Теплоемкость смеси идеальных газов.

Удельной теплоёмкостью называется теплоёмкость, отнесённая к единичному количеству вещества. Количество вещества может быть измерено в килограммах, кубических метрах и молях. В зависимости от того, к какой количественной единице относится теплоёмкость, различают массовую, объёмную и молярную теплоёмкость.

Для определения теплоемкости смеси газов необходимо знать состав смеси и теплоемкость отдельных газов, вхо­дящих в смесь.

Предположим, что состав смеси задан массовыми долями компонентов. На­пишем выражения для количества теп­лоты, сообщаемого i-му газу:  и к смеси газов  Очевидно, что . . Отсюда удельная теплоемкость газовой смеси ; молярная теплоемкость . Применяя формула перехода от массовых долей к объемным, получим:  и .

 

Изотермический процесс.

 

Изотермический процесс. Процесс, про­текающий при постоянной температуре, называется изотермическим. Уравнение изотермического процесса в системе координат Т — s T = соnst.

Изотерма на диаграмме Т — s пред­ставлена прямой, параллельной оси абсцисс (оси s). Подставляя T = соnst в уравнение состояния идеального газа, получим  для конечного процесса 1 — 2 . При изотермическом процессе объем газа обратно пропорционален давлению (закон Бойля — Мариотта). В соответ­ствии с

изотерма на диаграмме р — vпредставляет равнобокую гипербо­лу. Запишем уравнения для диффе­ренциалов внутренней энергии и эн­тальпии: ; . Для изотермического процесса(dT=0) получаем: . Внутренняя энергия и энтальпия в изотермическом процессе не изменя­ются. Из первого закона термодина­мики dq=dl получаем для процесса 1—2:  . Количество теплоты, сообщенной газу в изотермическом процессе, чис­ленно равно работе расширения. Для рассматриваемого процесса коэффи­циент  0. Теплота идет на эквивалентное возмещение внутренней энергии системы, за счет которой совершается работа расширения. Работа изменения объема в процессе 1 - 2: . Полезная внешняя работа в изотер­мическом процессе равна работе расши­рения, так как , поэтому . Для процесса 1 — 2 , или . Теплоемкость в изотермическом про­цессе . Изменение энтропии в процессе 1— 2 определится из уравнения  или .

 

 

Изобарный процесс.

 

Изобарный процесс. Изобарный про­цесс —

 

процесс, протекающий при по­стоянном давлении газа ( ). Изобара на диаграмме р — vпредставлена прямой, параллельной оси абсцисс. Из уравнения состояний Клапейрона при  следует , для процесса 1— 2 . В изобарном процессе объем газа пропорционален термодинамической температуре (закон Гей-Люссака). Уравнение первого закона термо­динамики представим следующим об­разом: .

Для изобарного процесса последнее уравнение перепишется так: для процесса 1-2 . Теплота, сообщаемая газу в изо­барном процессе, идет на увеличе­ние его энтальпии. Работа изменения объема в процессе 1-2  или учитывая, что , , а , получим . При разности температур в один кельвин газовая постоянная является работой расширения, совер­шаемой в изобарном процессе 1 кг газа. Количество теплоты, полученной га­зом в изобарном процессе . Коэффициент 𝜁 для изобарного про­цесса определяется по формуле . Илн, если принять , где k-показатель адиабаты, 𝜁=1/k. Напри­мер, при k= 1,4 (для воздуха) 𝜁=0,715. Это означает, что 71,5% сообщаемой газу теплоты идет на изменение его внутренней энергии, а 28,5 % расходу­ется на совершение работы расширения. Уравнение изобары в системе координат Т — s можно получить из зависи­мостей: ;  откуда для процесса 1- 2 получаем . Изобара на диаграмме T-s пред­ставлена логарифмической кривой. Под касательная к изобаре на этой ди­аграмме в любой точке в определен­ном масштабе представляет собой истинную изобарную теплоемкость с_р. Удельное количество теплоты , а так как , оно равно изменению энтальпии газа . Соотношения  справедливы для всех процессов иде­ального газа.

В процессе 1-2теплота подводится, газ расширяется, увеличиваются темпе­ратура и энтропия газа, в процессе 1—2' теплота отводится, газ сжимается, температура и энтропия уменьшаются.

Подставим в уравнения первого за­кона термодинамики соотношение, характерное для изобарного процесса pdv=RdT. Разделив полученное вы­ражение на d Т, получаем , откуда   Это уравнение Р. Майера. Из него видно, что удельная изобарная тепло­емкость всегда больше удельной изохорной на газовую постоянную.

Изохорный процесс.

 

Изохорный процесс. Изохорный про­цесс - процесс. происходящий при постоянном объеме газа: . В соответствии с данным уравнением изохорный процесс изображается на диаграмме р- v вертикальной прямой. Эта линия называется изохорой (линия 1– 2 - теплота подводится, давление возрастает; линия 1-2' - теплота отводится, давление уменьшается). Из уравнения состояния идеального газа для изохорного процесса , или для процесса 1-2 . В изохорном процессе давление газа пропорционально термодинамической температуре. Это соотношение пред­ставляет собой закон Шарля. Запишем уравнение первого закона термодинамики в виде . Для изохорного процесса работа изме­нения объема не совершается, так как dl=pdv=0. Поэтому последнее уравне­ние принимает вид dq=du, или для процесса 1-2 . Теплота, сообщаемая газу или от­веденная от него в изохорном про­цессе, идет на изменение внутренней энергии (𝜁 =1). При подведении теп­лоты внутренняя энергия газа увеличивается, при отведении - уменьшается. Элементарное количество теплоты при изохорном процессе  или , откуда, приравнивая правые части уравнений, определяем изменение энтропии , или для процесса 1-2: . График изохорного процесса на диаграмме Т - s представляет логарифмическую кривую (кривая 1-2 - тепло подводится, энтропия и температура возрастают; кривая 1- 2' —тепло отводится, энтропия и температура уменьшаются). Количество теплоты, сообщаемое газу или отводимое от него в процессе 1-2 (2'), ; .

Внутренняя энергия идеального газа во всех процессах, протекающих в одном и том же интервале температур, изменяется на одну и ту же величину независимо от характера процесса. Вследствие этого выражение ; справедливо для всех процессов идеального газа.

На диаграмме Т- s подкасательная к кривой процесса в любой ее точке определяет истинное значение удельной изохорной теплоемкости . Причем чем больше теплоемкость , тем более полого проходит кривая процесса. Полезная внешняя работа . Изменение энтальпии в изохорном процессе определяем из уравнения . Дифференцируем это выражение: получаем (pdv=0) , для процесса 1-2 , или .

Адиабатный процесс.

Адиабатный процесс. Адиабатный процесс протекает без теплообмена системы с окружающей средой, система не получает теплоты извне и не отдает ее. Условие протекания адиабатного процесса dq=0. Уравнения первого закона термодинамики при dq=0 имеют вид  и  откуда получаем ; . Разделив почленно второе уравнение на превое: , или . После разделения переменных получим , после интегрирования –  (1). Или для процесса 1-2 . Уравнение (1)является уравнением адиабатного процесса. При его выводе предполагалось, что  являются постоянными величинами. Элементарная удельная работа изменения объема в адиабатном процессе определяется по формуле , откуда . Умножив и разделив правую часть выражения (2)на , получим , или . Из первого закона термодинамики следует, что при . Работа изменения объема в адиабатном процессе осуществляется за счет внутренней энергии системы: при совершении работы расширения внутренняя энергия газа и температура уменьшаются, при адиабатном сжатии газа внутренняя энергия и температура возрастают.

Полезная внешняя работа . Полезная внешняя работа при адиабатном процессе в kраз больше работы изменения объема. Дифференциал энтропии ds=dq/T, откуда при dq=0 ds=0, s=const.

Равновесный адиабатный процесс является процессом изоэнтропным. Из сравнительного анализа уравнений адиабаты и изотермы следует, что адиабата круче изотермы на диаграмме p-v.

 

Политpoпные процессы.

 

Политропный процесс. Политропный процесс проходит при постоянной тепло­емкости (). Коэф­фициент 𝜁 в политропном процессе имеет определенное постоянное число­вое значение. Элемен­тарное количество теплоты для любого политропного процесса где   — удельная теплоемкость при политропном процессе, или для процесса 1—2 . Выведем уравнение политропного процесса. Из первого закона термодинамики имеем:  откуда Введя обозначение  получаем Интегрируем полученное выражение для процесса 1— 2:   после потенцирования получаем  уравнение политропного процесса. Величина п называется показателем политропы, который может принимать значения от . Удельная работа изменения объема в политропном процессе Удельная полезная внешняя работа определяется по следующей формуле: Изменение внутренней энергии и энтальпии в политропном процессе  и =const,   Изменение внутренней энергии и энтальпии в политропном процессе пропорционально приращению температуры. Для практических расчетов необходимо знать значение показателя политропы п. Один из методов определения п заключается в логарифмировании уравнения политропы для двух характерных точек 1 и 2:   откуда показатель политропы Основные термодинамические процессы являются частными случаями политропных процессов (при  имеем изохорный процесс, n=0 изобарный, n=1 изотермический,n=k адиабатный).

Значение показателя политропы п определяет характер протекания политропного процесса. Процессы с подводом теплоты и увеличением энтропии располагаются в областях I—III, VIII, с отводом теплоты от системы и уменьшением энтропии -в областях IV—VII. В областях VII, VIII, I и II термодинамические процессы идут с повышением температуры рабочего тела, в остальных областях — с ее понижением. В области III протекают процессы с подводом тепла и понижением температуры, в области VI — с отводом тепла и повышением температуры.

На диаграмме р -v правее, а на диаграмме Т —s выше изотермы процессы идут с увеличением внутренней энергии, в остальных областях — с уменьшением внутренней энергии рабочего тела

 

26. Уравнение первого закона термодинамики для потока.

 

Первый закон термодинамики для потока

 

На практике при рассмотрении рабочих процессов машин, аппаратов и устройств, встречаются задачи изучении закономерностей движения рабочих тел (газов, пара и жидкостей).

 

Уравнение 1-го закона термодинамики для потока газа при следующих допущениях:

движение газа по каналу установившееся и неразрывное;

скорости по сечению, перпендикулярному оси канала, постоянны;

пренебрегается трение частичек газа друг другу и о стенки канала;

изменение параметров по сечению канала мало по сравнению их абсолютными значениями,

 

имеет вид:

q = Du + De + lпрот. + lтехн., (5.1)

где De = (w22 – w21)/2 + g·(z2 –z1) – изменение энергии системы,

состоящий из изменения кинетической и потенциальной энергий;

w1,w2 – скорости потока в начале и в конце канала;

z1, z2 – высота положения начала и конца канала.

lпрот. = P2·n 2 – P1·n 1– работа проталкивания, затрачиваемая на движения потока;

lтехн. – техническая (полезная) работа (турбины, компрессора, насоса, вентилятора и т.д.).

 q = (u2 – u1) + (w22 – w21)/2 + g·(z2 –z1) + P2·n 2 – P1·n 1 + lтехн. (5.2)

Введем понятия энтальпии, который обозначим через величину:

h = u + Pх, (5.3)

h2 = u2 + P2·n 2; h1 = u1 + P1·n 1. (5.4)

Тогда уравнение 1-го закона термодинамики для потока газа будет иметь вид:

q = h2 – h1 + (w22 – w21)/2 + g·(z2 –z1) + lтехн. (5.5)