Построение чертежа по методу Монжа. Четверти и октанты пространства.

Построение чертежа по методу Монжа. Четверти и октанты пространства.

Для получения изображений предметов на чертежах Г. Монж предложил использовать метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Две взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 4 части, которые называются четвертями или октантами.

Три взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 8 частей, или октант

· Фронтальная плоскость проекций V

· Горизонтальная плоскость проекций H

· Профильная плоскость проекций W

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x12.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2 (рис.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.

 

Центральное и параллельное проецирование. Их виды.

Основным методом начертательной геометрии является метод проекций, т. е. метод изображения геометрических форм и их сочетаний на плоскости. Поэтому чертежи, построенные таким методом, получили название проекционных чертежей.

Проекция – это изображение предмета на плоскости. Плоскость проекции – это плоскость, на которой строится изображение. Проецирующий луч – это прямая линия, соединяющая объект проецирования и проекцию. Проекция точки – это пересечение проецирующего луча с плоскостью проекции. В зависимости от способа проведения проецирующих лучей, проецирование бывает: центральное (коническое) и параллельное (цилиндрическое). Центральное проецирование – если проецирующие лучи проходят через одну точку (центр проекций). Параллельное проецирование – если проецирующие лучи параллельны друг другу. В зависимости от угла, под которым проецирующие лучи пересекают плоскость проекций, различают: прямоугольное проецирование (угол равен 90 градусов) и косоугольное проецирование (угол не равен 90).

Для построения горизонтального следа М прямой необходимо продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью 0x и в этой точке восстановить перпендикуляр к оси до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Для построения фронтального следа N прямой нужно из точки пересечения горизонтальной проекции её с осью 0 x восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

Следы прямой, являются точками, в которых прямая переходит из одного октанта в другой, позволяют отмечать её видимость. Видимой частью прямой будет та, которая расположена в пределах первого октанта.

 

Образование поверхности. Определитель поверхности. Каркас поверхности

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие т можно поменять местами, но при этом по верхность получается одна и та же.

Определител поверхности - необходимая и достаточная совокупность геометрических фигур и связей между ними, которые однозначно определяют поверхность. В число условий, входящих в состав определителя, должны быть включены. Определитель поверхности состоит из двух частей: из совокупности геометрических фигур и дополнительных сведений о характере изменения формы образующей и законе ее перемещения.

Образование поверхности вращения. Очерк вращения

Образование поверхности вращения. Очерк вращения

Любую поверхность вращения можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси г, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется перемещением окружности т с центром в точке О, скользящим по оси i. Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси /'.

Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций. При вращении каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси.

11.  Позиционные задачи. Принадлежность точки, линии поверхности. Теорема МонжаПозиционные задачи - задачи на определение общих элементов различных геометрических фигур. К ним относятся задачи на взаимную принадлежность (взять точку на линии или на поверхности, провести линию на поверхности, провести поверхность через заданные линии и т.д.) и задачи на пересечение различных геометрических объектов (найти точку пересечения линии с поверхностью или линию пересечения двух поверхностей и т.д.).

Плоскость является простейшей поверхностью, которую можно представить как веер линий, полученных при движении прямой (образующей), закрепленной в некоторой точке, по другой прямой (направляющей).

 Из геометрии известны теоремы о принадлежности точки и прямой линии плоскости.

Т1. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой линии, лежащей в плоскости.

Т2. Прямая линия принадлежит плоскости, если она проходит через 2 точки, лежащие в этой плоскости.

теорема Г. Монжа. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.

		а) модель	б) эпюр
Рисунок 8.38. Пересечение конуса и цилиндра имеющих общую вписанную сферу

В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра Q (рис.8.38), описанных около сферы W, будут плоскими кривыми – эллипсами (расположенными в плоскостях a и b), фронтальные проекции которых изображаются прямыми А ₂ В ₂ и С ₂ Д ₂,

Образование аксонометрической проекции. Их виды в зависимости от коэффициентов искажения и угла наклона проецирующих лучей и плоскости аксонометрических проекций. Стандартные аксонометрические проекции

Аксонометрическая проекция-это параллельная проекция предмета вместе с системой прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесён в пространств, на некоторую плоскость аксонометрических проекций.Аксонометрические проекции как проекции параллельные имеют некоторые свойства параллельных проекций:

1)Аксонометрическая проекция отрезка прямой пакже является прямой

2)если отрезки прямых параллельны на предмете, они параллельны и на его аксонометрической проекции

3)Аксонометрической проекцией окружности в общем случае является эллипс

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения аксонометрические проекции делятся на:

1)изометрические, у которых ве коэффициенты искажения равны Kx=Ky=Kz

2)диметрические, у которых два коэффициента равны Kx=Ky не равно Kz

3)триметрические, у которых все коэффициенты разные Kx не равно Ky не равно Kz

В зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости аксонометрических проекций (гла проецирования) аксонометрические проекции разделяются на:

1) прямоугольные - проецирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости проекции(угол проецирования равен 90 град.)

2) косоугольные - проецирующие лучи не перпендикулярны аксонометрической плоскости проекции (угол проецирования не равен 90 град.)

Стандартные аксонометрические проекции:

1)прямоугольная изометрия

 При построении прямоугольной изометрической проекции учитывают коэффициент искажения по осям X, Y, Z, равный 0,82, при этом окружности, параллельные плоскостям проекций, проецируются на аксонометрические плоскости проекций в виде эллипсов, большая ось которых равна d, а малая ось – 0,58d, где d – диаметр исходной окружности. Для простоты расчетов изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям (коэффициент искажения равен 1). В этом случае проецируемые окружности будут иметь вид эллипсов с большой осью, равной 1,22d, и малой осью, равной 0,71d.

2) прямоугольная диметрия

При построении прямоугольной диметрической проекции учитывается коэффициент искажения по осям X и Z, равный 0,94, а по оси Y – 0.47. На практике диметрическую проекцию упрощенно выполняют без искажения по осям X и Z и с коэффициентом искажения по оси Y = 0,5. Окружность, параллельная фронтальной плоскости проекций, проецируется на нее в виде эллипса с большой осью, равной 1,06d и малой осью, равной 0,95d, где d – диаметр исходной окружности. Окружности, параллельные двум другим аксонометрическим плоскостям, проецируются на них в виде эллипсов с осями, равными соответственно 1.06d и 0,35d.

3) косоугольная фронтальная диметрия

Фронтальная диметрическая проекция. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция детали (узла) строится на аксонометрических осях, подобных осям фронтальной изометрической проекции, но отличаются от нее коэффициентом искажения по оси Y, который равен 0,5. По осям X и Z коэффициент искажения равен 1. Также допустимо изменение угла наклона оси Y к горизонтали до значений 30 и 60 градусов. Окружность, лежащая в плоскости, параллельной фронтальной аксонометрической плоскости проекций, проецируется на нее без искажений. Окружности, параллельные плоскостям проекций горизонтальной и профильной, вычерчиваются в виде эллипсов 2 и 3. Размеры эллипсов от размера диаметра окружности d выражаются зависимостью:

 большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,07d; малая ось эллипсов 2 и 3 равна 0,33d.

 

 

4) косоугольная фронтальная изометрия

При построении фронтальной изометрической проекции стандартом установлен оптимальный угол наклона оси Y к горизонтали 45 градусов. Допускаются углы наклона оси Y к горизонтали - 30 и 60 градусов. Коэффициент искажения по осям X, Y и Z равен 1. Окружность 1, расположенная параллельно фронтальной плоскости проекций, проецируется на нее без искажений. Окружности, параллелные горизонтальной и профильной плоскостям проекций, выполняются в виде эллипсов 2 и 3 с большой осью, равной 1.3d и малой осью, равной 0,54d, где d – диаметр исходной окружности.

 

5) косоугольная горизонтальная изометрия

Горизонтальная изометрическая проекция детали (узла) строится на аксонометрических осях, расположенных, как показано на рис. 7. Допускается изменять угол между осью Y и горизонталью на 45 и 60 градусов, оставляя неизменным угол 90 градусов между осями Y и X. Коэффициент искажения по осям X, Y, Z равен 1. Окружность, лежащая в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, проецируется в виде окружности 2 без искажения. Окружности, параллельные фронтальной и профильной плоскостям проекций, имеют вид эллипсов 1 и 3. Размеры осей эллипсов связаны с диаметром d исходной окружности следующими зависимостями: эллипс 1 – большая ось равна 1,37d, малая ось – 0, 37d; эллипс 3 – большая ось равна 1,22d, малая ось – 0.71d.

Построение чертежа по методу Монжа. Четверти и октанты пространства.

Для получения изображений предметов на чертежах Г. Монж предложил использовать метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Две взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 4 части, которые называются четвертями или октантами.

Три взаимно перпендикулярные плоскости делят пространство на 8 частей, или октант

· Фронтальная плоскость проекций V

· Горизонтальная плоскость проекций H

· Профильная плоскость проекций W

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x12.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2 (рис.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж.) или комплексным чертежом.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.