Что называется дополнением множества А до множества В. Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов эйлера.

Что называется дополнением множества А до множества В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

 

Если множесто Х – подмножество множества У (Х ⊂ У), то разность У \ Х называют дополнением множества Х до множества У и обозначают символом С_УХ.

Итак, С_УХ = У \ Х.

Операцию нахождения дополнения подмножества до множества также называют дополнением.

 

5 . Что называется прямым (декартовым) произведением множества А на множество В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его на примере

Декартовым (прямым) произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество А₁ А₂ … А_n, состоящее из упорядоченных наборов (а₁, а₂, …, а_n) их элементов, взятых по одному из каждого множества: а₁ А₁, а₂ А₂, …, а_n А_n.

Кратко: А₁ А₂ … А_n = {(а₁, а₂, …, а_n) | а₁ А₁, а₂ А₂, …, а_n А_n}.

В частности, А В = {(x, y) | x А, y В}.

По определению принимают, что А = А = = .

Декартово произведение А называют декартовым квадратом или просто квадратом множества А и обозначают символом А². Т.о.,

А² = А {(x, y) | x А, y А}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств называют декартовым умножением множеств.

6. Что называется бинарным отношением в множестве А? Сформулируйте определение и приведите пример бинарного отношения в множестве.

 

Определение 1. Бинарное отношение во множестве А – это правило, позволяющее составлять упорядоченные пары (х, у) из элементов х, у множества А.

Другое, близкое по смыслу, но не идентичное данному, определение таково:

Определение 2. Бинарным отношением в множестве А называют любое подмножество Р декартова произведения А А (декартова квадрата А²).

Согласно этому определению

Р ⊂ А А.

Пример 1. Пусть А = {1, 2, 3}. Зададим в множестве А бинарное отношение Р правилом:

«хРу (элемент х находится в отношении Р с элементом у) тогда и только тогда, когда х ≤ у».

(с точки зрения логики правило задано в форме двуместного предиката).

 

В данном случае, бинарное отношение Р задано словесным правилом. Его естественно назвать отношением «не больше». Символ ≤ также можно было бы принять в качестве обозначения данного бинарного отношения.

Очевидно, этому правилу удовлетворяют только следующие упорядоченные пары элементов множества А:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3).

7. Что называется отношением эквивалентности в множестве А? Сформулируйте определение и приведите пример отношения эквивалентности в множестве.

Отношение Р в множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет трем условиям:

1) аРа, а А (рефлексивность);

2) аРв вРа, а, в А (симметричность);

3) аРв, вРс ⇒ аРс, а, в, с А (транзитивность).

Пример 1. Отношение ⇈ сонаправленности лучей во множестве А ориентированных лучей на плоскости (в пространстве).

В самом деле, во-первых, это – бинарное отношение на А, т.к. позволяет пары лучей по указанному принципу.

Во-вторых, выполняются условия 1) – 3):

1) а ⇈ а,а А;

2) а ⇈ в в ⇈ а, а, в А;

3) а ⇈ в, в ⇈ с ⇒ а ⇈ с, а, в, с А.

Пример 2. Отношение = равенства фигур на плоскости (в пространстве).

В самом деле, во-первых, это – бинарное отношение в А, т.к. позволяет пары лучей по указанному принципу.

Во-вторых, выполняются условия 1) – 3):

1) а = а,а А;

2) а = в в = а, а, в А;

3) а = в, в = с ⇒ а = с, а, в, с А.

 

8. Что называется классом эквивалентности элемента а множества А, относительно заданного в нем отношения эквивалентности? Сформулируйте определение и приведите пример класса эквивалентности элемента множества.

Классом эквивалентности элемента а множества А по отношению называется множество [a], состоящее из элементов этого множества, эквивалентных элементу а:

[a] = {x A | x а}.

Любой элемент х, принадлежащий классу эквивалентности [a], называется представителем этого класса.

Устное упражнение. Пусть А – множество студентов группы 1. Это конечное множество, мощность которого равна числу студентов группы. Рассмотрим бинарное отношение Р в А: студент х находится в отношении Р со студентом у, если он имеет тот же балл по математике в аттестате об окончании школы, что и студент у. Во-первых, Р – бинарное отношение в А (поскольку задает правило, позволяющее формировать упорядоченные пары студентов из А; отношение будет полным, если все студенты имеют одинаковый балл, пустым, если все студенты не были аттестованы по математике в школе). Во-вторых, очевидно, Р – отношение эквивалентности в А.

 

 

9. Что называется фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности ~? Сформулируйте определение и приведите пример класса эквивалентности элемента множества, относительно заданного в нем отношения эквивалентности.

Пусть – отношение эквивалентности в множестве А. Множество всех классов эквивалентности элементов множества А называется фактор-множеством множества А по этому отношению эквивалентности:

= { [a] | а А}.

Если отношение эквивалентности обозначено, например, через Р, то соответствующее фактор-множество обозначается через А / Р.

Теперь сформулированную только что теорему можно перефразировать по-другому:

Перефразировка теоремы. Всякое фактор-множество является разбиением множества А, и, наоборот, каждое разбиение множества А совпадает с фактор-множеством множества А по некоторому отношению эквивалентности .

Грубо говоря, фактор-множество и разбиение – это одно и то же.

Устное упражнение. Пусть А – множество студентов группы 2. Рассмотрим уже знакомое бинарное отношение Р в А: студент х находится в отношении Р со студентом у, если он имеет тот же балл по математике в аттестате об окончании школы, что и студент у. Согласно итогам анкетирования, в аттестатах студентов этой группы представлены следующие баллы по математике – 5, 6, 7, 8, 9. Их – пять. Т.о., фактор-множество А / Р

состоит из пяти элементов:

А / Р = {[5], [6], [7], [8], [9]},

где[5] – класс эквивалентности, состоящий из студентов, имеющих оценку 5 (кстати, он одноэлементный) т.д.

Можно сказать и по-другому: совокупность {[5], [6], [7], [8], [9]} – есть разбиение множества А, порожденное отношением эквивалентности Р.

10. Что называется разбиением множества А? Сформулируйте определение и приведите пример разбиения множества.

Разбиением непустогомножества А называется совокупность его попарно не пересекающихся непустых подмножеств, объединение которых совпадает с множеством А.

Каждое такое подмножество называется классом разбиения.

Выражение

T _i = (i = 0, 1, 2, …, m) (3)

Что называется дополнением множества А до множества В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его с помощью кругов Эйлера.

 

Если множесто Х – подмножество множества У (Х ⊂ У), то разность У \ Х называют дополнением множества Х до множества У и обозначают символом С_УХ.

Итак, С_УХ = У \ Х.

Операцию нахождения дополнения подмножества до множества также называют дополнением.

 

5 . Что называется прямым (декартовым) произведением множества А на множество В? Сформулируйте определение и проиллюстрируйте его на примере

Декартовым (прямым) произведением множеств А₁, А₂, …, А_n называется множество А₁ А₂ … А_n, состоящее из упорядоченных наборов (а₁, а₂, …, а_n) их элементов, взятых по одному из каждого множества: а₁ А₁, а₂ А₂, …, а_n А_n.

Кратко: А₁ А₂ … А_n = {(а₁, а₂, …, а_n) | а₁ А₁, а₂ А₂, …, а_n А_n}.

В частности, А В = {(x, y) | x А, y В}.

По определению принимают, что А = А = = .

Декартово произведение А называют декартовым квадратом или просто квадратом множества А и обозначают символом А². Т.о.,

А² = А {(x, y) | x А, y А}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств называют декартовым умножением множеств.

6. Что называется бинарным отношением в множестве А? Сформулируйте определение и приведите пример бинарного отношения в множестве.

 

Определение 1. Бинарное отношение во множестве А – это правило, позволяющее составлять упорядоченные пары (х, у) из элементов х, у множества А.

Другое, близкое по смыслу, но не идентичное данному, определение таково:

Определение 2. Бинарным отношением в множестве А называют любое подмножество Р декартова произведения А А (декартова квадрата А²).

Согласно этому определению

Р ⊂ А А.

Пример 1. Пусть А = {1, 2, 3}. Зададим в множестве А бинарное отношение Р правилом:

«хРу (элемент х находится в отношении Р с элементом у) тогда и только тогда, когда х ≤ у».

(с точки зрения логики правило задано в форме двуместного предиката).

 

В данном случае, бинарное отношение Р задано словесным правилом. Его естественно назвать отношением «не больше». Символ ≤ также можно было бы принять в качестве обозначения данного бинарного отношения.

Очевидно, этому правилу удовлетворяют только следующие упорядоченные пары элементов множества А:

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3).

7. Что называется отношением эквивалентности в множестве А? Сформулируйте определение и приведите пример отношения эквивалентности в множестве.

Отношение Р в множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет трем условиям:

1) аРа, а А (рефлексивность);

2) аРв вРа, а, в А (симметричность);

3) аРв, вРс ⇒ аРс, а, в, с А (транзитивность).

Пример 1. Отношение ⇈ сонаправленности лучей во множестве А ориентированных лучей на плоскости (в пространстве).

В самом деле, во-первых, это – бинарное отношение на А, т.к. позволяет пары лучей по указанному принципу.

Во-вторых, выполняются условия 1) – 3):

1) а ⇈ а,а А;

2) а ⇈ в в ⇈ а, а, в А;

3) а ⇈ в, в ⇈ с ⇒ а ⇈ с, а, в, с А.

Пример 2. Отношение = равенства фигур на плоскости (в пространстве).

В самом деле, во-первых, это – бинарное отношение в А, т.к. позволяет пары лучей по указанному принципу.

Во-вторых, выполняются условия 1) – 3):

1) а = а,а А;

2) а = в в = а, а, в А;

3) а = в, в = с ⇒ а = с, а, в, с А.

 

8. Что называется классом эквивалентности элемента а множества А, относительно заданного в нем отношения эквивалентности? Сформулируйте определение и приведите пример класса эквивалентности элемента множества.

Классом эквивалентности элемента а множества А по отношению называется множество [a], состоящее из элементов этого множества, эквивалентных элементу а:

[a] = {x A | x а}.

Любой элемент х, принадлежащий классу эквивалентности [a], называется представителем этого класса.

Устное упражнение. Пусть А – множество студентов группы 1. Это конечное множество, мощность которого равна числу студентов группы. Рассмотрим бинарное отношение Р в А: студент х находится в отношении Р со студентом у, если он имеет тот же балл по математике в аттестате об окончании школы, что и студент у. Во-первых, Р – бинарное отношение в А (поскольку задает правило, позволяющее формировать упорядоченные пары студентов из А; отношение будет полным, если все студенты имеют одинаковый балл, пустым, если все студенты не были аттестованы по математике в школе). Во-вторых, очевидно, Р – отношение эквивалентности в А.

 

 

9. Что называется фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности ~? Сформулируйте определение и приведите пример класса эквивалентности элемента множества, относительно заданного в нем отношения эквивалентности.

Пусть – отношение эквивалентности в множестве А. Множество всех классов эквивалентности элементов множества А называется фактор-множеством множества А по этому отношению эквивалентности:

= { [a] | а А}.

Если отношение эквивалентности обозначено, например, через Р, то соответствующее фактор-множество обозначается через А / Р.

Теперь сформулированную только что теорему можно перефразировать по-другому:

Перефразировка теоремы. Всякое фактор-множество является разбиением множества А, и, наоборот, каждое разбиение множества А совпадает с фактор-множеством множества А по некоторому отношению эквивалентности .

Грубо говоря, фактор-множество и разбиение – это одно и то же.

Устное упражнение. Пусть А – множество студентов группы 2. Рассмотрим уже знакомое бинарное отношение Р в А: студент х находится в отношении Р со студентом у, если он имеет тот же балл по математике в аттестате об окончании школы, что и студент у. Согласно итогам анкетирования, в аттестатах студентов этой группы представлены следующие баллы по математике – 5, 6, 7, 8, 9. Их – пять. Т.о., фактор-множество А / Р

состоит из пяти элементов:

А / Р = {[5], [6], [7], [8], [9]},

где[5] – класс эквивалентности, состоящий из студентов, имеющих оценку 5 (кстати, он одноэлементный) т.д.

Можно сказать и по-другому: совокупность {[5], [6], [7], [8], [9]} – есть разбиение множества А, порожденное отношением эквивалентности Р.

10. Что называется разбиением множества А? Сформулируйте определение и приведите пример разбиения множества.

Разбиением непустогомножества А называется совокупность его попарно не пересекающихся непустых подмножеств, объединение которых совпадает с множеством А.

Каждое такое подмножество называется классом разбиения.