Дифракция и её соотношение с геометрической оптикой. Принцип Гюйгенса - Френеля. Зоны Френеля, зонная пластинка, дифракция на отверстии и диске, пятно Пуассона с иллюстрацией векторными диаграммами

Дифракция - это широкий круг явлений, описывающих влияние неоднородностей среды или помех на распространение волн. В частности, рассматривается отклонение направления распространения света от прямолинейного - огибание препятствий.

- Отклонение распространения света от прямолинейности противоречит геометрической оптике, основанной на понятии светового луча. Если на пути расходящегося пучка лучей (рис. 14.2) находится преграда О, то, принимая, что луч прямой, и пользуясь известными законами геометрической оптики, можно получить на экране тень, имеющую резкую границу, за пределы которой свет согласно геометрической оптике проникнуть не может никогда. Опыт, однако, показывает, что это справедливо лишь при l << D, где D - характерный размер препятствия. Попытка получить резкое изображение узкой щели, образованной, например, двумя лезвиями бритвы даст размытую картину: свет проникает в область, где по законам геометрической оптики должна быть тень. Это имеет место, когда l» D. В этом случае имеет смысл говорить о дифракции. Не следует считать, что ее нет при l << D. Она есть всегда, просто при больших размерах объекта дифракция малозаметна, и ею можно пренебречь, считая, что главную роль играют законы геометрической оптики.

- Маленькие отверстия в куске картона, помещенного перед источником, излучающим волны, действуют как самостоятельные точечные источники. Обобщением этого наблюдения является следующее утверждение: если от некоторого источника произвольной формы распространяется волна, то любую волновую поверхность можно рассматривать как совокупность большого количества точечных вторичных источников, испускающих сферические когерентные волны, суммарное действие которых эквивалентно действию первичного источника. Пусть таким первичным источником является источник S (рис. 14.1). Тогда некоторая волновая поверхность s может рассматриваться как поверхность вторичных источников S ₁, S ₂, …. То есть поверхность эта как бы вся усеяна маленькими лампочками, каждая из которых посылает в окружающее пространство сферическую волну. Совокупность всех этих лампочек заменяет настоящий источник, а новую волновую поверхность для любого данного момента времени можно получить, если взять поверхность, касательную к фронтам вторичных волн (в тот момент, разумеется). Эта огибающая поверхность s' и будет новой волновой поверхностью. Она будет точно такой, какой получится, если эти вторичные источники вообще не рассматривать. Таким образом, действие источника S на некоторую точку Р эквивалентно действию совокупности вторичных источников S ₁, S ₂, … Сами же вторичные источники действуют неодинаково: их действие ослабевает по мере удаления от точки наблюдения. В нашем примере самое сильное действие оказывает источник S ₂ и меньшее - все остальные. Рассмотренная концепция вторичных источников и способ построения новой волновой поверхности выражают принцип Гюйгенса - Френеля, который является основой теории дифракции.

- Удивительного эффекта усиления света можно добиться, применяя зонную пластинку. Это специально приготовленная пленка, закрывающая все четные зоны (или все нечетные). В результате останется только одна половина, и амплитуда в точке наблюдения будет определяться суммой сонаправленных векторов:

Таким образом, при дифракции на отверстии на оси системы, т.е. в центре дифракционной картины (в точке Р) в зависимости от радиуса отверстия , открывающего m зон Френеля, возможен и максимум, и минимум. При увеличении диаметра отверстия различие между ними стирается и дифракционные особенности исчезают. Полная дифракционная картина представляет собой чередующиеся темные и светлые кольца, постепенно переходящие в поле одинаковой интенсивности.

 

Метод зон Френеля Френель предложил метод разбиения фронта волны на кольцевые зоны, который впоследствии получил название метод зон Френеля.

Пусть от источника света S распространяется монохроматическая сферическая волна, P - точка наблюдения. Через точку O проходит сферическая волновая поверхность. Она симметрична относительно прямой SP.

Разобьем эту поверхность на кольцевые зоны I, II, III и т.д. так, чтобы расстояния от краев зоны до точки P отличались на l/2 - половину длины световой волны. Это разбиение было предложено O. Френелем и зоны называют зонами Френеля.

Возьмем произвольную точку 1 в первой зоне Френеля. В зоне II найдется, в силу правила построения зон, такая соответствующая ей точка, что разность хода лучей, идущих в точку P от точек 1 и 2 будет равна l/2. Вследствие этого колебания от точек 1 и 2 погасят друг друга в точке P.

Из геометрических соображениях следует, что при не очень больших номерах зон их площади примерно одинаковы. Значит каждой точке первой зоны найдется соответствующая ей точка во второй, колебания которых погасят друг друга. Амплитуда результирующего колебания, приходящего в точку P от зоны с номером m, уменьшается с ростом m, т.е.

Зонная пластинка — плоскопараллельная стеклянная пластинка с выгравированными концентрическими окружностями, радиус которых совпадает с радиусами зон Френеля. Зонная пластинка «выключает» чётные либо нечётные зоны Френеля, чем исключает взаимную интерференцию (погашение) от соседних зон, что приводит к увеличению освещённости точки наблюдения. Таким образом зонная пластинка действует как собирающая линза.

Также зонная пластинка представляет собой простейшую голограмму — голограмму точки.

 

 

Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 259). Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным т.

 

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсив­ность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А=А ₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непроз­рачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m << A ₁ и результирующая амплитуда A=A ₁ / 2, т. е. такая же,как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблю­дается, свет распространяется,как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

Дифракция на диске. Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска (рис. 260). В данном случае закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска. Пусть диск закрывает m первых зон Френеля. Тогда амплитуда результирующего колебания в точке В равна

или

так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум (светлое пятно), соответствующий поло­вине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум окружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и увеличивается угол j_т (см. рис. 258) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В результате интенсивность центрального максимума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место весьма слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся прямолинейно.

Пятно Араго — Пуассона (иногда просто пятно Пуассона) — это яркое пятнышко, возникающее за освещённым направленным пучком света непрозрачным телом в его области геометрической тени.

Это явление стало одним из веских подтверждений волновой теории света. Существование этого пятна показал теоретически в 1818 году Симеон Дени Пуассон на основе предложенной Огюстеном Френелем теории. Получалось, что за большим круглым непрозрачным телом прямо в середине его геометрической тени должно возникать небольшое светлое пятно. Очевидную абсурдность этого результата Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории дифракции Френеля, однако Доминик Араго поставил эксперимент, подтвердивший это предсказание. В итоге этот результат, ставший известным как пятно Араго — Пуассона, оказался весомым аргументом в пользу новой волновой теории.

Дифракция Фраунгофера на щели с графиком распределения интенсивности дифрагированного излучения. Дифракционная решётка: дифракция для монохроматического и белого света. Максимальное значение порядка дифракции. Понятие о голографии

Распространенным типом дифракции является дифракция в параллельных лучах, идущих от удаленного источника (дифракция Фраунгофера). Пусть такой пучок монохроматических лучей, образующих плоскую волну длиной l, падает нормально на щель (рис.14.9) шириной b, которая играет роль препятствия, рассеивающего лучи по всем направлениям. Таким образом, есть лучи, которые после прохождения через щель, пойдут под углом j₁; есть, которые пойдут под углами j₂, j₃ и т.д. Каждому направлению j будет соответствовать свой параллельный пучок лучей, идущих под этим углом от всех точек щели. Эти пучки падают затем на линзу Л (ее роль может играть хрусталик глаза), которая дает на экране Э,расположенном в фокальной плоскости, дифракционную картину, состоящую из результата взаимодействия всей совокупности пучков.

Учитывая что , получим интенсивность , соответствующую очень яркой центральной полосе и симметрично расположенным чередующимся темным и светлым полосам. График этой функции показан на рис. 14.10, а ее анализ дает следующее условие минимумов интенсивности:

, где

m = 1, 2, 3,... - номер минимума

Следует иметь в виду, что график дает угловое распределение интенсивности. Линейное распределение выглядит так же, однако координата того или иного минимума будет зависеть от расстояния до экрана. Соответствующие вычисления не представляют сложности. Поскольку , то видно, что для фиксированных m и l чем ýже щель, тем больше j и тем дальше от центра картины будут располагаться минимумы и максимумы. Дифракционная картина "расплывается" и свет будет заходить в область геометрической тени достаточно далеко. При увеличении ширины щели (b>> l) боковые максимумы и минимумы будут все теснее прижиматься к центральному максимуму и практически на его фоне глазом различаться не будут.

 

Дифракционная решетка представляет собой периодическую структуру, состоящую из большого количества щелей с промежутками между ними. Изготавливают решетки при помощи алмазных "граблей", которыми прочерчивают на кварцевом стекле "штрихи", не прозрачные для света. Расстояние d между соседними щелями (промежутками между штрихами) называют периодом решетки, который с числом штрихов N на единицу длины связан простым соотношением d = 1/ N. Прохождение света через решетку эквивалентно одновременному действию дифракции на одной щели и интерференции от многих когерентных источников. На рис. 14.11 показан результат дифракции для монохроматического излучения. Видно, что там, где были нули при дифракции на одной щели (j = ± m l/ b), не будет света и теперь. Главные максимумы, как при интерференции от многих источников, будут и здесь. Однако, будучи промодулированы кривой распределения интенсивности для одной щели (пунктир), они будут иметь разные амплитуды, спадающие от центра к краям картины. Условие главных максимумов определяется соотношением

 

d sin j = ± m l, где m = 0, 1, 2,... - номер главного максимума. (14.2)

 

Между главными максимумами расположены побочные максимумы и минимумы, которые просматриваются только для решеток с большим значением N (порядка 200 штрихов на мм). Заметим, что центр дифракционной картины вовсе не привязан к середине решетки, и если решетку перемещать поступательно в той же плоскости, то вид картины не изменится. Если решетку освещать белым светом и иметь в виду, что в соответствии с (14.2) j» ± m l / d, получим при m = 0, что для
j = 0 это соотношение выполняется для любых l. Поэтому по направлению j = 0 пойдут все составляющие спектра, и в центре картины будет белая полоса (рис. 14.12). Для других значений j это не так. Для данного значения m получим, что бóльшему l соответствует бóльший угол j. Каждый главный максимум расползется в полоску цветов спектра белого света от фиолетового до красного. Причем, в отличие от призмы, решетка будет отклонять красный цвет больше, чем фиолетовый (т.к. l_КР > l_Ф­). Благодаря этому свойству дифракционная решетка используется как спектральный прибор, во многих случаях с успехом заменяющий призму. Как следует из (14.2), поскольку всегда sin j £ 1, то число главных максимумов (как и число минимумов при дифракции на щели, см. выше) ограничено соотношением m £ d / l. Всего максимумов будет 2 m +1 (m справа и m слева плюс центральный нулевой).