Устойчивости в плоскости варьируемых

параметров x 1 и x 2

Исходным материалом для исследования устойчивости САУ по критерию Гурвица является ее характеристический полином A (p). Система третьего порядка будет устойчивой, если выполняется неравенство

, (4.2)

где – коэффициенты характеристического полинома.

На границе устойчивости должно выполняться равенство:

 

, (4.3)

В рассматриваемом случае

.

Оценим устойчивость САУ по условию (4.2):

.

Т.к. условие (4.2) (положительность главного минора определителя Гурвица ) не выполняется, то система неустойчива.

Пусть варьируемыми параметрами являются коэффициент передачи и постоянная времени первого звена САУ, то есть и . Введем третий варьируемый параметр и выведем расчетные соотношения для параметров и , так как . В этом случае выражения для коэффициентов характеристического полинома примут вид:

Подставим выражения коэффициентов в условие границы устойчивости (4.3) и разрешим полученное выражение относительно параметра . Тогда получим:

;

. (4.4)

При подстановке в качестве параметра значения постоянной времени в выражение (4.4) рассчитывается граничное значение коэффициента передачи разомкнутой цепи, что является проверкой правильности выполнения п. 3.2.3 задания:

.

Путем простого пересчета по формуле строится граница устойчивости САУ в области параметров и . Результаты вычислений по формуле (4.4) приведены в табл. 4.1, а сама граница устойчивости изображена на рис. 4.1. Область устойчивости САУ будет располагаться между кривой и осями координат, поскольку именно здесь выполняется условие .

Таблица 4.1

, с	0,225	0,25	0,275	0,3	0,325	0,35	0,375	0,4
	15,38	8,2	5,82	4,64	3,94	3,48	3,157	2,192

 

Построение логарифмических частотных

Характеристик САУ для заданного запаса

Устойчивости по амплитуде

 

Исходя из определения запаса устойчивости по амплитуде D G, можно записать следующее уравнение:

,

где и – коэффициент передачи разомкнутой цепи и его граничное значение.

Решая это логарифмическое уравнение, можно рассчитать значение необходимого коэффициента передачи разомкнутой цепи , исходя из известного и заданного запаса устойчивости по амплитуде D G:

. (4.5)

В рассматриваемом задании, для D G = 10 дБ, в соответствии с формулой (4.5) принимается следующее значение :

, отсюда .

Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) строятся непосредственно по передаточной функции разомкнутой цепи системы, причем

, (4.6)

, (4.7)

где и – ЛАЧХ и ЛФЧХ i-го звена САУ с частотной характеристикой ; – количество звеньев; – функция аргумента (для типовых звеньев может быть рассчитана через вещественную и мнимую частотные характеристики по формуле:

.

При построении асимптотической ПАЧХ следует руководствоваться следующим алгоритмом:

- рассчитывается коэффициент передачи на частоте w = 1 по выражению ;

- рассчитываются частоты сопряжения ЛАЧХ звеньев , где – постоянная времени i-го звена;

- асимптотическая ЛАЧХ САУ строится по асимптотическим ЛАЧХ ее звеньев, причем следует помнить, что ЛАЧХ пропорционального звена имеет нулевой наклон во всем диапазоне частот, ЛАЧХ интегрирующего звена - наклон -20 дБ/дек во всем диапазоне частот, ЛАЧХ инерционного звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон -20 дБ/дек после этой частоты, ЛАЧХ форсирующего звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон +20 дБ/дек после этой частоты, ЛАЧХ колебательного звена - нулевой наклон до частоты сопряжения и наклон - 40 дБ/дек после этой частоты.

Ниже приведены расчетные соотношения для ЛФЧХ некоторых типовых звеньев:

– для пропорционального звена;

– для интегрирующего звена;

– для инерционного звена;

– для форсирующего звена;

– для колебательного звена.

Проиллюстрируем действие описанного алгоритма для рассматриваемого задания. Рассчитаем значение коэффициента передачи на нулевой частоте

дБ.

Рассчитаем частоты сопряжения:

дек – для колебательного звена;

дек – для форсирующего звена;

дек – для инерционного звена.

Для заданного варианта расчетная формула для ЛФЧХ будет иметь вид:

На рис. 4.2 а построена асимптотическая ЛАЧХ для заданной САУ. Она имеет нулевой наклон до частоты сопряжения , соответствующей инерционному звену. Инерционное звено «включается» и ЛАЧХ приобретает наклон –20 дБ/дек. Этот наклон сохраняется до частоты сопряжения . Далее «срабатывает» колебательное звено, и суммарный наклон ЛАЧХ становится равным –60 дБ/дек, который сохраняется до частоты сопряжения , соответствующей форсирующему звену. Оно снижает наклон ЛАЧХ до –40 дБ/дек и этот наклон остается неизменным при дальнейшем увеличении частоты. Частота , при которой ЛАЧХ пересекает ось lg(w) (т.е. коэффициент передачи САУ становится равным единице), называется частотой среза и характеризует запас устойчивости САУ по фазе Dj.

На рис. 4.2 б показана ЛФЧХ САУ, рассчитанная по приведенному выше выражению. Легко видеть, что начальный фазовый сдвиг составляет около –50°. Это обусловлено одновременным «действием» колебательного и инерционного звеньев. Затем фаза возрастает (по абсолютной величине) и на частоте переворота фазы , определяющей запас устойчивости САУ по амплитуде, становится равной –180°. После «включения» форсирующего звена фаза начинает уменьшаться (по абсолютной величине) и асимптотически стремится к значению –180°. Отрезок °, образованный ЛФЧХ и линией, соответствующей –180°, на частоте среза является запасом устойчивости САУ по фазе.