Алгоритм сортировки: сортировка Шейкер

Содержание

 

Введение

1 Алгоритм сортировки Шейкер

1.1 Математическое описание задачи

1.2 Словесное описание алгоритма и его работы

1.3 Описание схемы алгоритма

1.4 Контрольный пример

2 Алгоритм покрытия: построение одного кратчайшего покрытия

2.1 Математическое описание задачи

2.2 Словесное описание алгоритма и его работы

2.3 Описание схемы алгоритма

2.4 Контрольный пример

3 Алгоритм на графах: нахождение кратчайшего пути

3.1 Математическое описание задачи

3.2 Словесное описание алгоритма и его работы

3.3 Описание схемы алгоритма

3.4 Контрольный пример

Заключение

Перечень литературы

 

Введение

 

Алгоритм – это точно определенная (однозначная) последовательность простых (элементарных) действий, обеспечивающих решение любой задачи из некоторого класса, т.е. такой набор инструкций, который можно реализовать чисто механически, вне зависимости от умственных способностей и возможностей исполнителя.

Теория алгоритмов и практика их построения и анализа является концептуальной основой разнообразных процессов обработки информации. В настоящее время теория алгоритмов образует теоретический фундамент вычислительных наук. Применение теории алгоритмов осуществляется как в использовании самих результатов (особенно это касается использования разработанных алгоритмов), так и в обнаружении новых понятий и уточнении старых. С ее помощью проясняются такие понятия как доказуемость, эффективность, разрешимость, перечислимость и другие.

Эффективность алгоритма определяется анализом, который должен дать четкое представление, во-первых, о емкостной и, во-вторых, о временной сложности процесса.

Речь идет о размерах памяти, в которой предстоит размещать все данные, участвующие в вычислительном процессе (естественно, к ним относятся входные наборы, промежуточная и выходная информация), а также физических ресурсах, затраченных исполнителем.

В курсовой работе представлены различные подходы и методы использования алгоритмов, приведены оценки сложностей алгоритмов, реализации математических задач с помощью алгоритмов. Проведена краткая характеристика используемых структур данных, эффективность их применения в данной задаче

 

АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ: СОРТИРОВКА ШЕЙКЕР

 

Математическое описание задачи

Сортировка – это перестановка элементов некоторого множества в заданном порядке при некоторой упорядочивающей функцию.

Сортировка используется для облегчения поиска элемента в таком отсортированном множестве.

Задача сортировки решается с помощью таких алгоритмов: сортировка с помощью прямого включения, прямого выбора, прямого обмена, включений с уменьшающимися расстояниями, дерева, разделения и другие.

Словесное описание алгоритма и его работы

Сортировка Шейкер является усовершенствованной сортировкой методом пузырька. Идея метода: шаг сортировки состоит в проходе снизу вверх по массиву. По пути просматриваются пары соседних элементов. Если элементы некоторой пары находятся в неправильном порядке, то меняем их местами.(см. Таб. 1)

Таблица 1

i=1

 

После нулевого прохода по массиву "вверху" оказывается самый "легкий" элемент - отсюда аналогия с пузырьком. Следующий проход делается до второго сверху элемента, таким образом второй по величине элемент поднимается на правильную позицию.

Делаем проходы по все уменьшающейся нижней части массива до тех пор, пока в ней не останется только один элемент. На этом сортировка заканчивается, так как последовательность упорядочена по возрастанию. Среднее число сравнений и обменов имеют квадратичный порядок роста: отсюда можно заключить, что алгоритм пузырька очень медленен и малоэффективен.

Тем не менее, у него есть громадный плюс: он прост и его можно по-всякому улучшать. Чем мы сейчас и займемся. Во-первых, рассмотрим ситуацию, когда на каком-либо из проходов не произошло ни одного обмена. Что это значит? Это значит, что все пары расположены в правильном порядке, так что массив уже отсортирован. И продолжать процесс не имеет смысла(особенно, если массив был отсортирован с самого начала!). Итак, первое улучшение алгоритма заключается в запоминании, производился ли на данном проходе какой-либо обмен. Если нет - алгоритм заканчивает работу. Процесс улучшения можно продолжить, если запоминать не только сам факт обмена, но и индекс последнего обмена k. Действительно: все пары соседих элементов с индексами, меньшими k, уже расположены в нужном порядке. Дальнейшие проходы можно заканчивать на индексе k, вместо того чтобы двигаться до установленной заранее верхней границы i.

Качественно другое улучшение алгоритма можно получить из следующего наблюдения. Хотя легкий пузырек снизу поднимется наверх за один проход, тяжелые пузырьки опускаются со минимальной скоростью: один шаг за итерацию. Так что массив 2 3 4 5 6 1 будет отсортирован за 1 проход, а сортировка последовательности 6 1 2 3 4 5 потребует 5 проходов.

Чтобы избежать подобного эффекта, можно менять направление следующих один за другим проходов. Получившийся алгоритм называют " шейкер-сортировкой ".

Насколько описанные изменения повлияли на эффективность метода? Среднее количество сравнений, хоть и уменьшилось, но остается O(n²), в то время как число обменов не поменялось вообще никак. Среднее(оно же худшее) количество операций остается квадратичным, количество излишних двойных проверок сократилось.

Дополнительная память, очевидно, не требуется. Поведение усовершенствованного (но не начального) метода довольно естественное, почти отсортированный массив будет отсортирован намного быстрее случайного. Сортировка пузырьком устойчива, однако шейкер-сортировка утрачивает это качество.

На практике метод пузырька, даже с улучшениями, работает, увы, слишком медленно. А потому - почти не применяется.

 

Описание схемы алгоритма

 

Алгоритмы сортировки очень сильно зависят от структуры данных.. В данной работе рассматривается сортировка массивов. Тип данных «массив» удобен тем, что хранится во внутренней памяти и имеет случайный доступ к элементам, то есть более быстрый, чем у последовательности. Поэтому массивы целесообразно использовать для хранения небольших, часто используемых множеств

Из выше сказанного следует, что в процессе работы потребуются следующие переменные:

n – количество элементов массива;

A – сортируемый массив;

j – переменная;

x – i-й ключ (переносимый элемент);

r – номер последнего обмена при просмотре входной последовательности слева-направо.

l - номер последнего обмена при просмотре входной последовательности справа -

налево.

Все переменные целого типа.

Описание схемы алгоритма. Блок-схема данного алгоритма изображена на рис. 1 в Приложении.

Алгоритм работает следующим образом. Сначала вводятся исходные данные: длина массива и его элементы (блок 1, 2), затем организуется цикл по всей длине массива, во время которого (блоки 3 -7) и проводится сравнение элементов а[j-1]>a[j] и их обмен при проходе справа-налево. Номер последнего обмена l запоминается. Далее организуется цикл, в котором проводится проверка условия а[j-1]>a[j] при проходе массива слева-направо (блоки 8 - 12).

 

1.4 Контрольный пример

 

Рассмотрим пример работы алгоритма сортировки Шейкер.

Задан массив A, состоящий из 8 элементов: 44, 55, 12, 42, 94, 18, 6, 67.

Шаг 1. l = 2, r = 8

 

Таблица 2

l
r
Направление	↑	↓	↑	↓	↑
j=1
j = 2
j= 3
j = 4
j = 5
j = 6
j = 7
j = 8

 

 

j = r =8

1. A[7]<A[8], j = j -1 =7

2. A[6]>A[7], x=18, A[6]=6, A[7]=x=18; j=6

3. A[5]>A[6], A[5] =6, A[6] = 94

4. A[4]>A[5], A[4] =6, A[5] =42

5. A[3]>A[4], A[3] =6, A[4] =12

6. A[2]>A[3], A[2] =6, A[3] = 55

7. A[1]>A[2], A[1] =6, A[2] = 44

8. l=3.

Шаг 2. A[7]<A[8], j = j -1 =7

1) A[1]>A[2]; j=6

2) A[2]>A[3], A[1] =, A[2] = 44, j= 4

3) A[3]>A[4], A[2] =6, A[3] =12, j=5

4) A[4]>A[5], A[3] =6, A[4] =12, j=6

5) A[5]>A[6], j =7

6) A[6]>A[7], A[5] =6, A[6] = 18, j=8

7) r =7.

Шаг 3.

1. A[7]>А[8], j = j -1 =7

2. A[6]>A[7], x=18, A[6]=6, A[7]=x=18; j=6

3. A[5]>A[6], A[5] =6, A[6] = 94; j=5

4. A[4]>A[5], A[4] =6, A[5] =42; j=4

5. A[3]>A[4], A[3] =6, A[4] =12; j=3

6. A[2]>A[3], A[2] =6, A[3] = 55; j=2

7. A[1]>A[2], A[1] =6, A[2] = 44; j=1

8. l=3.

Шаг 4.

1) A[1]>A[2], x=18, A[6]=6, A[7]=x=18; j=6

2) A[2]>A[3], A[1] =, A[2] = 94, j= 4

3) A[3]>A[4], A[2] =6, A[3] =42, j=5

4) A[4]>A[5], A[3] =6, A[4] =12, j=6

5) A[5]>A[6], j =7

6) A[6]>A[7], A[5] =6, A[6] = 44, j=8,

7) r =7. → конец алгоритма.

Таким образом, мы получили исходный массив, отсортированный методом Шейкер:

6, 12, 18, 42, 44, 55, 67, 94.

 

АЛГОРИТМ ПОКРЫТИЯ: ПОСТРОЕНИЕ ОДНОГО КРАТЧАЙШЕГО ПОКРЫТИЯ

 

Выбор структур данных

 

Из анализа задачи и ее данных видно, что алгоритм должен работать с таблицей покрытия и с некоторыми переменными, которые представлены ниже (все переменные целого типа):

m – количество строк таблицы покрытия;

n – количество столбцов таблицы покрытия;

i, j – переменные цикла по строкам и столбцам соответственно;

S_prev – предыдущая сумма столбца либо строки;

S_curr – текущая сумма столбца либо строки.

Таблица покрытия — это двумерная матрица. Ее целесообразно представить в виде двумерного массива A(m, n).

P - одномерный массив для хранения номеров строк, покрывающих матрицу. Для хранения номеров выбран массив, поскольку количество строк, хотя и неизвестно заранее, ограничено количеством строк матрицы покрытия (m).

 

Описание схемы алгоритма

 

Блок-схема данного алгоритма изображена на рис. 3 в Приложении.

Сначала вводятся исходные данные: размерность таблицы m и n и сама таблица покрытия (блок 1). Далее происходит поиск пустого столбца (блок 2): это целесообразно, поскольку, если хотя бы один столбец не покрыт, то и не существует покрытия данной таблицы, и, следовательно, конец алгоритма. Далее, если не найдено пустого столбца (проверка в блоке 3), - поиск ядерных строк (блок 4), после –столбцов, покрытых ими (блок 5). После этого вычеркиваются все столбцы и строки, найденные в блоках 4,5 (блок 6).Вычеркиваются антиядерные строки (блок 7). Вычеркиваются поглощающие столбцы (блок 8). Вычеркиваются поглощаемые строки (блок 9). Если в результате выполнения блоков 6-9 текущая таблица покрытий изменилась, то выполняется блок 4; иначе следует вывод найденного кратчайшего покрытия в виде номеров строк, покрывающих таблицу. Затем конец алгоритма.

 

Пример работы алгоритма

 

Пусть задана таблица покрытий (см. Таб. 3). Рассмотрим пример работы алгоритма.

1. Множество ядерных строк пустое.

 

B	B1	B2	B3	B4	B5	B6
А1
А2
A3
А4

 

2. Множество антиядерных строк пустое.

3. Вычеркиваем столбцы В1, В3, В5, В6 как поглощающие

4. Вычеркиваем строку А2 как поглощенную.

Теперь таблица покрытий будет иметь вид

(см. Таб.4)

 

Таб. 4.

	В2	В4
А1
А3
А4

 

1. Множество ядерных строк Р={A3, A4}.

2. Множество антиядерных строк А={А1}.

3. Множество поглощающих столбцов пустое.

4. Множество поглощаемых строк пустое.

Теперь таблица покрытий примет вид (см. Таб 5)

 

	В2	В4
А3
А4

 

Таким образом кратчайшее покрытие {A3, A4} Таб. 5.

 

Выбор структур данных

 

Пусть p – количество вершин. Поскольку граф взвешен, то его представим в форме матрицы длин дуг:

С: array[1..p,1..p].

Используются следующие переменные и массивы:

s, f – вершины, между которыми следует найти кратчайший путь;

u, v – переменные циклов по вершинам;

T: array[1..p] of real – вектор, если вершина v лежит на кратчайшем пути от s к t, то T[v] – длина кратчайшего пути от s к v;

H: array[1..p] of 0..p – вектор, H[v] – вершина, непосредственно предшествующая v на кратчайшем пути;

X: array[1..p] of 0..1 – вектор меток вершин.

 

Описание схемы алгоритма

 

Блок-схема данного алгоритма изображена на рис. 4 в Приложении.

В блоке 1 происходит ввод графа в форме матрицы длин дуг, а также номеров вершин s и f. Далее организуется цикл по вершинам графа (блок 2). В нем инициализируются массив кратчайших путей и массив меток (блок 3): поскольку пути не известны, то они инициализируются бесконечностью, а метки – нулем. Далее отмечается вершина s, кратчайший путь от неё до неё же самой равен 0, и ей никто не предшествует; текущей вершиной v становится s (блок 5). Далее организовывается цикл по смежным с текущей вершинам (блок 6). В блоке 7 происходит проверка смежны ли вершины. В блоке 8 сравнивается уже имеющийся путь с путем между u и v. Если текущий меньше, то он и номер вершины запоминаются (блок 9).

В остальных блоках происходит поиск конца кратчайшего пути. Изначально его длина не известна (равна ∞), и вершина, оканчивающая его также не известна (блок 11). В блоке 12 организуется цикл по всем неотмеченным вершинам. В блоке 13 производиться сравнение уже имеющегося кратчайшего пути t с текущим T[u]. Если текущий меньше, то запоминаем его и вершину (блок 14). Далее производится анализ полученного конца пути. Если v=0 (блок 16), то не была найдена вершина конца кратчайшего пути, и, следовательно, нет такого пути (блок 17). Если же v=f (блок 18), то есть конец совпадает с заданной вершиной, то между ними существует кратчайший путь (блок 19). В обоих случаях конец алгоритма.

Если же не достигнута заданная вершина f, то текущая вершина v помечается (блок 20) и переход в блок 6.

Алгоритм работает, пока не будет вершина t либо пока не станет ясно, что пути из s в f нет.

 

3.5 Контрольный пример решения задачи с помощью алгоритма поиска кратчайшего пути

 

Пусть задан граф, изображенный на рис. 1. Рассмотрим на этом примере работу алгоритма.

0. for v=1..p

T[v]=∞;

X[v]=0;

H[s]=0;

T[s]=0;

X[s]=1;

v=s;

1. X2? G(1) →

X[2]=0&(∞>0+4) →

T[2]=T[1]+C[1,2]=4;

H[2]=1;

X3? G(1) →

X[3]=0&(∞>0+5) →

T[3]=T[1]+C[1,3]=5;

H[3]=1;

2. t=∞; v=0;

for u=1..p

X[2]=0&T[2]=4<∞ →

v=2; t=T[2]=4;

X[3]=0&T[3]=5!< ∞

3. v=2≠0;

v=2≠f=6;

4. X[2]=1 → п.1;

1. X4? G(2) →

X[4]=0&(∞>0+2) →

T[4]=T[2]+C[2,4]=6;

H[4]=2;

2. t=∞; v=0;

for u=1..p

X[4]=0&T[4]=6<∞ →

v=4; t=T[4]=6;

3. v=4≠0;

v=4≠f=6;

4. X[4]=1 → п.1;

1. X3? G(4) →

X[3]=0&(5!>6+3)

X5? G(4) →

X[5]=0&(∞>0+7) →

T[5]=T[4]+C[4,5]=13;

H[5]=4;

X6? G(4) →

X[6]=0&(∞>0+1) →

T[6]=T[4]+C[4,6]=7;

H[6]=4;

2. t=∞; v=0;

for u=1..p

X[3]=0&T[3]=5<∞ →

v=3; t=T[3]=5;

X[5]=0&T[5]=13!< 5

X[6]=0&T[6]=1<5 →

v=5; t=T[5]=7;

3. v=6≠0;

v=6=f=6; → конец алгоритма.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной работе разработаны алгоритмы сортировки, поиска кратчайшего пути в графе и поиска покрытия, близкого к кратчайшему. Алгоритмы исполнены с нужной степенью детализации, необходимой для понимания их работы. Рассмотрены пути улучшения эффективности каждого алгоритма учитывая требования конкретной задачи.

Большое внимание уделено сравнению возможного использования нескольких структур данных, проведён анализ эффективности работы алгоритма в зависимости от используемой структуры.

Рассмотрена сложность каждого алгоритма, её зависимость от условий данной задачи, методы упрощения и облегчения понимания алгоритма.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. – С.-П.: Невский диалект, 2001. – 350 с.

2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – С.-П.: Питер, 2003.–292 с.

3. Шендрик Е.В. Конспект лекций по дисциплине «Теория алгоритмов». – Одесса, 2003.

 

Содержание

 

Введение

1 Алгоритм сортировки Шейкер

1.1 Математическое описание задачи

1.2 Словесное описание алгоритма и его работы

1.3 Описание схемы алгоритма

1.4 Контрольный пример

2 Алгоритм покрытия: построение одного кратчайшего покрытия

2.1 Математическое описание задачи

2.2 Словесное описание алгоритма и его работы

2.3 Описание схемы алгоритма

2.4 Контрольный пример

3 Алгоритм на графах: нахождение кратчайшего пути

3.1 Математическое описание задачи

3.2 Словесное описание алгоритма и его работы

3.3 Описание схемы алгоритма

3.4 Контрольный пример

Заключение

Перечень литературы

 

Введение

 

Алгоритм – это точно определенная (однозначная) последовательность простых (элементарных) действий, обеспечивающих решение любой задачи из некоторого класса, т.е. такой набор инструкций, который можно реализовать чисто механически, вне зависимости от умственных способностей и возможностей исполнителя.

Теория алгоритмов и практика их построения и анализа является концептуальной основой разнообразных процессов обработки информации. В настоящее время теория алгоритмов образует теоретический фундамент вычислительных наук. Применение теории алгоритмов осуществляется как в использовании самих результатов (особенно это касается использования разработанных алгоритмов), так и в обнаружении новых понятий и уточнении старых. С ее помощью проясняются такие понятия как доказуемость, эффективность, разрешимость, перечислимость и другие.

Эффективность алгоритма определяется анализом, который должен дать четкое представление, во-первых, о емкостной и, во-вторых, о временной сложности процесса.

Речь идет о размерах памяти, в которой предстоит размещать все данные, участвующие в вычислительном процессе (естественно, к ним относятся входные наборы, промежуточная и выходная информация), а также физических ресурсах, затраченных исполнителем.

В курсовой работе представлены различные подходы и методы использования алгоритмов, приведены оценки сложностей алгоритмов, реализации математических задач с помощью алгоритмов. Проведена краткая характеристика используемых структур данных, эффективность их применения в данной задаче

 

АЛГОРИТМ СОРТИРОВКИ: СОРТИРОВКА ШЕЙКЕР