Определение кратного интеграла

22) Производная по направлению

 

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Производная.

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции f в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,

где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.

Стандартные обозначения: или, с использованием оператора набла, — вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля V.

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат x, y, z называется векторная функция с компонентами

, , .

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функция n переменных , то её градиентом называется n-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

· Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

· Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, grad или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на dx. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Пусть — измеримое^[1] множество n-мерного вещественного пространства, — функция на B.

Разбиение множества B — это набор попарно непересекающихся подмножеств , такое что .

Мелкость разбиения — это наибольший диаметр множеств .

Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.

Кратным (n-кратным) интегралом функции f на множестве B называется число I (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа I мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества B и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:

: :

Здесь — мера множества .

Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму

Кратным интегралом функции называют предел

если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.

Интеграл обозначается следующим образом:

В векторном виде: ,Либо ставят значок интеграла d раз, записывают функцию и d дифференциалов: .Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения и соответственно.В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.В случае n=1 кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.Свойства кратных интегралов.Линейность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, тогда .Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества и измеримы, и . Пусть также функция f(X)определена и интегрируема на каждом из множеств G₁ и G₂. Тогда интеграл по G существует и равен .Монотонность по функции. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, причем . Тогда

.Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства. Интегральная теорема о среднем. Пусть G — компакт, функция f(X) непрерывна и интегрируема на G, тогда

Постоянная функция f(X)=c интегрируема на любом измеримом множестве G, причем .Как следствие, .

Геометрический смысл двойного интеграла Пусть функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z=f(x,y).

24) Двойной интеграл [править]

 

 

Геометрический смысл двойного интеграла

Двойным интегралом называют кратный интеграл с d=2.

. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.

В прямоугольных координатах: , где dxdy — элемент площади в прямоугольных координатах.

Геометрический смысл двойного интеграла [править]

Пусть функция f(x,y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему V вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .

Выражение двойного интеграла через полярные координаты [править]

Переход из прямоугольных координат в полярные.

 

Переход из прямоугольных координат в полярные.

В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.

Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:

Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что

.

Здесь является элементом площади в полярных координатах.

25) Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)

I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.

1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.

Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда

Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь

где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.

Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.

2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью представляет собой квадрируемую фигуру G(x)(рис. 1). Тогда

 

3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z₁(x, y) и z = z₂(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z₁(x, y) и z₂(x, y) - непрерывны в G. Тогда

Если G = {(x, y): a x b, y1(x) y y2(x)}, то

Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.

II. Замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам

Если выполняются условия

26) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).

Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

Якобиан отображения (8)

2. Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел , где r - расстояние точки M до точки 0, - угол между лучами OM и OZ, - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.

Они связаны с прямоугольными формулами

Якобиан отображения . Иногда используются обобщённые сферические координаты.

Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой

Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах

Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью

Тогда

- масса тела.

Пример1. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: x² + y² + z² = a², x² + y² - ax = 0. (рис. 5)

Решение. Рассмотрим одну четвёртую часть тела, лежащёю в первом октанте. Часть поверхности вырезанная цилиндром, проектируется в область . Тогда

Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам (8). При этом уравнение окружности x? + y? - ax = 0 преобразуется в кривую а уравнение поверхности - к виду

Таким образом

Пример 2. Вычислить интеграл

где T - область, ограниченная поверхностями

Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами

А, значит,

27) Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства , но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения

Пусть l — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

— (отрезок параметризации) — рассматриваем часть кривой.

Пусть — разбиение отрезка параметризации , причем .

Зададим разбиение кривой .

За обозначим часть кривой от точки до точки , .

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации : .

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации l: .

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой .

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой l: , , , .

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

.

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

,

,

.

Если , то говорят, что функция f интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой l, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции f по кривой l и обозначают . Здесь dl — дифференциал кривой.

Если , , , то говорят, что функции P, Q и R интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой l, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций P, Q и R по кривой l и обозначают

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций P, Q и R также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции и обозначают:

.

Если кривая L замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка принято писать .

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность: если в одной точке, то

3. Монотонность: если на , то

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль L функции f:

Очевидно, что: .

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: .

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть l — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой l в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

.

Здесь точкой обозначена производная по t: .

28)Поверхностный интеграл второго рода[править]

Определение[править]

Рассмотрим двустороннюю поверхность Ф, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость x y элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

.

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

,

распространенным на выбранную сторону поверхности Ф, и обозначают символом

(здесь dx dy) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость xy

Если вместо плоскости xy спроектировать элементы поверхности на плоскость yz или zx, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

или .

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где P,Q,R, суть функции от , определенные в точках поверхности .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода[править]

, где v — единичный вектор нормали поверхности , — орт.

Свойства[править]

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

29) Фо́рмула Острогра́дского — математическая формула, которая выражает поток векторного поля через замкнутую поверхность интегралом от дивергенции этого поля пообъёму, ограниченному этой поверхностью:

то есть интеграл от дивергенции векторного поля F, распространённый по некоторому объёму V, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объём.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

где w и s — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. В современной записи — элемент объёма, s=dS — элемент поверхности. — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

30) Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формула Кельвина — Стокса

Пусть — кусочно-гладкая поверхность ( ) в трёхмерном евклидовом пространстве (n=3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность , ограниченную контуром:

или в координатной записи: