І. Еквівалентність лотерейних та матричних моделей прийняття рішення

І. Еквівалентність лотерейних та матричних моделей прийняття рішення

І.1. Непараметрична ситуація прийняття рішення (НСПР)

І.1.а. Приклад НСПР

 

Подруга запросила мене у гості, щоб оцінити її новий домашній кінотеатр. Мені відомо про її захоплення щодо переглядів фільмів, тому я вирішила подарувати їй DVD, але обізнана в її смаках досить погано.

Спочатку я виділила за допомогою Інтернету найбільш популярні жанри фільмів серед молоді. Ось який вибір постав переді мною:

1. Фантастика.

2. Комедія.

3. Містика.

4. Драма.

Я вирішила звернутися до її брата, щоб він оцінив, яка ймовірність того, що мій подарунок сподобається подрузі, оскільки він більш менш знає її уподобання.

Після цього я отримала наступні результати.

1. Фантастика:

a. DVD дуже сподобається - 0,9.

b. DVD зовсім не сподобається - 0

c. Інколи дивиться даний жанр, але в залежності від настрою - 0,1.

2. Комедія:

a. DVD дуже сподобається - 0.

b. DVD зовсім не сподобається - 0,6

c. Інколи дивиться даний жанр, але в залежності від настрою - 0,4.

3. Містика:

a. DVD дуже сподобається - 0,3.

b. DVD зовсім не сподобається - 0,4.

c. Інколи дивиться даний жанр, але в залежності від настрою - 0,3.

 

4. Драма:

a. DVD дуже сподобається - 0.

b. DVD зовсім не сподобається - 0,5.

c. Інколи дивиться даний жанр, але в залежності від настрою - 0,5.

 

Наступний крок - позначення дій та наслідків.

 

Множина дій , елементами якої є:

 

u₁ - подарувати DVD-диск з фантастикою;

u₂ - подарувати DVD-диск з комедією;

u₃ - подарувати DVD-диск з містикою;

u₄ - подарувати DVD-диск з драмою.

 

Множина дій , елементами якої є:

 

c₁ - DVD дуже сподобається;

c₂ - DVD зовсім не сподобається;

с₃ - Інколи дивиться даний жанр, але в залежності від настрою.

 

кожній дії ставиться у відповідність набір наслідків.

- схема непараметричної ситуації.

модель непараметричної ситуації. I_Л – дані про ситуацію.

На множині наслідків С існує розподіл ймовірностей Q, які нам дають додаткову інформацію про невизначеність. Суть її полягає у тому, що невідомо, якому саме DVD я надам перевагу.

 

Маємо наступні розподіли ймовірностей:

 

 

Далі сформулюємо таблицю:

	u1	u2	u3	u4
c1	0,9		0,3
c2		0,6	0,4	0,5
с3	0,1	0,4	0,3	0,5

 

Непараметрична ситуація описується через лотерейну схему, що видно з рисунку 1.

 

 

Рисунок 1. Лотерейна схема

 

І.1.в. Перехід від лотерейної моделі до матричної

 

 

Для переходу від лотерейної до матричної моделі необхідно визначити множини Θ, U і C, функцію G(θ, u) та розподіл Р на Θ. Множини U і C переносяться без змін, а множину Θ знаходиться наступним чином: Θ = {θ (U → C): θ(u) }.

 

Знайдемо множину Θ:

 

Θ = { (c_1­,c₂,c₁,c₂), (c₃,c₂,c₁,c₂), (c₁,c₃,c₁,c₂), (c₃,c₃,c₁,c₂), (c₁,c₂,c₂,c₂), (c₃,c₂,c₂,c₂), (c₁,c₃,c₂,c₂), (c₃,c₃,c₂,c₂), (c₁,c₂,c₃,c₂), (c₃,c₂,c₃,c₂), (c₁,c₂,c₃,c₂), (c₃,c₃,c₃,c₂), (c₁,c₂,c₁,c₃), (c₃,c₂,c₁,c₃), (c₁,c₃,c₁,c_3­), (c₃,c₃,c₁,c₃), (c₁,c₂,c₂,c₃), (c₃,c₂,c₂,c₃), (c₁,c₃,c₂,c₃), (c₃,c₃,c₂,c₃), (c₁,c₂,c₃,c₃), (c₃,c₂,c₃,c₃), (c₁,c₂,c₃,c₃), (c₃,c₃,c₃,c₃) }.

 

Маємо наступні вихідні дані функції G(θ, u), для якої G(θ, u) = θ(u), матиме вигляд:

 

G(θ,u)	u1	u2	u3	u4
θ1=(c1­,c2,c1,c2)
θ2=(c3,c2,c1,c2)
θ3=(c1,c3,c1,c2)
θ4=(c3,c3,c1,c2)
θ5=(c1,c2,c2,c2)
θ6=(c3,c2,c2,c2)
θ7=(c1,c3,c2,c2)
θ8=(c3,c3,c2,c2)
θ9=(c1,c2,c3,c2)
θ10=(c3,c2,c3,c2)
θ11=(c1,c2,c3,c2)
θ12=(c3,c3,c3,c2)
θ13=(c1,c2,c1,c3)
θ14=(c3,c2,c1,c3)
θ15=(c1,c3,c1,c3­)
θ16=(c3,c3,c1,c3)
θ17=(c1,c2,c2,c3)
θ18=(c3,c2,c2,c3)
θ19=(c1,c3,c2,c3)
θ20=(c3,c3,c2,c3)
θ21=(c1,c2,c3,c3)
θ22=(c3,c2,c3,c3)
θ23=(c1,c2,c3,c3)
θ24=(c3,c3,c3,c3)

 

На рисунку 2 представлена матрична схема:

 

 

 

Для перенесення інформації слід побудувати розподіл Р на Θ. Розподіл Р – сумісний розподіл чотирьох випадкових величин C_u1, C_u2, C_u3, C_u4, відповідних наслідків для трьох рішень.

Події настання наслідків для кожного з рішень є незалежними, тому ймовірності обчислюються за формулою:

 

Θ

Маємо:

 

P₁(c_1­,c₂,c₁,c₂)=0,9*0,6*0,3*0,5=0,081

P₂(c₃,c₂,c₁,c₂)=0,1*0,6*0,3*0,5=0,009

P₃(c₁,c₃,c₁,c₂)=0,9*0,4*0,3*0,5=0,054

P₄(c₃,c₃,c₁,c₂)=0,1*0,4*0,3*0,5=0,006

P₅(c₁,c₂,c₂,c₂)=0,9*0,6*0,4*0,5=0,108

P₆(c₃,c₂,c₂,c₂)=0,1*0,6*0,4*0,5=0,012

P₇(c₁,c₃,c₂,c₂)=0,9*0,4*0,4*0,5=0,072

P₈(c₃,c₃,c₂,c₂)=0,1*0,4*0,4*0,5=0,008

P₉(c₁,c₂,c₃,c₂)=0,9*0,6*0,3*0,5=0,081

P₁₀(c₃,c₂,c₃,c₂)=0,1*0,6*0,3*0,5=0,009

P₁₁(c₁,c₂,c₃,c₂)=0,9*0,6*0,3*0,5=0,081

P₁₂(c₃,c₃,c₃,c₂)=0,1*0,4*0,3*0,5=0,006

P₁₃(c₁,c₂,c₁,c₃)=0,9*0,6*0,3*0,5=0,081

P₁₄(c₃,c₂,c₁,c₃)=0,1*0,6*0,3*0,5=0,009

P₁₅(c₁,c₃,c₁,c_3­)=0,9*0,4*0,3*0,5=0,054

P₁₆(c₃,c₃,c₁,c₃)=0,1*0,4*0,3*0,5=0,006

P₁₇(c₁,c₂,c₂,c₃)=0,9*0,6*0,4*0,5=0,108

P₁₈(c₃,c₂,c₂,c₃)=0,1*0,6*0,4*0,5=0,012

P₁₉(c₁,c₃,c₂,c₃)=0,9*0,4*0,4*0,5=0,072

P₂₀(c₃,c₃,c₂,c₃)=0,1*0,4*0,4*0,5=0,008

P₂₁(c₁,c₂,c₃,c₃)=0,9*0,6*0,3*0,5=0,081

P₂₂(c₃,c₂,c₃,c₃)=0,1*0,6*0,3*0,5=0,009

P₂₃ c₁,c₂,c₃,c₃)=0,9*0,6*0,3*0,5=0,081

P₂₄(c₃,c₃,c₃,c₃)=0,1*0,4*0,3*0,5=0,006

 

Ми здійснили перехід від лотерейної до матричної схеми без втрат інформації.

 

І.1.г. Перехід від матричної моделі до лотерейної

 

Необхідно перетворити матричну модель

в лотерейну, тобто

яка складається з лотерейної схеми

та інформації .

Треба побудувати відображення , яке буде задовольняти умові

Маємо:

Тепер треба перенести інформацію. При дії наслідок наступає при будь-якому значенні параметра , для якого . Тому розумно встановити між розподілами і таку залежність

Оскільки ми вважаємо, що є тільки одне істинне значення параметра , то події є несумісними, а отже для будь якої їх суми справедливо

Тому

Таким чином

 

0,9

 

 

Аналогічно виконуємо наступні розрахунки:

 

 

0,4

 

Дискретні розподіли:

 

 

Оскільки операція проектування матричної моделі в лотерейну є однозначною, ми отримали вихідну лотерейну модель нашої задачі прийняття рішень.

 

І.1.а. Приклад ПСПР

 

Всі знають, що у грудні 2012 року пророкують кінець світу. Але в мене багато планів на життя, тому ці пророкування мені зовсім не підходять. Але життя, таке непередбачене, що завжди треба бути напоготові. Обдумавши, я виокремила декілька варіантів моїх можливих дій. Я можу продати всю свою власність, кинути навчання й робити по життю тільки те, що приносить мені насолоду, тобто подорожувати по всій Європі, відвідуючи різноманітні BEST events та моїх друзів. Або продовжити отримувати освіту, part-time job у вільний час для можливості відкладати гроші на термінові потреби, при цьому тільки інколи подорожувати. Це можливі дії у випадку не настання кінця світу. Третій варіант – все-таки продовжити навчання, оскільки без вищої освіти зараз "нікуди", постійно знаходитися в Києві, витрачати гроші на все, що заманеться.

 

Наступний крок - позначення дій, наслідків та параметрів.

 

Дії:

u₁ – продати власність, кинути навчання і подорожувати по всій Європі

u₂ – навчатися, part-time job, відкладати гроші на термінові потреби

u₃ – продовжити навчання, витрачати гроші на все, що заманеться

 

Параметри:

θ₁ – кінець світу настане у грудні 2012 року

θ ₂ – кінець світу омине нас

θ ₃ – виживуть тільки деякі, у тому числі й я.

 

Наслідки:

c₁ – мій вибір правильний на всі 100, життя - вдалося;

c₂ – у мене депресія, життя немає більше сенсу;

с₃ – все склалося непогано, але могло бути ліпше;

c₄ – я розумію, що пішла невірним шляхом, відчуваю себе погано.

 

Схема:

 

θ/u	u1	u2	u3
θ1	c1	c3	c4
θ2	c2	c1	c4
θ3	c2	c3	c2

 

 

Введемо розподіл на P на Θ. Відповідно до світових досліджень:

 

· ймовірність того, що настане кінець світу P() = 0,1;

· кінець світу омине нас P()= 0,7;

· виживуть тільки деякі, у тому числі й я P() = 0,2.

 

І. Еквівалентність лотерейних та матричних моделей прийняття рішення