Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема. Пусть f (x) – непрерывная функция на отрезке а Если выполняются условия: и непрерывны на отрезке а определена на этом отрезке, то Доказательство. Из равенства правых частей следует равенство левых. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема. Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на отрезке [ a, b ], справедливо равенство Доказательство. Так как функции u и v дифференцируемы, получаем Это можно записать как Отсюда, Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Определение. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]. Функция - интеграл с переменным верхним пределом. Теорема. Функия F непрерывна на отрезке [a,b]. Доказательство. Пусть тогда Пусть М-верхняя граница f(x), тогда при х>x0 получаем Или при х>x0: Следовательно, Т.е. функция непрерывна в точке х0.
Теорема Барроу. Производная от интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу. Вторая формулировка. Пусть х0 – точка непрерывности функции, тогда существует или, иначе, Доказательство. Можно выбрать так, что на интервале функция будет непрерывна. Возьмем произвольное значение х из данного интервала. с лежит между х и х0. Следовательно, Формула Ньютона-Лейбница. Примечание автора. Необходимо отметить, что ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном виде. Важно именно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов. Доказательство. Пусть F(x) – некоторая первообразная от f(x). Функция есть также первообразная от f(x). Две любые первообразные от данной функции отличаются на константу С. Тогда получаем Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т.е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в этом тождестве х=а, тогда Следовательно, Полагая х=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница. Также отметим, что разность не зависит от выбора первообразной F, так как константа при вычитании все равно уничтожается. Интеграл ошибок. Интеграл определяется формулой:
Укажем некоторые свойства функции Ф(х): 1.Функция определена при всех значениях х. 2. Ф(0)=0. 3. 4. Функция монотонно возрастает на 5. Функция нечетная, График функции. Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.
Составлены подробные таблицы значений этой функции.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-26; просмотров: 44; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.204.208 (0.007 с.) |