Настройка контура оценивания.

Так как , для управления по вектору состояния, нам требуется найти его оценку по известной модели и выходу. Таким образом, строим алгоритм оценивания, в котором требуется матрица невязки L. А – ошибка оценивания.

Введем обозначение (отсюда можно заключить, что L вектор):

Собственные числа матрицы должны обеспечивать любое наперед заданное стремление ошибки к нулю, чтобы оценка вектора состояния была точной. Стоит задача выбора собственных чисел матрицы , так чтобы оценка вектора состояния происходила быстрее, чем процессы в системе. Поэтому требуется собственные числа матрицы сделать меньше, чем полученные в предыдущем разделе. Потребуем, также чтобы оценка стремилась к нулю апериодически, то есть собственные значения должны быть вещественные

И делаем аналогичные предыдущему разделу операции. Запишем характеристическое уравнение матрицы .

 

Приведем это уравнение к виду:

 

 

При перемножении и подстановки выбранных желаемых собственных чисел:

 

 

И уже найденные коэффициенты:

 

 

Вводим промежуточный вектор , которая зависит от установленных значений собственных чисел контура оценивания и исходной матрицы А:

 

А искомый L определяется:

Позволю себе и здесь также провести вычисления с помощью пакета MatLab, приводя лишь промежуточные результаты.

Найдем теперь вектор L, через встроенные функции MatLab, задавая вектор желаемых собственных значений замкнутой системы, в данном случае создавать отдельный М-файл не имеет смысла, так как задача решается одной командой (считаем, что A и с уже заданы). Так как команда предназначена для определенных размерностей входных величин, то транспонируем все, что потребуется:

>> l=place(A',c',[-110 -120 -130]) l = 1.0e+004 * 0.8940 1.1482 0.0250

Как видно, результаты, полученные аналитически и с помощью MatLab, совпали, значит, расчеты верны.

Построим матрицу :

 

Завершение построения системы.

Запишем полученную замкнутую систему в виде:

Объект

Регулятор

 

 

Для простоты и наглядности получения параметров префильтра перейдем к описанию системы в виде передаточной функции. С легкостью можно получить передаточную функцию системы, подставив в MatLab описание замкнутой системы в переменных состояния (М-файл №7 в приложении):

 

Transfer function:

0.78s+36.8

------------------------------------

s^3 + 270 s^2 + 2.42e004 s + 7.2e005

Если с помощью MatLab посчитать корни знаменателя, то они полность совпадут с желаемыми:

>> >> roots([1 270 2.42e004 7.2e005])

-100.0000

-90.0000

-80.0000

Сравнение результатов автоматического управления по средством обратнай связи с командным управлением

В этом пункте я сравниваю реакцию на ступенчатое воздействие системы без обратной связи (ручное управление) с реакцией автоматически управляемой системой.

Система без обратных связей:

Система управляемая автоматически:

Вывод.

В результате, мы задали объект управления со своими свойствами (разнотемповое двухотраслевое производство с перекрестными связями), исследовали основные характеристики объекта, такие как: устойчивость, минимальнофазовость, управляемость и наблюдаемость, исходя из критериев, наложенных на наш обыект управления, подобрали некоторые параметр. Затем имея готовый объект с исследованными свойствами, найденными передаточными и весовыми функциями, а также частотными характеристиками, поставили задачу управления этим объектом. Улучшили свойства объекта, потребовав более быстрое время установления без колебательности. Также был определен вид управления системой, который реализует управление системой по оценке вектора состояния, и предложен вид структурной схемы, которая позволяет задавать желаемое значение выхода и получать его с течением времени.

 

Приложение

М-файл №1. Часть 1. Раздел 2.2 (определение передаточной функции).

syms a1 a2 k p k1 k2

A=[-100 a1 0; a2 -10 0; k1 k2 0];

B=[k;1-k;0];

C=[0 0 1];

E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

H=C*inv(p*E-A)*B

 

М-файл №2. Часть 1. Раздел 2.3 (определение весовой функции).

syms t a1 a2 k p k1 k2

hm=C*expm(A*t)*B

pause

h=ilaplace (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)) - ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)),t) (1)

pause

a1=1;

a2=2;

k=0.8;

t=2;

k1=0.8;

k2=0.7;

h=… (2)

hm=… (3)

h1=… (4)

 

(1) – выражение взято из М-файла №1

(2) – ответ, полученный в четвертой строчке

(3) – ответ, полученный во второй строчке

(4) – ответ, полученный аналитически

М-файл №3. Часть 1. Раздел 2.5 (частотные характеристики).

syms a1 a2 k w k1 k2

A=[-100 a1 0; a2 -10 0; k1 k2 0];

B=[k;1-k;0];

C=[0 0 1];

E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

H=C*inv(i*w*E-A)*B

pause

a1=1;

a2=2;

k=0.8;

k1=0.8;

k2=0.7;

w=2;

modh=abs(…) (1)

modh1=… (2)

argh=angle(…) (3)

argh1=… (4)

 

(1) – выражение для Н (шестая строчка)

(2) – аналитическое выражение модуля

(3) – выражение для Н (шестая строчка)

(4) – аналитическое выражение аргумента

 

М-файл №4. Часть 1. Раздел 3.3 (управляемость и наблюдаемость).

syms a1 a2 k k1 k2

A=[-100 a1 0; a2 -10 0; k1 k2 0];

B=[k;1-k;0];

C=[0 0 1];

E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

P=[B A*B A*A*B]

Q=[C' A'*C' A'*A'*C']

pause

dP=det(P)

dQ=det(Q)

pause

a1=80;

a2=5;

k=0.8;

dP=… (1)

dQ=… (2)

 

(1) – выражение, полученное для dP

(2) – выражение, полученное для dQ

 

М-файл №5. Часть 1. Раздел 4 (импульсное, ступенчатое и гармоническое воздействия).

sys1=tf(1,[1 100]);

sys2=tf(1,[1 10]);

impulse(sys1)

grid on

hold on

impulse(sys2)

figure

step(sys1)

grid on

hold on

step(sys2)

figure

bode(sys1)

grid on

hold on

bode(sys2)

 

 

М-файл №6. Часть 1. Раздел 4 (импульсное, ступенчатое и гармоническое воздействия).

sys1=tf([0.8 23],[1 110 410.717]);

sys2=tf([0.2 26.28568],[1 110 410.717]);

sys3=tf([0.78 36.8],[1 110 410.717 0]);

impulse(sys1)

grid on

hold on

impulse(sys2)

figure

impulse(sys3)

grid on

figure

step(sys1)

grid on

hold on

step(sys2)

figure

step(sys3)

grid on

figure

bode(sys1)

hold on

grid on

bode(sys2)

figure

grid on

bode(sys3)

figure

nyquist(sys1)

hold on

grid on

nyquist(sys2)

figure

grid on

nyquist(sys3)

 

М-файл №7. Часть 2. Раздел 4 (Завершение построения системы)

 

A=[-100 75 0; 7.8571 -10 0; 0.8 0.7 0];

B=[0.8; 0.2; 0];

C=[0 0 1];

K=10000*[0.0152 0.0191 1.9565];

L=10000*[0.8940 1.1482 0.0250];

A1=[A-B*K B*K; zeros(3,3) A-L'*C];

B1=[B;0;0;0];

C1=[C 0 0 0];

sys=ss(A1,B1,C1,0)

 

Корневой годограф.

q=-4000:5:4000;

for i=1:1601

l1(i)=-55-sqrt(2025+q(i));

l2(i)=-55+sqrt(2025+q(i));

plot(real(l1(i)),imag(l1(i)),real(l2(i)),imag(l2(i)))

hold on

end

Как видно по графику время установления системы с регулятором в 10 раз меньше, чем у объекта. На графике представлена реакция объекта на импульсное воздействие, а в качестве желаемого значения для выхода уже замкнутой системы взят этот установившийся режим (0.08).