Согласованное управление разнотемповыми процессами 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Согласованное управление разнотемповыми процессами



Курсовая работа

Согласованное управление разнотемповыми процессами

 

Специальность 150300 «Прикладная Механика»

Курсовая работа студента третьего курса группы 3055/2 очной формы обучения

Грищенко Алексея Ивановича

 

 

    Руководитель: проф. Бурдаков Сергей Федорович  

Санкт-Петербург

Год

Оглавление.

Часть 1. Анализ объекта управления.

1. Постановка задачи________________________________________________________3

2. Математические модели объекта управления

2.1. Уравнения в переменных состояния_____________________________________4

2.2. Передаточная функция________________________________________________5

2.3. Весовая функция_____________________________________________________7

2.4. Уравнение вход-выход________________________________________________9

2.5. Частотные характеристики____________________________________________10

3. Свойства системы

3.1. Устойчивость_______________________________________________________12

3.2. Анализ минимальнофазовости объекта_________________________________13

3.3. Исследование управляемости и наблюдаемости_________________________14

3.4. Анализ установившихся режимов______________________________________17

3.5 Окончательный выбор параметров и его обоснование____________________18

4. Процессы в объекте управления

4.1. Импульсное воздействие_____________________________________________21

4.2. Ступенчатое воздействие_____________________________________________24

4.3. Гармоническое воздействие__________________________________________28

Часть 2. Синтез законов управления для систем с обратной связью.

1. Структурная схема системы с регулятором__________________________________31

2. Настройка контура управления____________________________________________32

3. Настройка контура оценивания____________________________________________35

4. Завершение построения системы__________________________________________38

5. Исследование системы при изменении параметров системы___________________40

6. Вывод_________________________________________________________________48

Приложение.

М-файлы для MatLab________________________________________________________49

Корневой годограф__________________________________________________________52

 

 

Часть 1. Анализ объекта управления.

Постановка задачи

 

В данной работе рассматривается модель развития многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева в частном случае для двух отраслей.

 

 

 

 

k
1-k
 

 

 


Выбранные данные для модели:

 

 

Математические модели объекта управления

Уравнение в переменных состояния

Вектор состояния представим в следующем виде:

 

Тогда система линейных дифференциальных уравнений, описывающих систему, выглядит

 

 

соответственно запишем следующие матрицы и векторы:

 


Передаточная функция

Так как задача была уже ранее описана в переменных состояний, то сделаем переход по уже имеющейся математической формуле:

Передаточная функция, вычисленная при помощи символьной алгебры в MatLab по той же формуле, которая совпадает с найденной аналитически (М-файл №1 в приложении):

 

H = (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)) - ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000))

Очевидно из блок-схемы, что две другие передаточные функции, которые входят в состав уже имеющийся, могут быть представлены в виде:

 

 

 

 

 

Очевидно, выполняется равенство, которое следует из блок-схемы и структурных свойств систем управления:

 

 

Соответственно передаточную функцию можно определить двумя способами: по блок схеме, исходя из дифференциальных уравнений, связывающих информационные потоки, и свойств систем управления, а также «в лоб» по уже имеющимся переменным состояния.


 

 

Весовая функция

Весовая функция определяется просто: как обратное преобразование Лапласа, от уже найденной передаточной функции, или как некоторое линейное преобразование от также заранее найденных переменных состояния (однако здесь требуется вычисление матричной экспоненты):

 

 

Я воспользуюсь при аналитическом решении данной задачи первым способом и буду искать обратное преобразование Лапласа от передаточной функции. Для упрощения введу некоторые обозначения - это коэффициенты числителя и два корня квадратного уравнения знаменателя, взятые с обратными знаками:

 

Тогда передаточная функция примет более простой вид, который можно с легкостью разложить по элементарным дробям:

 

 

Для которой, обратное преобразование Лапласа можно провести с помощью таблицы:

 

И задача сводится к определению этих коэффициентов, которые легко находятся после приведения правой части формулы для передаточной функции к общему знаменателю и приравниванию коэффициентов перед р. Составляем систему алгебраических уравнений:

 

 

Решая систему, получаем соответственно следующие значения коэффициентов:

 

 

 

Из соображений компактности и читабельности формулы не будем, подставлять значения коэффициентов, а будем считать их константами, которые определяются значениями коэффициентов перекрестных связей и коэффициента усиления.

 

Результат, который получается при использовании символьной алгебры MatLab (обратное преобразование Лапласа, в случае с вычислением через переменные состояния ответ получается слишком некомпактным, поэтому здесь не приведен):

h =

((cosh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2)) + (sinh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2))*((10000*k2 + 110*a1*k1 + 100*k*k1 - 10000*k*k2 + a1*a2*k2 - 110*a1*k*k1 + 110*a2*k*k2 + a1*a2*k*k1 - a1*a2*k*k2)/(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2) - 55))/(a1*a2 + 2025)^(1/2))*(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2))/(exp(55*t)*(a1*a2 - 1000)) - (100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2)/(a1*a2 - 1000)

В данном случае достаточно сложно сравнивать полученные результаты, так как в решении MatLab используются гиперболические функции. Поэтому я сделал проверку, подставив определенные численные значения (ненулевые, чтобы исключить случаи «зануления» частей уравнения) и сравнив их (М-файл №2 в приложении):

h1 = 0.0217

h = 0.0217

hm= 0.0217

 

Где h1 – ответ, полученный аналитически

h – ответ, полученный при обратном преобразовании Лапласа

hm – ответ, полученный при вычислении через переменные состояния

Что и следовало ожидать, ответы совпали, значит можно с определенной долей вероятности говорить о верности аналитического решения.


 

 

Уравнение вход-выход

Обозначим числитель и знаменатель передаточной функции согласно формуле:

 

Тогда уравнение вход-выход запишется в следующем виде, если вместо переменной р подставить оператор дифференцирования по времени:

 

 

 


 

 

Частотные характеристики

Для того чтобы найти частотные характеристики системы можно воспользоваться любой из ниже указанных формул, в зависимости от того, что уже известно передаточная функция, весовая функция, уравнение вход-выход или система уже описана в переменных состояния:

Лучше всего пойти самым простым способом и путем заменой переменной в передаточной функции найти искомую функцию, которую требуется представить в следующем виде:

 

 

Для простоты нахождения модуля и аргумента искомой функции будем рассматривать отдельно модули и аргументы числителя и знаменателя:

 

 

 

Для символьного решения посредством MatLab ограничимся вычислением частотных характеристик через переменные состояния, чтобы операции не сводились к простому переименованию переменных. По причине того, что действительные и мнимые части в символьной алгебре MatLab выделяются через сопряженные символьные числа, полученный ответ громоздок и не информативен, поэтому как и в предыдущем подразделе проведем только проверку между аналитическим и символьным расчетом в MatLab, при фиксированных значениях параметров (М-файл №3 в приложении):

 

H =- (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i)) + ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i))

 

modh = 0.0107

modh1 = 0.0107

argh = -1.7168

argh1 = -1.7168

Ответы совпали, значит, аналитические вычисления верны.


 

 

Свойства системы

Устойчивость

Найдем собственные числа матрицы А (очевидно это корни знаменателя передаточной функции)

 

 

Отсюда видим, что имеется 3 собственных числа, из которых одно нулевое, а 2 других зависят от перекрестных связей

Для того, чтобы удовлетворить условию Стодолы, которое является в нашем случае не только необходимым условием, но и достаточным, потребуем следующее:

 

 

1.

 

2.


3.

 

Корневой годограф (см. Приложение).

 


 

 

Импульсное воздействие.

 

Для начала рассмотрим, как работают инерционные звенья, которые входят в состав системы, при реакции на импульсное воздействие:

 

С заданными условиями: Очевидно, что быстрота протекания процессов разная:

 

Где Т - время установления. В таком случае для наших звеньев получим следующее значение времени установления:

 

 

Приведем графики, полученные при построении данных систем с помощью MatLab (М-файл №5 в приложении):

 

Как мы видим время установления первого процесса значительно меньше, чем второго, что и предсказывает значение временных характеристик.

 

Теперь рассмотрим реакцию на импульсное воздействие каждой из систем, уже подключая перекрестные связи, коэффициенты усиления и интегратор, когда он нужен. Соответственно реакция всего объекта управления на импульсное воздействие может быть найдена при замене переменных параметров системы уже известными из подраздела 3.5, в формулы для весовой функции.

 

 

 

 

Строим графики реакции на импульсное воздействие при помощи MatLab (М-файл №6 в приложении):

 

 

Так как объект содержит интегрирующее звено, то нет ничего удивительного в том, что процесс выходит на ненулевой установившийся режим.

 

 

 

 

Аналогичным образом получаем формулы и для начальной точки весовой функции:

 

 

 

В случае импульсного воздействия , поэтому в указанных выше формулах ее опускаем.

Ступенчатое воздействие.

 

Аналогично первому подразделу рассмотрим сначала инерционные звенья в отдельности. Воспользуемся также и выводами из него. Время установления первого звена должно быть меньше, чем время установления второго. Графики, построенные при помощи MatLab (М-файл №5 в приложении):

 

 

Как мы видим время установления первого звена, как мы и предполагали меньше, чем у второго, но здесь в отличие от рассмотрения реакции на импульсное воздействие, мы уже видим, что имеются и еще кардинальные отличия – уровень, установившийся реакции. В наших случаях его можно определить по формуле:

 

 

Как видно график без всяких колебаний выходит на установившийся уровень, что тоже и должно получаться исходя из вида передаточной функции.

 

 

 

Получается, что установившийся уровень прямо пропорционален времени установления, а в данном случае вообще равен ему.

 

Теперь рассмотрим ступенчатое воздействие на подсистемы и систему в целом. Аналитически реакция на него может быть найдено при помощи простой формулы:

 

 

Построим реакции, полученные при помощи MatLab (М-файл №6 в приложении):

 

Одинаковый уровень установившийся реакции на воздействие в подсистемах объясняется тем, что мы выбирали коэффициенты исходя из соображений их равенства.

Тот факт, что оба графика выходят из нуля, можно пояснить следующими формулами:

 

 

 

И то же самое можно показать и для реакции всей системы

 

 

В случае ступенчатого воздействия , поэтому в указанных выше формулах , то есть рассматриваем просто пределы передаточных функций.

 

Выход графиков подсистем реакций на установившийся уровень можно рассчитать по следующим формулам:

 

 

А график реакции системы на ступенчатое воздействие не ограничен, что тоже легко увидеть из формулы:

 

По причине того, что при заданных параметрах мы получаем чисто вещественные корни:

 

 

То все характеристики, касающиеся колебательного затухания, можно не рассматривать и говорить, что все они равны нулю:

1)

2)

3)

4)

В таком случае следует говорить о показателях, которые будут определять только вещественную часть корней.

1)

2)

3)


Гармоническое воздействие.

Для начала опять рассмотрим характеристики инерциальных звеньев. Для этого воспользуемся пакетом MatLab, в котором построим графики их частотных характеристик (М-файл №7 в приложении). Аналогично могут быть посчитаны и построены эти же графики, но уже аналитическим методом, который предложен в разделе 2.5.

 

 

Вся логарифмическая характеристика обоих процессов лежит в области ослабления, подавляются все частоты.

 

Рассмотрим теперь логарифмические характеристики подсистем и системы.

Таким образом, анализируя полученные результаты, мы можем сказать, какой будет установившаяся реакция системы на гармоническое воздействие вида:

 

 

 

Вывод.

В результате, мы задали объект управления со своими свойствами (разнотемповое двухотраслевое производство с перекрестными связями), исследовали основные характеристики объекта, такие как: устойчивость, минимальнофазовость, управляемость и наблюдаемость, исходя из критериев, наложенных на наш обыект управления, подобрали некоторые параметр. Затем имея готовый объект с исследованными свойствами, найденными передаточными и весовыми функциями, а также частотными характеристиками, поставили задачу управления этим объектом. Улучшили свойства объекта, потребовав более быстрое время установления без колебательности. Также был определен вид управления системой, который реализует управление системой по оценке вектора состояния, и предложен вид структурной схемы, которая позволяет задавать желаемое значение выхода и получать его с течением времени.


 

Приложение

М-файл №1. Часть 1. Раздел 2.2 (определение передаточной функции).

syms a1 a2 k p k1 k2

A=[-100 a1 0; a2 -10 0; k1 k2 0];

B=[k;1-k;0];

C=[0 0 1];

E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

H=C*inv(p*E-A)*B

 

М-файл №2. Часть 1. Раздел 2.3 (определение весовой функции).

syms t a1 a2 k p k1 k2

hm=C*expm(A*t)*B

pause

h=ilaplace (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)) - ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)),t) (1)

pause

a1=1;

a2=2;

k=0.8;

t=2;

k1=0.8;

k2=0.7;

h=… (2)

hm=… (3)

h1=… (4)

 

(1) – выражение взято из М-файла №1

(2) – ответ, полученный в четвертой строчке

(3) – ответ, полученный во второй строчке

(4) – ответ, полученный аналитически

М-файл №3. Часть 1. Раздел 2.5 (частотные характеристики).

syms a1 a2 k w k1 k2

A=[-100 a1 0; a2 -10 0; k1 k2 0];

B=[k;1-k;0];

C=[0 0 1];

E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

H=C*inv(i*w*E-A)*B

pause

a1=1;

a2=2;

k=0.8;

k1=0.8;

k2=0.7;

w=2;

modh=abs(…) (1)

modh1=… (2)

argh=angle(…) (3)

argh1=… (4)

 

(1) – выражение для Н (шестая строчка)

(2) – аналитическое выражение модуля

(3) – выражение для Н (шестая строчка)

(4) – аналитическое выражение аргумента

 

М-файл №4. Часть 1. Раздел 3.3 (управляемость и наблюдаемость).

syms a1 a2 k k1 k2

A=[-100 a1 0; a2 -10 0; k1 k2 0];

B=[k;1-k;0];

C=[0 0 1];

E=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

P=[B A*B A*A*B]

Q=[C' A'*C' A'*A'*C']

pause

dP=det(P)

dQ=det(Q)

pause

a1=80;

a2=5;

k=0.8;

dP=… (1)

dQ=… (2)

 

(1) – выражение, полученное для dP

(2) – выражение, полученное для dQ

 

М-файл №5. Часть 1. Раздел 4 (импульсное, ступенчатое и гармоническое воздействия).

sys1=tf(1,[1 100]);

sys2=tf(1,[1 10]);

impulse(sys1)

grid on

hold on

impulse(sys2)

figure

step(sys1)

grid on

hold on

step(sys2)

figure

bode(sys1)

grid on

hold on

bode(sys2)

 

 

М-файл №6. Часть 1. Раздел 4 (импульсное, ступенчатое и гармоническое воздействия).

sys1=tf([0.8 23],[1 110 410.717]);

sys2=tf([0.2 26.28568],[1 110 410.717]);

sys3=tf([0.78 36.8],[1 110 410.717 0]);

impulse(sys1)

grid on

hold on

impulse(sys2)

figure

impulse(sys3)

grid on

figure

step(sys1)

grid on

hold on

step(sys2)

figure

step(sys3)

grid on

figure

bode(sys1)

hold on

grid on

bode(sys2)

figure

grid on

bode(sys3)

figure

nyquist(sys1)

hold on

grid on

nyquist(sys2)

figure

grid on

nyquist(sys3)

 

М-файл №7. Часть 2. Раздел 4 (Завершение построения системы)

 

A=[-100 75 0; 7.8571 -10 0; 0.8 0.7 0];

B=[0.8; 0.2; 0];

C=[0 0 1];

K=10000*[0.0152 0.0191 1.9565];

L=10000*[0.8940 1.1482 0.0250];

A1=[A-B*K B*K; zeros(3,3) A-L'*C];

B1=[B;0;0;0];

C1=[C 0 0 0];

sys=ss(A1,B1,C1,0)


 

Корневой годограф.

q=-4000:5:4000;

for i=1:1601

l1(i)=-55-sqrt(2025+q(i));

l2(i)=-55+sqrt(2025+q(i));

plot(real(l1(i)),imag(l1(i)),real(l2(i)),imag(l2(i)))

hold on

end


Как видно по графику время установления системы с регулятором в 10 раз меньше, чем у объекта. На графике представлена реакция объекта на импульсное воздействие, а в качестве желаемого значения для выхода уже замкнутой системы взят этот установившийся режим (0.08).

Курсовая работа

Согласованное управление разнотемповыми процессами

 

Специальность 150300 «Прикладная Механика»

Курсовая работа студента третьего курса группы 3055/2 очной формы обучения

Грищенко Алексея Ивановича

 

 

    Руководитель: проф. Бурдаков Сергей Федорович  

Санкт-Петербург

Год

Оглавление.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-01; просмотров: 156; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.214.205 (0.363 с.)