Перша теорема двоїстої задачі лінійного програмування,її економ тлумачення

Терема.якщо одна з пари спряжених задач має оптимельний план,то й друга задача також має розвязок причому для оптимальних розвязків значення ціловихфункцій обох задач збігаютьчся. Тобто maxF=minZякщо цільва функція однієї із задач необмежена,то спряжена задача також немає розвязку

Зауважимо що коли одна із задачі немає допустимого розвязку,то двоїста до неї також не може мати дрпустимого розвязку.

Економічний зміст першої теореми двоїстості. Максисальний прибуток(Fmax)підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом Х*=(х1*,х2*,..,Хп*),однак таку саму суму грошей(Zmin=Zmax)воно може мати,реалізувавши ресурси за оптимальними цінами Y*=(y1*.y2*,..,ym*)ЗА УМОВ використання інших планів ХнедорівнюєХоптим,УнедорівУоптим на підставі основної нерівності теорії двоїст задачі можна стверджувати,що прибутки від реалізації продукції завжди менші,ніж витрати на її виробництво.

 

Як за розв’язком прямої задачі знайти розвязок двоїстої?

Зв’язок між оптимальними розв’язками прямої та двоїстої задач встановлюють леми та теореми двоїстості.

Лема 3.1 (основна нерівність теорії двоїстості). Якщо  та  — допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність

 або .

Лема 3.2 (достатня умова оптимальності). Якщо  та  — допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність

                                                                                                                                                       (3.10)

то X ^*, Y ^* — оптимальні розв’язки відповідних задач.

51. Загальна екон.-матем.
модель зад. Л..П.

Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:

за умов:

Отже, потрібно знайти значення змінних x ₁, x ₂, …, x_n, які задовольняють умови

), і цільова функція

набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

 

Які є форми запису задачі лінійного програмування

Задачу лінійного програмування зручно записувати за допомогою знака суми «S». Справді, задачу (2.1)—(2.3) можна подати так:

за умов:

Ще компактнішим є запис задачі лінійного програмування у векторно-матричному вигляді:

 

 max(min) Z = CX

 

 за умов:

 

АХ = А0; (2.7)

 

Х ≥ 0,

 

 Де

є матрицею коефіцієнтів при змінних;

 - — вектор змінних; - — вектор вільних членів;

 

С = (с1, с2, …, сп) — вектор коефіцієнтів при змінних у цільовій функції.

 

 Часто задачу лінійного програмування зручно записувати у векторній формі:

 

 max(min)Z = CX

 

 за умов:

 

A1x1 + A2x2 + … + Anxn = A0; (2.8)

 

X ≥0,

 

 Де

є векторами коефіцієнтів при змінних.