Классификация моделей и типы данных.

Можно выделить три основных класса моделей, используемых для анализа:

1) Регрессионные модели с одним уравнением

Y = f(x, β) + ξ(u)

Y = α+βx+u

Y = αx^βu

2) Системы одновременных уравнений. Эти модели состоят из эконометрических уравнений и тождеств. Каждое регрессионное уравнение может включать и объясняемые переменные из др уравнений системы, т.о. мы имеем набор объясняемых переменных, связанных через уравнение системы.

Q_t^d - функция совокупного спроса

Q_t^s - функция совокупного предложения

P_t, P_t-1 – цены

Y_t – совокупный доход

Q_t^d = α₀ + α₁p_t + α₂y_t + u₁

Q_t^s = β₀ + β₁ p_t + β₂ P_t-1 + u₂

Q_t^d = Q_t^s

3) Модели временных или динамических рядов

- модели тренда

T(t) = α + βt + u

- модели сезонности

S(t) = f(t) + u

- тернд – сезонные модели:

аддитивная – y_t = T(t) + S(t) +u_t

мультипликативная - y_t = T(t) S(t)+ u_t

Типы данных:

1. Пространственная выборка – набор показателей экономических переменных, получаемые в один и тот же момент времени, но по разным объектам.

2. Временные ряды – ряд значений экономических показателей, расположенных в хронологической последовательности.

3. Панельные данные – совмещенные данные временного ряда и пространственной выборки.

3.Этапы построения эконометрической модели:

1. Постановочный. На нем формируется цель исследования и формируется набор учтенных в модели экономических переменных.

В качестве целей выступают:

-анализ исследуемого объекта

- прогноз экономических показателей исследуемого объекта

- имитация развития объекта при различных значениях экзогенных (внешних) переменных

- выработка управленческих решений

2. Априорный. Проводится анализ сущности объекта, а также формирование и формализация априорной информации.

3. Параметризация. Осуществление моделирования.

Задачи:

- осуществляется выбор вида функции f(x_β)

- исследуется возможность использования линейной функции

- осуществление спецификации модели, т.е. выражение в математической форме, выявленных связей и соотношений (функциональная спецификация)

- установление состава экзогенных (независимые, объясняющие) и эндогенных (внутренние, зависимые) переменных

- формирование исходных предпосылок и ограничений модели

4. Информационный. Осуществляется сбор необходимой статистической информации, т.е. наблюденных значений экономических показателей.

5. Идентификация. Осуществляется оценка параметров модели и статистический анализ модели.

6. Верификация. Проводится проверка истинности и адекватности модели, выясняется удачность решения проблем спецификации и идентификации, определяется точность модели и делается обобщающий вывод о соответствии модели реальному эк процессу.

Модель парной регрессии.

Y=α+βx+u

x-регрессор(объясняющая) внешняя

y-регрессант (объясняющая) внутренняя

α,β-параметры модели

u-случайная компонента

N x y ГРАФИК

1 x1 y1

2 x2 y2

3 x3 y3

4 x4 y4

Можно сказать, что y состоит из: неслучайной составляющей α+βx и случайной составляющей u

Q-теоретич знания

P-наблюдённые знания

Задача регресс-го анализа в нахождении оценок для α и β и определении положения прямой по точкам P.

Случайный член. Причины его существования.

1. Невключение объясняющих переменных. В действительности существуют и др факторы влияния на у, которые не включены в уравнение, их влияние приводит к тому, что наблюдения лежат вне прямой.

Невключение может происходить в следующих случаях:

- невозможность измерения переменных

- малое влияние этих факторов

- отсутствие знаний о влиянии этих факторов, отсутствие опыта

Если бы мы точно знали, какие факторы оказывают влияние и умели их измерять, то включили бы их в уравнение регрессии, а следовательно исключили бы соответствующую компоненту из случайного члена.

2. Агрегирование переменных. Во многих случаях рассматривается зависимость – попытка объединить вместе некоторое число микроэкономических соотношений. Например, функция совокупного спроса – попытка общего выражения совокупных решений отдельных индивидов о расходах. Отдельные соотношения имеют разные параметры, поэтому любая попытка определить соотношение между совокупными расходами и доходами является лишь аппроксимацией и наблюдаемое расхождение при этом приписывается случайной компоненте

3. Неправильно описание структуры модели. Если зависимость относится к данным о временном ряде, то значение у может зависеть не от фактического значения х, а от ожидаемого значения в предыдущем периоде. Если фактическое и ожидаемое значения тесно связаны, то будет казаться, что между у и х существует связь, однако это лишь аппроксимация и расхождения будут связаны со случайной компонентой.

4. Неправильная функциональная спецификация. Истинная зависимость может быть нелинейной, т.е. носить более сложный характер и надо использовать более походящую математическую форму, но любая форма является приближением и существующее расхождение будет вносить свой вклад в случайную компоненту.

5. Ошибки измерения. Если в измерении одной или нескольких взаимосвязанных переменных имеются ошибки, то наблюдаемые значения не будут соответствовать точному соотношению, и наблюдаемое расхождение будет вносить свой вклад в случайную компоненту.

Случайная компонента является суммарным проявлением всех этих факторов.

6. Условия нормальной линейной регрессии (Гаусса-Маркова).

1. Математическое ожидание случайной компоненты в любом наблюдении должно быть равно 0. E(u_i) = 0

Иногда случайная компонента положительна, иногда отрицательна, но она не должна иметь системного смещения ни в одном из двух возможных направлений.

Если уравнение регрессии включает константу, то можно предположить, что это условие выполняется автоматически, т.к. роль константы состоит в определении любой систематической тенденции в поведении у, которую не учитывают объясняющие переменные, включенные в модель.

2. Дисперсия случайной компоненты должна быть постоянна для любых наблюдений. Иногда случайная компонента будет больше или меньше, но не должно быть априорной причины, для того чтобы она порождала большую ошибку в одних уравнениях, чем в других.

σ_u²-постоянна

Если это условие выполняется, то говорят, что дисперсия ошибки гомоскедостична, в противном случае присутствует гетероскедостичность ошибки.

3. Значения случайной компоненты должны быть независимы в разных наблюдениях. Если это условие выполняется, то говорят, что отсутствует автокорреляция случайной компоненты.

E(u_i, u_j) = 0, i≠j

Если случайная компонента велика и положительна в одном наблюдении, то это не должно обязательно обуславливать системную тенденцию к тому, что она будет велика и положительна в др наблюдении.

4. Случайная компонента должна быть распределена независимо от объясняющих переменных.

E(u_i, x_i) = 0

Иногда формулируют дополнительное условие о нормальности распределения случайной компоненты. Если случайная компонента распределена нормально, то и оценки параметров распределены нормально вокруг истинных значений.

 

Метод наименьших квадратов.

Самым популярным методом идентификации функции является МНК.

Остаток или отклонение – это разница между наблюдаемыми значениями у и ее теоретическими значениями в каждом наблюдении, т.е. при каждом значении х.

1) Х₁ (у₁ –Ŷ₁)² = е₁²

2) Х₂ (у₂ –Ŷ₂)2 = е₂²

Х_n (у_n –Ŷ_n)² = е_n²

S =Σe_i² = Σ(у_i –Ŷ_i)² = Σ(у_i – a – bx_i)² min

Система ур-й: частная дисперсия S по a = 0

частная дисперсия S по b = 0

a = y_ср – bx_ср

b = ((xy)_ср - х_сру_ср)/((x²)_ср – x_ср²) = cov(x,y)/var(x)

МНК (метод нахождения минимума) – метод оценки параметров модели через минимизацию суммы квадратов отклонений фактических значений от теоретических.