Тема: вступ до математичного аналізу

1)Дослідження властивостей основних геометричних функцій.

2)Точки розриву функцій та їх класифікація.

 

 

Неперервність функції

 

Означення Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

 

, або .

 

Приклад. Дослідити на неперервність функцію в точці .

Розв’язання.

Якщо , то ; - величина обмежена, тому, за теоремою 2.4, . Отже, , і тому, за означенням 2.8, функція - неперервна в точці .

 

Неперервність функції в точці можна означити і по-іншому.

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо вона має в цій точці границю, яка дорівнює значенню функції в точці , тобто

.

Рівність можна деталізувати: границя зліва в точці має дорівнювати границі справа і дорівнювати значенню функції в цій точці:

 

.

 

Означення. Функція називається неперервною на проміжку (continuous function oninterval), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

 

Арифметичні операції над неперервними функціямиприводять знову до неперервних функцій.

Теорема. Якщо функції і є неперервними в точці , тоді неперервними в цій точці будуть також функції:

 

1) , ;

 

2) ;

 

3) за додаткової умови .

 

Доведення. Нехай функції , -неперервні в точці . Тоді, за означенням 2.9, , . Використаємо теореми про арифметичні операції над функціями, що мають границю:

 

1) ;

 

2) ;

 

3) .

Бачимо, що означення 2.9 виконується в кожному з цих випадків. Тобто ми показали, що при виконанні арифметичних дій над неперервними функціями ми знову отримаємо неперервні функції.

 

 

Неперервність складеної функції

 

Теорема. Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , то складена функція неперервна в точці .

Доведення. Справді, оскільки функція неперервна в точці , то ; -неперервна в точці , тому . А це означає, що функція неперервна в точці .

 

Самостійна робота №5.

Тема: Диференціальне числення функції однієї змінної.

1. Похідні вищих порядків та їх застосування.

2. Похідні функцій, заданих неявно та параметрично

3. Найбільше та найменше значення функції на відрізку

 

Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається, як x−x₀, а приріст функції (Δy) — як f(x)−f(x₀). Тоді, якщо існує границя , то вона називається похідною функції f в точці x₀.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

 

Диференціювання – це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної y по відношенню до приросту незалежної змінної x. Це співвідношення приростів називається похідною функції y по змінній x. Якщо говорити більш точно, залежність y від x означає, що y функція від x. Ця функціональна залежність часто позначається y = ƒ (x), де ƒ позначає функцію. Якщо x та y дійсні числа, і якщо графік функції y зображено відносно x, похідна дорівнюєнахилу дотичної до цього графіка в кожній точці.

Найпростіший випадок коли y – лінійна функція від x, це означає що графік функції y відносно x пряма лінія. В такому випадку, y = ƒ (x) = m x + b, для дійсних чисел m та b, і нахил m визначається так

де символ Δ (грецька літера у верхньому регістрі дельта) – це є скорочення для "зміни в". Ця формула справедлива тому, що

y + Δ y = ƒ (x + Δ x) = m (x + Δ x) + b = m x + b + m Δ x = y + m Δ x.

З цього випливає, що Δ y = m Δ x.

Отримали точне значення нахилу прямої лінії. Якщо функція ƒ не лінійна (тобто графік функції не пряма лінія), тоді приріст y поділений на приріст x змінюється: диференціювання це спосіб обчислення точного значення відношенння приростів для будь-якого значення x.

 

Пояснення визначення

Нехай ƒ – функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції ƒ для дійсного числа a була єдина лінія через точку (a, ƒ (a)), що не перетинається з графіком функції ƒ трансверсально, це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції y по змінній x в точці a, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції ƒ в точці a. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку (a, ƒ (a)) та іншу близьку точку на графіку, наприклад(a + h, ƒ (a + h)). Такі лінії називаються січними. Значення h близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення h, в загальному випадку, тим краще буде наближення. Нахил m січної лінії дорівнює різниці значень y для цих точок поділити на різницю значень x, тобто

Цей вираз — це відношення приростів Ісаака Ньютона. Похідна — це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Строго кажучи, похідна функції ƒ в точці a цеграниця:

відношення приростів коли h наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді ƒ – диференційована в точці a. Тут ƒ ′ (a) одне з кількох можливих позначень похідної (див. нижче)

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність

що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис.1), де дотична лінія ƒ в точці a дає найкраще лінійне наближення

для ƒ біля точки a (наприклад, для малих h). Якщо підставити 0 замість h у відношеня приростів то отримаємо ділення на нуль, отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо Q (h), відношення приростів як функцію від h:

Q (h) – це нахил січної лінії між точками (a, ƒ (a)) and (a + h, ƒ (a + h)). Якщо ƒ – неперервна функція, тобто якщо графік функції немає розривів, тоді Q також непервна функція починаючи з точки h = 0. Якщо існує границя , тобто якщо існує спосіб обчислити значення для Q (0), це означає що графік функції Q неперервний, тоді функція ƒ диференційована в точці a, і її похідна в точці a дорівнює Q (0).

На практиці, існування непервного продовження відношення приростів Q (h) в точці h = 0 показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити h у знаменнику. Цей прроцес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.

Приклад

Квадратна функція ƒ (x) = x ² — диференційована в точці x = 3 і її похідна в цій точці дорівнює 6. Цього результату можна досягнути, якщо обчислити границю відношення приростів ƒ (3) при h прямує до нуля:

Тепер можемо обчислити границю, якщо підставимо замість h нуль:

Отже, нахил графіку квадратної функції в точці (3, 9) дорівнює 6, а її похідна в точці x = 3 дорівнює ƒ '(3) = 6. Узагальнюючи, якщо провести схожі обчислення то отримаєм, що квадратна функція в точці x = a дорівнює ƒ '(a) = 2 a.

 

Самостійна робота №8.