Предмет теории вероятностей. Возникновение теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей. Возникновение теории вероятностей.

Возникла ТВ относительно в17 веке. Интерес к задачам формируется под валянием развития страхового дела. На те частные вопросы на, которые побудили математиков поразмыслить над этим предметом были поставлены связи с азартными играми.

Традиционные задачи стали:

1. Бросание игральной кости.

2. Извлечение карт из колоды.

3. Извлечение карт из колоды.

Эти задачи являются тренировочными, а в некоторых случаях выступают в роли наглядных моделей для более серьёзных вероятностных схем.

В основе вероятностных схем лежит понятие случайность и неопределенность.

Зарождение Т,В, связано с исследованиями ПОСКАЛЯ И ФЕРМА кем и было сформатировано понятие В.

Кроме указанного влияния запросов страхового дела задачи на вычисление вероятности ставили статистика народов населения и теория методов обработки наблюдения все это было связано с возникновением новых экономических отношении и с новыми научными проблемами.

 

ТВ - это математическая наука изучающая закономерности случайных явлений, особого рода законы управляющие случайными величинами. Она изучает св-ва случайных массовых событий способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

 

 

Действия над событиями (объединение, пересечение, разность).

Объединением двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих событий вместе.

  Пересечением событий А и В называется событие, состоящее из элементарных событий принадлежащих и событию А и событию В.

 Разность двух событий А и В называется событие, состоящее из элементарных событий, которые входят в событие А, но не входят в событие В.

Операции над событиями:

1)Объединение(Сумма)-это

А Ṳ В=А+В

ПР:А=(123…9)

В=(56…12)

АṲВ=(123….12)

 

Пересечение(произведение)-

 А∩В=А*В

ПР: А=(123…9)

   В=(56…12)

А∩В=(56…9)

 

3)Разность -

ПР: А=(123…9)

    В =(56…12)

    А/ В=(12…34)

 

Классическое определение вероятности.

         Равнозначными событиями наз - если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления, каждого из них.

Вероятность события называется отношение числа исходов благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных исходов.

.   где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;

  n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Напр: Бросают 2 игральные монеты: Найти вероятность выпадения герба худобы один раз.

Ὼ{(гг)(рр)(рг)(гр)}  

А=(Выпадает худобы один раз герб)

Р(А)=?

Р(А)= m / n =3/4

m =3

n =4

 

 

Теоремы сложения вероятности.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (если события А и В совместны): Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

 Пусть А₁, А₂…А_n несовместные, то вероятность их суммы: Р(А₁+А₂+…+А_n)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n).

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает, появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на

верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне вто­рой монеты" являются совместными.

 

Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле. Несколько событий называются несовместными, если они попарнонесовместны.

Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти при появление одной из гипотез, то его вероятность равна сумме произведений вероятностей каждой гипотезы и соответствующих условных вероятностей события А:

Формула Байеса.

Пусть событие А происходит одновременно с одним из n-несовместных событий Н₁, Н₂…Н_n и вероятности Р(Н_i)  известны до опыта. Производится опыт в результате которого зарегистрировано появление события А при чём известно, что это событие имело определённые условные вероятности Р(А/Н_i) i=1,2…n и требуется найти вероятности события Н_i, если известно что событие А произошло. .

 

 

Формула Пуассона

Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянно но мала, а число независимых испытаний достаточно велико также неброльшое (не больше 10)то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит К-раз ͌ /

ПРИМЕР:

Пусть вероятность изготовления нестандартных деталей =0,004. Найти вероятность того что среди 1000 деталей окажется h 5 нестандартных.

P=0,004 m=5 n=10000

е=2,7

=0?1563

 18.Случайная величина.

Случайной величиной можно назвать числовую функцию х() элементарного события , которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Сущ. 2 типа случ. величин:

1)дискретная- случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности;

2) непрерывная- случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка

ПР: Дважды подбрасываем монету

 Ὼ={(гг)(рр)(рг)(гр)}

Рассмотрим СВх

Х=(Число выпадения герба)

Получим табл.

W	гр	рг	гг	рр
x	1	1	1	1

Случайные величины наз дискретной -если они принимает конечное либо счетное число значений.

Функцией распределения случайных величин называется функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее, чем заданное х. Функция распределения F(x) случайной величины Х имеет следующие свойства:

1. Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0, 1], т.е. 0≤ F(x) ≥1.

2. Функция распределения F(x) является неубывающей, т.е. если  <  , то F() ≤ F()

З. Функция F(x) в точке  непрерывна слева, Т.е.

4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то для ее функции распределения F(x)

F(x) = о при х≤ а, F(x) = 1 при х≥b.

 

Распределение Пуассона СВ.

Если вероятность р события в каждом испытании при неограниченном увеличении числа испытаний n, изменяется т.о., что np= , =const,

 то вероятность того, что некоторое событие появится m раз в n испытаниях стремится к величине , т.е.

 Р_n(m)  при n .

Закон распределения Пуассона:

М(х)=

 D(х)=

Έ=

26.Нормальный закон распределение СВ (распределение Гаусса).

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если плотность распределения имеет вид: Р(х)= .

а=М(х)

=Д(х)

Вер.попад.норм.распре-ной случ.вели-ны в интервал (α;β) вычисляется по формуле: P(α<x<β)=Ф() – Ф(). Функция Лапласа не выражается через элементарные функции .

Для ее вычисления используются специальные таблицы или методы приближенного вычисления.

27. Геометрическое распределение случайной величины

Неравенство Чебышева.

Оценим вероятность отклонения СВ от ее мат ожидания по абсолютному значению, т.е. . Впервые это неравенство было доказано Чебышевым. Вероятность того, что отклонение СВ Х от ее мат ожидания меньше положительного числа ε не меньше, чем .

P{|X-M(X)|≥ }≤ .

 

 

Закон больших величин.

Если  попарно независимы СВ, причем их дисперсия равномерно ограничены , где C=const, то как бы ни было мало положительное число ε вероятность неравенства  будет сколь угодно близка к единице, если число СВ достаточно велико: . Т.О. это означает:

1) При достаточно большом числе п СВ имеющих 2) ограниченные дисперсии почти достоверно, что отклонение среднеарифметической СВ от среднеарифметического их мат ожидания будет сколь угодно мало по абсолютной величине.

Без доказательства (на основании неравенства Чебышева).

На практике СВ Х_i имеет одно и тоже мат ожидание, равное а, тогда последнее неравенство можно представить в виде: .

Теорема Бернулли.

Если в каждой из п независимых испытаниях вероятность р появления события А постоянно, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число п достаточно велико:

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины – критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, наиболее часто используемым является критерий согласия К.Пирсона («хи квадрат»). Ограничимся применением критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА.

Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной Y, которая строится с целью предсказания (прогнозирования) среднего значения Y при фиксированных значениях независимых переменных.

Корреляционно-регрессионный анализ включает в ceбя измерение тесноты и направления связи, а также установление аналитического выражения (формы) связи.

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

   

43)Линейная корреляционная зависимость и прямые регрессии

Другими словами, корреляционная зависимость – это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт,что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.

В дальнейшем рассмотрении мы ограничимся лишь линейными корреляционными за-

висимостями как наиболее простыми. Как известно (см. п. 12), величина, характеризующая

степень линейной зависимости с. в. X иY, – это коэффициент корреляцииR xy

выборочный коэффициент корреляции:  где

Линейная зависимостьY от X задается формулойпрямой линейной регрессии Y на X

а линейная зависимость X отY задается формулой прямой линейной регрессии X на Y

 44)Коэффициент линейной корреляции и его свойства

Коэффициент линейной корреляции отражает меру линейной зависимости между двумя переменными. Предполагается, что переменные измерены в интервальной шкале либо в шкале отношений.

Общая формула

Где xi и yi - сравниваемые количественные признаки, n – число сравниваемых наблюдений, σx и σy – стандартные отклонения в сопоставляемых рядах.

Коэффициент корреляции обладает свойствами:

1.если S и n,независимы то,

2.всегда

3.  тогда и только тогда, когда S и n п. н. линейно связаны, т.е. существуют числа a неравно 0 и b такие, что

 

Предмет теории вероятностей. Возникновение теории вероятностей.

Возникла ТВ относительно в17 веке. Интерес к задачам формируется под валянием развития страхового дела. На те частные вопросы на, которые побудили математиков поразмыслить над этим предметом были поставлены связи с азартными играми.

Традиционные задачи стали:

1. Бросание игральной кости.

2. Извлечение карт из колоды.

3. Извлечение карт из колоды.

Эти задачи являются тренировочными, а в некоторых случаях выступают в роли наглядных моделей для более серьёзных вероятностных схем.

В основе вероятностных схем лежит понятие случайность и неопределенность.

Зарождение Т,В, связано с исследованиями ПОСКАЛЯ И ФЕРМА кем и было сформатировано понятие В.

Кроме указанного влияния запросов страхового дела задачи на вычисление вероятности ставили статистика народов населения и теория методов обработки наблюдения все это было связано с возникновением новых экономических отношении и с новыми научными проблемами.

 

ТВ - это математическая наука изучающая закономерности случайных явлений, особого рода законы управляющие случайными величинами. Она изучает св-ва случайных массовых событий способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.