Первая теорема Вейерштрасса.. Вторая теорема Вейерштрасса.

38.

Первая теорема Вейерштрасса.

Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она на этом промежутке ограничена.
Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а, b] такое значение х = х_n, что f ( x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х₀ [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Непрерывная на отрезке [a, b] функция ограничена и достигает на этом отрезке своей верхней и своей нижней грани.
Доказательство. Пусть f (x) C_{[a, b]} (функция принадлежит классу непрерывных функций на отрезке [a, b]) и пусть .
Согласно определению верхней грани функции, для каждого n существует такая точка х_n [а, b], что

,

Из последовательности x_n [а, b] можно выделить сходящуюся к некоторому значению х₀ подпоследовательность:

.

В силу непрерывности функции имеем далее

.

В то же время

.

И в пределе f (x₀) M. Но f (x₀) не может быть больше верхней границы М и, следовательно, f (x₀) = М. Что и требовалось доказать.

Определение.

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого существует δ > 0 такое, что | f(x₁) − f(x₂) | < ε для любых двух точек x₁ и x₂ таких, что | x₁ − x₂ | < δ.

Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется x£R

2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£х

3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£х£В, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется |х£|С

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману