Задачи для отчета по лабораторной работе

1. Один из маятников за некоторое время совершил

n₁ = 10 колебаний. Другой маятник за то же время совершил

n₂ = 6 колебаний. Разность длин маятников = 16 см. Найти длины маятников l₁ и l ₂.

2. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в 3,7 раз больше радиуса Луны. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Луну?

3. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

4. Математический маятник длиной l = 1 м установлен в лифте. Лифт поднимается с ускорением a = 2,5 м/с². Определить период T колебаний маятника.

5. В неподвижной кабине лифта качается маятник. Вследствие обрыва троса кабина начинает падать с ускорением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва он: а) находился в одном из крайних положений, б) проходил через положение равновесия?

6. Однородный стержень длиной l = 0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период T колебаний стержня.

7. Найти период колебаний T стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии d = 10 см от его верхнего конца.

8. Обруч диаметром D = 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период T колебаний обруча.

9. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой l равна радиусу шарика R. Во сколько раз период малых колебаний T₁ этого маятника больше периода малых колебаний T₂ математического маятника с таким же расстоянием от центра масс до точки подвеса?

10. Тонкая прямоугольная пластинка может колебаться вокруг горизонтальной оси, которая лежит в плоскости пластины перпендикулярно одной из ее сторон. Длина стороны равна l.

Каков период колебаний, если ось совпадает с верхней стороной пластинки? При каком расстоянии оси от середины пластинки период колебаний будет наименьшим? Каков этот период?

11. Однородный круглый диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний относительно точки подвеса?

12. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

13. Однородный стержень длиной l совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси ОО^’, перпендикулярной стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром стержня и осью ОО^’, при котором период колебаний будет наименьшим.

14. Шар радиусом 5 см подвешен на нити длиной 10 см. Определите погрешность, которую мы допускаем, приняв его за математический маятник длиной 15 см.

15. Некоторое тело совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с периодом T ₁ = 0,5 с. Если же к нему прикрепить груз массой m = 50 г на расстоянии l = 10 см ниже точки подвеса, то оно колеблется с периодом T = 0,6 с. Найдите момент инерции тела относительно этой оси.

16. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча R равен 30 см. Вычислить приведенную длину этого физического маятника.

17. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину такого маятника.

18. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см укреплены одинаковые грузы по одному на каждом конце. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину такого физического маятника. Массой стержня пренебречь.

19. На стержне длиной l = 30 см укреплены два одинаковых груза: один – в середине стержня, другой – на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L стержня.

20. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l = 30 см (рис. 4), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период системы и приведенную длину такого физического маятника.

Рис. 4 (к задаче 20)

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

Краткая теория

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси, по окружности, центр которой лежит на оси. Линейная скорость точки тела v связана с угловой скоростью тела.

, (1)

где r – расстояние от точки тела до оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:

, (2)

где - элементарные массы, на которые мысленно разбито тело. Подставляя скорость v_i из формулы (1) в (2), получим

(3)

Величина (4)

называется моментом инерции тела. Момент инерции характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела.

Выражение для кинетической энергии вращающегося тела вокруг неподвижной оси, исходя из формул (3) и (4), выглядит следующим образом:

.

Для вычисления моментов инерции различных тел массу в формуле (4) выражают через плотность тела: = ρ Δ V_i, где Δ V_i – элементарный объем тела, и переходят к пределу ΔVi → 0. Тогда получим

. (6)

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции тела I_с относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой.

,

где m – масса тела, а – расстояние между осями.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение динамических характеристик вращательного движения: момента силы – М, момента инерции – I, момента импульса – L.

2. Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции обруча, стержня, диска?

3. В чем состоит суть теоремы Штейнера?

4. Получите основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Получите уравнение колебаний крутильного маятника.

6. Как рассчитать период колебаний крутильного маятника?

Задачи

1. Однородный диск массой m = 3 кг и радиусом R = 20 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис.4). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания)

k = 6 Н∙м/рад. Определить частоту ω малых крутильных колебаний.

2. По данным предыдущей задачи определить амплитуду α _m и начальную фазу φ колебаний, если в начальный момент

α = 0,06 рад, w = 0,8 рад/с.

3. Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков R одинаков и равен 0,5 м. Массы дисков равны m ₁ = 0,1 кг и m ₂ = 3 кг. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между возникающим вращающим моментом и углом закручивания равен k = 5,92 Н м /рад. Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период T крутильных колебаний дисков?

4. По диаметру горизонтального диска может перемещаться, без трения по направляющему стержню небольшая муфта массой m = 0,1 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой k = 10 Н/м (рис. 5). Если пружина не деформирована, муфта находится в центре диска.

Найти частоту ω малых колебаний муфты в том случае, если диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью, равной 6 рад/с

Рис. 4 (к задаче 1) Рис. 5 (к задаче 4)

5. Сплошной однородный цилиндр массой m совершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равна k (рис. 6). Найти период этих колебаний в отсутствии скольжения.

6. Определить момент инерции системы, состоящей из четырех точечных масс m, расположенных по вершинам квадрата со стороной a, относительно оси, лежащей в плоскости квадрата и совпадающей с его диагональю.

7. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции системы точек относительно оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости.

8. Определите момент инерции медного диска радиусом

R = 5 см, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами r = 2 см. Центры вырезов находятся на прямой, проходящей через центр диска на расстоянии l = 2,5 см от него (рис.7). Толщина диска h = 0,1 см. Ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.

Рис. 6 (к задаче 5) Рис.7 (к задаче 8)

9. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через центры вырезов.

10. Плотность цилиндра длиной l – 0,1 м и радиусом

R = 0,05 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения

ρ₁ = 500 кг/м³ до значения ρ₂ = 1500 кг/м³. Найти момент инерции цилиндра относительно оси цилиндра.

7. Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов с помощью теоремы Штейнера. Масса стержня m, длина l.

8. По данным предыдущей задачи найти момент инерции стержня относительно оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из концов.

9. Найти момент инерции диска массой m, радиусом R относительно оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Применить теорему Штейнера.

10. Определить момент инерции шара массой m = 2 кг радиусом R = 10 см относительно оси, проходящей через середину радиуса, используя теорему Штейнера.

11. По данным предыдущей задачи определить момент инерции шара, подвешенного на нити длиной l = 10 см относительно точки подвеса.

12. Два шара с массами m ₁ = 1 кг и m ₂ = 2 кг насажены на гладкий горизонтальный стержень (рис. 8). Шары соединены между собой пружиной с жесткостью k = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v ₁ = 12 см/с. Найти частоту колебаний системы.

13. По данным предыдущей задачи найти энергию колебаний.

14. По данным предыдущей задачи найти амплитуду колебаний системы.

15. Найти циклическую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массой m и длиной l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 9). Жесткость пружины k. В положении равновесия стержень вертикален

Рис. 8 (к задаче 12) Рис. 9 (к задаче 15)

Гироскоп

Краткая теория

Гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось которого может изменять свое направление в пространстве. Большие скорости вращения гироскопа требуют, чтобы ось гироскопа была осью симметрии. Подвижность оси гироскопа обеспечивается кардановым подвесом или каким-либо другим аналогичным устройством. При этом вращение оси гироскопа происходит таким образом, что некоторая точка O этой оси (например, центр масс гироскопа) остается неподвижной. При вращении оси соответствующая угловая скорость Ω (скорость прецессии) много меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг своей оси, которую будем обозначать ω.

Если на ось гироскопа действует некоторая сила, создающая момент M, то момент импульса относительно точки O (главный момент импульса) L изменяется в соответствии с уравнением моментов.

. (1)

Анализ уравнения (1) упрощается вследствие того, что угловая скорость вращения гироскопа очень большая. А это означает, что при относительно медленном изменении ориентации оси гироскопа главный момент импульса практически направлен по оси гироскопа. Момент внешних сил M направлен перпендикулярно оси гироскопа, т.е. практически перпендикулярно главному моменту импульса L. Приращение dL момента импульса должно быть направлено по моменту M, т.е. практически перпендикулярно моменту импульса L. Такое приращение вызовет изменение направления момента импульса L, т.е. изменение направления оси гироскопа. Если при этом ось поворачивается на угол Ω dt, то соответствующее изменение момента импульса

.(2)

Следовательно, под действием постоянного момента сил M возникнет вращение оси гироскопа с постоянной угловой скоростью Ω. При этом изменение момента импульса L в единицу времени, равное L Ω, будет определяться уравнением (1). Отсюда следует, что

L Ω = M. (3)

Учитывая, что для быстро вращающегося гироскопа

, (4)

где – момент инерции гироскопа относительно его оси, получим для угловой скорости

Вращение оси гироскопа с угловой скоростью Ω под действием постоянного момента сил M называется прецессией гироскопа.

Отметим две особенности прецессионного движения. Во-первых, прецессия не обладает «инертностью» (прецессия существует, пока действует момент). Во-вторых, ось вращения прецессии не совпадает с направлением момента силы M, а перпендикулярна ему (приращение параллельно вектору) .

Контрольные вопросы и задания

1. Почему знание массы тела является недостаточным для описания его инерционных свойств?

2. Где должна быть приложена и как направлена внешняя сила, чтобы ее момент вызвал максимальное угловое ускорение тела?

3. В чем состоит физическая суть гироскопического эффекта и возникающих при этом гироскопических сил? Как они согласуются с законами вращательного движения?

4. Назовите факторы, которые влияют на скорость регулярной прецессии гироскопа с неподвижной точкой опоры.

5. Объясните поведение быстро вращающегося китайского волчка, исходя из гироскопического эффекта.

Задачи

1. Проведите оценку порядка величины момента импульса колеса взрослого велосипеда, если скорость велосипеда 30 км/ч.

2. Чему должен быть равен момент силы, который следует приложить к рулю, чтобы повернуть велосипед на угол 1 рад за 0,1 с?

3. Два маленьких шарика массами m ₁ = 40 г и m ₂ = 120 г соединены стержнем длиной l = 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс системы. Определите импульс и момент импульса системы. Частота вращения равна 3 с^-1.

4. Двигатель равномерно вращает маховик. После отключения двигателя маховик в течение времени t = 30 с после

N = 120 оборотов останавливается. Момент инерции маховика

= 0,3 кг/м². Принимая, что угловое ускорение маховика после отключения двигателя постоянно, определить мощность двигателя при равномерном вращении маховика.

6. Чему равно отношение кинетических энергий вращательного и поступательного движения твердого цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения?

7. Твердый цилиндр массой m скатывается без скольжения по плоскости длиной l, наклоненной под углом α к горизонту (трением пренебречь). Чему равна скорость центра масс цилиндра в нижней части плоскости? Чему равна конечная скорость цилиндра, если он соскальзывает по плоскости без вращения?

8. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить частоту вращения маховика массой 0,5 т от 0 до 120 мин^-1? Массу маховика можно считать распределенной по ободу диаметром d =1,5 м. Трением пренебречь.

9. Вертикальный столб высотой h = 5 м подпиливается у основания и падает на землю. Определите линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю.

10. По условиям предыдущей задачи определить, какая точка столба будет в любой момент падения иметь такую же скорость, какую имело бы тело, падая с такой же высоты, как и данная точка?

11. Однородный круглый диск массой m= 5 10⁴ кг и радиусом R = 2 м является стабилизатором корабля массой M = 10⁷ кг. Угловая скорость вращения корабля равна 15 об/с. Чему равен момент импульса стабилизатора?

12. В предыдущей задаче ширина корабля D = 20 м, эффективный радиус поперечного сечения корабля R = 10 м. Время свободного поворота при крене (считая крен от –20⁰ до +20⁰) составляет 12 с. Оцените величину момента импульса корабля при таком крене. Каким путем гироскопический стабилизатор может помочь уменьшить угол крена?

13. Волчок массой m = 0.5 кг, ось которого наклонена под углом α = 30⁰ к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии = 2 г∙м² , угловая скорость вращения вокруг этой оси

ω = 350 рад/с, расстояние от точки опоры до центра масс волчка l = 10 см. Найти угловую скорость прецессии волчка.

14. Гироскопические эффекты используются в дисковых мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун) вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω и одновременно катится по горизонтальной опорной плите. Такое вращение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа (бегуна). При этом возрастает сила давления бегуна на горизонтальную плиту, по которой он катится. Эта сила растирает и измельчает материал, подсыпаемый под каток на плиту. Вычислить силу давления катка на плиту, если радиус бегуна

r = 50 см, а скорость 1 об/с.

15. Диск радиусом r, вращающийся вокруг собственной оси с угловой скоростью ω, катится без скольжения в наклонном положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время T. Определить T и радиус окружности R, если R > r, а угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен α.

16. Гироскоп в виде однородного диска радиусом R = 8 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 300 рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа Ω = 1 рад/с. Определить расстояние l от точки опоры до центра масс гироскопа.

17. Гироскоп массой m = 1 кг, имеющий момент инерции
I = 4,905 10^-3 кг м², вращается с угловой скоростью

ω = 100 рад/с. Расстояние от точки опоры до центра масс l = 5 см. Угол между вертикалью и осью гироскопа α = 30^о. Найти модуль угловой скорости прецессии Ω.

18. Симметричный волчок, ось которого наклонена под углом α к вертикали (рис.3), совершает регулярную прецессию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О неподвижна. Определить, под каким углом β к вертикали направлена сила, с которой волчок действует на плоскость опоры.

19. Какова физическая природа подъема центра масс быстро вращающегося китайского волчка с последующим его опрокидыванием? Качественно объясните поведение этой детской игрушки, исходя из теории простого гироскопа.

20. Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, прецессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет момент инерции I, угловую скорость вращения ω, расстояние от точки опоры до центра масс волчка равно l. В каком направлении будет прецессировать волчок?

Познавательные статьи:



Организация работы процедурного кабинета

Статус республик в составе РФ

Понятие финансов, их функции и особенности

Сущность демографической политии