Лоогические символы в математике (базисные типы высказываний).

Глава

Лоогические символы в математике (базисные типы высказываний).

 

Для записи различных утверждений и логических операций над ними в современной математике часто используется аппарат символов, разработанный в математической логике.

Выделяются 2 базисных (атомарных) типа высказываний. Во-первых, используется утверждение вида «объект Х есть элемент совокупности А определенных объектов». Этим утверждениям соответствует символ принадлежности. Приведенное высказывание записывается таким образом: Х с А (х принадлежит а)

Во-вторых, используется высказывание вида: «совокупности объектов x и y совпадают, высказывания А и В совпадают». Таким высказыванием соответствует символ равенства (=). приведенные высказывания записывают в виде: А=В. Символ равенства используется тогда, когда 2 объекта или 2 совокупности объктов предс собой одно и то же, но определ по-разному, 2 выск-я явл одним и тем же но сформул разными словами.

 

 

Логические символы в математике (пропозиционные связки, конъюнкция, дизъюнкция).

Сложн выск-я или логич формулы строятся из простых.

Сложные высказывания объединяются с помощью логических операторов(пропозиционные связки, кванторы). При этом используются скобки, определяющие порядок высказывания.

1.Пропозиционные связки - это операция математической логики сходная с используемыми в обычной речи союзами «или», «и», «если», «то», «тогда», «когда», а также с отрицанием.

2.Конъюнкция (логическое умножение)- операция математической логики, соединяющая два или более высказываний при помощи союза, сходная с союзом «и», в новое сложное высказывание, которое истинно тогда, когда истинно каждое из исходных высказываний. Ложно тогда, когда ложно хотя бы одно из исходных высказываний.

Символ Конъюнкции читается как союз «и» и имеет различные формы записи:

 

Эта запись читается следующим образом: «имеет место и высказывание А, и высказывание В».

 

3.Дизъюнкция - операция математической логики, выражающаяся в соединении двух или более высказываний при помощи союза сходного с союзом «или», новое сложное высказывание. Д. может пониматься в 2ух различных значениях: неисключенном знач. («или А. или В, или А и В вместе), когда в сложном высказывании истинность одного высказывания не исключает истинность других; Такая Д. называется соединительно-разделительной и читается «истинно или высказывание А, или высказывание В, или оба высказывания А и В». Такое утверждение записывается в виде:

 

Д. может пониматься и в исключающем значении («или А, или В, но не А и В вместе), когда в сложном высказывании истинно одно из них исходных высказываний, а остальные высказывания являются ложными. Записывается в виде:

 

 

Логическое символы в математике (пропорц. связки- импликация,достаточность, эквивалентость, отрицание).

 

Сложные высказывания объединяются с помощью логических операторов(пропозиционные связки, кванторы). При этом используются скобки, определяющие порядок высказывания.

1.Пропозиционные связки - это операция математической логики сходная с используемыми в обычной речи союзами «или», «и», «если», «то», «тогда», «когда», а также с отрицанием.

 

2. Импликация- логическая операция, связывающая 2 высказывания с помощью логической связи, которой в обычной роли соответствует союз «если»… «то». Импликация обозначается следующим образом:

Эта запись читается так: «из высказывания А следует высказывание В».

Импликация, изучаемая в матем. логике отличается от условного суждения в традиционной формальной логики. Истинность или ложность импликации зависят только от истинности или ложности антецедента и консеквента. В математике символы импликации часто используются в смысле символа необходимости и символа достаточности.

3. Эквивалентность - оба высказывания равносильны. Символы:

 

Таким образом, то, что высказывание А и В равносильны записывается:

4.Отрицание - логическая операция, заключ. в том, что истинному высказыв. противостоит ложное, а ложному высказыванию- истинное.

Высказывание, получившиеся в рез-те отрицания, обознач. с помощью операторов:

 

 

Логические символы в математике (кванторы, скобки).

1.Кванторы - логические символы, характеризующие область истинности высказываний, в частности это утверждение 2ух типов: общности и существования. Кванторы общности:,кванторы существования:.

2. Скобки- логические символы, определяющие порядок высказывания а(в+с). Если сложное высказывание является истинным, то получается чрезмерное обилие скобок, т.е. запись будет сложной. Чтобы упростить запись некоторые скобки писать не надо. Для этого договаривается о приоритетах логических операторов. Например, умножение приоритетнее, чем сложение. Кроме перечисления признаков используется символ наличия признака «:». В определение конкретных множеств этот символ пишется в виде «/».

 

Логические символы в математике (таблицы истинности).

Если известно или ложность, или истинность отдельных частей высказывания, то истинность или ложность всего высказывания нужно определить при помощи таблиц истинности.

Таблица истинности для сложных высказываний, содержащих более 2ух элементов.

Логич. связки: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность

 

Понятие множества.

Множество- это совокупность объектов. Матеем. изучает их общие свойства. Теория множеств- раздел матем, изучающий общие сво-ва некоторых множеств. Разработал эту теорию Кантор в 1879-1884. Для того, чтобы класс стал множество, должно выполняться следующее:

1. элементы четко выделены

2. сво-ва объектов должны быть четко сформулированы

3. о каждом объекте можно четко сказать, принадлежит он к данному классу или нет.

не явл. множеством: класс хороших писателей, класс слов русского языка.

явл. множеством: класс точек на прямой/плоскости/пространстве, класс члена союза писателей.

 

Равенство множеств, подмножества, пустое множество, основные числовые множества.

Рав.множ.: Множества М и М1 называются равными или совпадающими(М=М1), если кждый элемент мн-ва М явл. М элементами М1 и наоборот. М=М1 ↔ а?(принадлежит) М ↔ а? М1

т.е равные мн-ва состоят из одних и тех же элементов.

 

Подмн-ва. Множетство М! называется подмножеством М, если каждый элемент мн-ва М1 явл. элементом мн-ва М. символы:

 

Пуст.мн-во М1,не содержащ. ни одного элемента, назыв. пустым множ. и обознач.

Пустые мно-ва читаются подмножествами любого мно-ва.

Основные числовые мно-ва:

N -мно-во натуральных чисел; Z- мн-во целых чисел; Q -мн-во рациональных чисел;

R- мн-во действительных чисел; C -мн-во чисел.

Объединение и пересечение множеств.

Объедин. и пересеч. явл. простейшими операциями над мн-вами.

Объединением мн-в Е и F называется мн-во элементов а из универсума Q, принадлеж. мн-ву Е, или мн-ву F, или одновременно мн-вам E и F.

 

Пересеч. мно-в Е и F назыв. мн-во элементов униврсума U, и принадл. одновремнно и Е и F

 

Бинарные отношения.

бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Основные свойства, которыми обладают бинарные отношения.

Бинарные отношения могут обладать различными свойствами, такими как:

1)Рефлексивность

 

Любой элемент а из области определения отношения f может связан с этим отношением с самим собой

 

2)Антирефлексивность (иррефлексивность)

Любой элемент из области определения бинарных отношения, такой что, он не связан с самим собой, т.е. утверждение явл. ложным:

 

3)Симметричность

Любой элемент из области определения бин.отн., который принадлежит мн-ву Е и любой элемент В из мн-ва

 

4)Антисимметричность

Любой элемент из области опр. и любой элемент

 

5)Ассиметричность

 

 

6)Транзитивность

Если а принадлежит мн-ву Е, В принадлежит Е,с принадлежит Е, тогда если а и в связаны отношением f(бинарн.отн), и в и с связаны f, отсюда а и с связаны f.

 

 

Отображение.

Бинарное отношение f между элементами мн-ств Е и F назыв. отображением мн-ва Е во мн-во F, если область задания

Отображение f малое мн-ва Е во мн-во F назыв. правилом, по которому каждому элементу мн-ва Е сопоставляется один или несколько элементов мн-ва F. Если элемент ч, принадлежащий мн-ву Е сопоставляется совокупности элементов f(x)?F, то совокупность f(x) называется образом элемента Х.

Если при отображение мн-ва Е во мно-во F с элементом у, принадлежащим f(y?F) сопоставляется с совокупностью элементов f в -1 степени (у),то эта совокупность назыв. полным прообразом элемента у.

Однознач. отображение Многознач.отображение

 

Частные случаи отображений

1)отображение называется сюръекцией

 

2)отображение называется инъекцией, если разным элементам а? А соответствуют разные элементы в? В.

 

 

3)отображение называется биекцией, или взаимно однозначным, если одно одновременно явл. инъективным или сюръективным.

 

 

Глава.

Величина и ее измерение.

 

Величина – обобщение таких конкретных понятий как длина, площадь, вес, цена.

Величинами назыв. такие св-ва объектов и явлений, которые могут быть измерены.

Измерение- сравнение данной величины с качественно подобной ей величиной принятой за единицу меры. в рез-те измерений получаются безразмерные числа называемые значениями величины.

 

Бесконечно малая величина.

Переменная величина х называется бесконечно малой или стремящейся к 0, если в ходе ее изменения lxl остановится и остается меньше любого наперед заданного, сколь угодно малого положительного числа Е, т.е. lxl < E.

Переменная величина х называется бесконечно малой или определяющейся к 0, если при любом наперед заданном сколь угодно любом положительном числе Е найдется такое значение

Теорема: алгебраическая сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

 

Предел переменной величины.

Предел переменной величины х называется такое постоянное число а, что разность (х-а) есть величина бесконечно малая, т.е. (х-а)=

Пределом переменной величины х называется такое постоянное число а, что выполняется условие при любом сколь угодно малом, наперед заданном положительном а называется такое знач. переменной велич. х=х нулевого.

Глава.

Глава

Лоогические символы в математике (базисные типы высказываний).

 

Для записи различных утверждений и логических операций над ними в современной математике часто используется аппарат символов, разработанный в математической логике.

Выделяются 2 базисных (атомарных) типа высказываний. Во-первых, используется утверждение вида «объект Х есть элемент совокупности А определенных объектов». Этим утверждениям соответствует символ принадлежности. Приведенное высказывание записывается таким образом: Х с А (х принадлежит а)

Во-вторых, используется высказывание вида: «совокупности объектов x и y совпадают, высказывания А и В совпадают». Таким высказыванием соответствует символ равенства (=). приведенные высказывания записывают в виде: А=В. Символ равенства используется тогда, когда 2 объекта или 2 совокупности объктов предс собой одно и то же, но определ по-разному, 2 выск-я явл одним и тем же но сформул разными словами.