прямых. в) , , . В этом случае уравнение (47) можно записать в виде . Так как и , то обозначая и , получим Что является уравнением гиперболы, сопряжённой к гиперболе Все оставшиеся случаи получаются из рассмотренных случаев а, б, в. 3. Параболический тип. Если , то поворотом осей координат на угол , который был рассмотрен при доказательстве леммы 3.1, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду
Так как выражение является инвариантом относительно поворота осей координат, то . Т.е либо , либо . Пусть и . Тогда из уравнения (49) найдем Из этого уравнения имеем или Перенесём начало координат параллельно оси в точку и перейдём к новым координатам и , тогда И уравнение (50) примет вид где . Рассмотрим два случая. а) . Тогда уравнение (51) можно записать в виде Перенесём начало координат параллельно оси в точку , получим , . Учитывая последние равенства в уравнении (52), получим или , где . б) , тогда Если и имеют разные знаки, то уравнение (53) можно записать в следующем виде: где . Уравнение (54) в свою очередь можно записать в виде . Это уравнение определяет пару параллельных прямых и . Если и имеют одинаковые знаки, то уравнение (53) примет вид: , где . Очевидно последнему уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мнимых параллельных прямых. Наконец, если , то уравнение (53) примет вид или . Последнее уравнение определяет ось и оно называется уравнением пары совпадающих прямых. В заключении сформулируем следующую теорему, справедливость которой следует из проведённого выше рассуждений. Теорема 4.1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии второго порядка Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 1) – эллипс; 2) - мнимый эллипс; 3) - пара мнимых пересекающихся прямых; 4) - гипербола; 5) - пара пересекающихся прямых; 6) парабола; 7) - пара параллельных прямых; 8) - пара мнимых параллельных прямых; 9) - пара совпадающих прямых.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 108; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.235.104 (0.012 с.) |