Степенные средние величины в статистике: средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая.

Средние величины открыли ученые Петте и Кетле. Они определили, что постоянные величины действуют одинаково на каждое изучаемое явление. Эти величины похожи друг на друга и создают общие для всех закономерности.

Следствием их изучения явилось выделение средних величин в качестве основного приема статичтического анализа.

Математическая статистика выводит средние из формул степенной средней:

- среднее значение исследуемого явления.

x - значение признака (варианта).

n - число признаков.

m - показатель степени средней.

В зависимости от значения показателя степени m различают следуещие виды степенных средних:

При m = - 1 - среднее гармоническое (x_гар )

При m = 0 - среднее геометрическое (x_г )

При m = 1 - среднее арифметическое (x_ар )

При m = 2 - среднее квадратическое(x_кв )

При m = 3 - среднее кубическое (x_куб )

Виды средних величин

1.
средняя арифметическая простая применяется, когда перечислены все значения усредненного признака:

x - значение признака

n - кол-во единиц обладающих данным признаком.

2. среднее арифметическое взвешенное применяется, когда задан «вес признака»(кол-во единиц, обладающих одинаковым признаком)

x - значение признака, f - вес признака

3. средняя гармоническая простая.

4. средняя гармоническая взвешенная применяется, когда задан объем признака – это суммарное значение признака по всей совокупности или по группам.

x - значение признака.

w - объем признака.

5. средняя геометрическая простая.

x - значение признака.

k - кол-во осредняемых величин.

6. средняя геометрическая взвешенная.

7. среднее хронологическое применяется в рядах динамики

x₁ - начальный уровень ряда

x _n - конечный уровень ряда

n - число уровней в ряду

8. средняя квадратическая простая

9.
средняя квадратическая взвешенная

10. средняя кубическая простая

11. средняя кубическая взвешенная

Правило мажорантности средних в статистике.

Средние величины открыли ученые В.Петти и А.Кетле. Они определили, что постоянные величины действуют одинаково на каждое изучаемое явление.Эти величины похожи дргу на друга и создают общие для всех закономерностей. Следствием этих изучений явилось выделение средних величин в качестве основного приема статист анализа.

Математич статистика выводит средние из формул степенной средней –

В зависимости от знач-ия показателя степени m различают след. виды степенных средних:

-при m= -1 – ср. гармоническая;

-при m= 0 – ср. геометрическая;

-при m= 1 – ср. арифметическая;

-при m= 2 – ср. квадратическая;

-при m= 3 – ср. кубическая.

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше значение m, тем больше значение средней величины

Это св-во степенных возрастать с повышением показателя ср. в статистике назыв. правилом мажорантности ср.

 

Расчет средних показателей способом моментов.

 

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значений вариантов и частот. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в качестве i – величина интервала (для рядов с одинаковым интервалом). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется "способом отсчета от условного нуля" или "способом моментов".

Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый вариационный ряд распределения новых вариантов х₁.

Тогда новые варианты будут выражаться: , а их новая средняя арифметическая m₁ - момент первого порядка – формулой и будет равна средней из первоначальных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е. .

Для получения действительной средней надо момент первого порядка m₁ умножить на i и прибавить А: .

Данный способ вычисления средней арифметической из вариационного ряда называют "способом моментов". Он применяется в рядах с равными интервалами.