Порядок розв’язку методом еквівалентних перетворень

5.2.1 Вводимо початкові дані:

- Комплекс діючого значення джерела живлення Е:= ·,

- Частота f: = 6· 10³, ω:= 2·π·f ω = 3.77·10⁴;

- Опір R ₁ := 30; X_{L 1} :=113.1; X _C3 := 26.526; R ₃:= 15;

- Ємність С₂:= 0.47·10 ^–6 Ф; індуктивність L ₃ := 3.12·10 ^–3 Гн.

5.2.2 Знайдемо ємність третьої гілки С₃ = 1·10^–6, індуктивність першої гілки: L₁ = 3·10^–3.

5.2.3 Визначаємо комплекси опорів у гілках (в Ом).

Z₁ := R₁ + j· (X_L1) Z₁= 30 + 113.1j - опір першої гілки;

Z₂ := –j · X_С2 Z₂ = –56.44j - опір другої гілки;

Z₃ := R₃ + j· (X_L3 –X_C3) Z₃ = 15 + 91.1j - опір другої гілки.

5.2.4 Електричне коло має одне джерело енергії, два вузли і три гілки. Тому для розрахунків застосуємо еквівалентні перетворення.

Друга та третя вітки сполучені між собою паралельно. Тому

еквівалентний опір розгалуженої ділянки:

Z₄ = 33.5 – 133.84j

Повний опір цієї ділянки: | Z ₄| = 137.97; arg(Z₄ ) = –76deg.

Визначаємо еквівалентний опір всього кола

Z _екв:= Z₁ + Z₄ Z _екв = 63.5 – 20.747j

5.2.5 Струм першої вітки знайдемо за законом Ома:

І ₁ = –0.056 + 0.171j; | I ₁| = 0.18 arg(I ₁) = 108.1deg.

У показниковій формі запису І ₁ =

5.2.6 Напруга на розгалуженій ділянці кола

U ₄ = 21 + 13.19j; | U ₄| = 24.78; arg(U ₄) = 32.1deg.

5.2.7 Визначаємо струми у розгалужених гілках кола.

І ₂ = –0.234 + 0.372j; | I ₂| = 0.439 arg(I ₂) = 122.1deg

І ₃ = 0.178 – 0.201j; | I ₃| = 0.268 arg(I ₃) = – 48.5deg.

Отже, у показниковій формі запису ці струми можна зобразити так:

І ₂ = ; І ₃ = .

5.2.8 Падіння напруги на третій ділянці кола:

U ₃ = 20.98 + 13.187j; | U ₃| = 24.784; arg(U ₃) = 32.146deg.

5.2.9 Визначаємо кут зсуву фаз між джерелом живлення та падінням напруги на третій ділянці кола:

arg(Е) – arg(U ₃)= 57.85deg; або у радіанах arg(Е) – arg(U ₃)= 1.01.

5.2.10 Миттєві значення струмів у колі:

i ₁ (t) = 0.18 ·sin(w·t + 108 ⁰); i ₂ (t) = 0.439 ·sin(w·t + 122 ⁰);

i ₃ (t) = 0.268 ·sin(w·t - 48.5 ⁰).

Розв’язок за законами Кірхгофа шляхом обернення матриць

5.3.1 Електричне коло має два вузли і три гілки. Тому за законами Кірхгофа треба скласти три рівняння: одне – за першим законом, два – за другим. У комплексній формі така система рівнянь може мати, наприклад, такий вигляд:

. (5.1)

5.3.2 Розв’язання такої системи можна виконати із використанням матричної алгебри у такій послідовності:

- встановлюємо відлік індексів у матрицях, змінивши нижню границю індексу: ORIGIN:=1 (або M ath – O ptions … – Array O rigin 1).

- переходимо до робочого поля і присвоюємо: уявну одиницю , напругу джерела , опір кожного елемента схеми: , , ;

- складаємо головну матрицю і вектор-стовпець правих частин:

.

Струми у гілках кола знаходимо або за формулою: , або за допомогою вбудованої функції І:= lsolve(Δ,B).

Результат в алгебраїчній формі запису має вигляд:

,

або у показниковій формі: | I ₁| = 0.18, ;

| I ₂| = 0.439, ⁰;

| I ₃| = 0.268, ⁰

5.3.3 Спади напруг на гілках за законом Ома:

U1 = – 20.98 – 1.19 j |U1|= 21.02;

U2 = 20.98 + 13.19 j |U2|= 24.78;

U3 = 20.98 + 13.19 j |U3|= 24.78.

Як бачимо, U2 = U3, а рівняння за другим законом Кірхгофа:

U 1 + U2 = Е є перевірочним.

Розв’язок за законами Кірхгофа шляхом використання оператор-функцій

Розв’язання системи рівнянь (5.1) у пакеті MathCad може бути виконано за допомогою операторів–функцій Given – Find(x1,x2,…) або Given – Minerr(x1,x2,…). Для цього треба спочатку задати початкові значення для розрахунку, наприклад: І1:=1, І2:=1, І3:=1.

Далі у робочому полі наберемо між операторами Given – Find систему рівнянь (5.1).

Звертаємо Вашу увагу на те, що між операторами Given – Find обов’язкове застосування саме знака " жирного рівняння " (Ctrl =, жирний знак ), а не знаків " присвоювання " (:=) або " дорівнює " (=). Результат розв’язку цієї системи занесемо у вектор "Струм":

Струм:= Find (І1, І2, І3).

Струм₁ = –0.056 + 0.171j; Струм₂ = –0.234 + 0.372j;

Струм₃ = 0.178 – 0.201j.

ПЕРЕВІРКА ВІРНОСТІ РОЗВ’ЗКУ

ШЛЯХОМ СКЛАДАННЯ БАЛАНСУ ПОТУЖНОСТЕЙ

Потужність джерела S1 = 2.049 – 0.669j В^.А,

де - спряжений комплекс струму, що проходить через джерело енергії (клавіші SHIFT [ " ]).

Потужність споживачів ,

Пересвідчимося, що S2 = 2.049 – 0.669j – отже баланс дотримано.

 

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

7.1 Що називають миттєвим, діючим, амплітудним, середнім значенням змінного струму?

7.2 Якщо постійний струм визначають одним параметром, наприклад І = 5 Ампер, то скільки треба величин для визначення змінного струму? Навести приклад.

7.3 Яким чином переходять від миттєвої до комплексної форми запису змінного струму? Які бувають різновиди форм запису комплексних чисел та формули співвідношень між ними?

7.4 Як залежить опір котушки індуктивності від частоти струму в ній? Наведіть приклади запису опору в звичайній і комплексній формах.

7.5 Як залежить опір ємності від частоти зміни напруги на її обкладинках? Наведіть приклади запису опору в звичайній і комплексній формах.

7.6 Чому дорівнює повний опір ділянки електричного кола, яка складається із послідовного сполучення R та L елементів?

7.7 Чому дорівнює повний опір ділянки електричного кола, яка складається із послідовного сполучення R та C елементів?

7.8 Якщо напруга и = 5· sin(ω·t + 30º ) прикладена до кола із опором Z = 3 + j 4. Чому дорівнює струм цього кола?

7.9 Якщо напруга и = 5· sin( 10 ⁶·t + 0º ) прикладена до кола із послідовного сполучення R = 6 Ом та C = 12.5 нФ. Чому дорівнює струм цього кола?

7.10 Як струм і = 5· sin( 10 ⁶·t – 135º ) представити у алгебраїчній та у експоненціальній формах запису?

7.11 Як знайти повний, активний та реактивний опори ділянки електричного кола, яка складається із послідовного сполучення R, L та C - елементів?

7.12 Як знайти кут зсуву фаз між струмом і напругою на вході електричного кола, яка складається із послідовного сполучення R, L та C - елементів?

 

 

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Л.А.Бессонов Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1984.–528 с.

2. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники: Учебное пособие для вузов/ Под ред. проф. П.А. Ионкина.– М.: Энергоиздат, 1982. – 768 с., ил.

3. К.С. Демирчян Теоретические основы электротехники. - М.: «Питер», 2004. – 463 с.

4. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Electronics Workbench и её применение. М.: СОЛОН – Р., 2001. – 726 с.

5. Кирьянов Д.В. Самоучитель по MathCAD 2001 – СПб.: БХВ – Петербург, 2002. – 544 с.

Додаток