Основне рівняння гідростатики. Закон Паскаля.

Основне рівняння гідростатики встановлює зв'язок між гідростатичним тиском у точці рідини, її місцем знаходження (координатами) в рідині та густиною останньої. Воно є рівнянням прикладного характеру, за його допомогою в інженерній практиці знаходиться гідростатичний тиск у будь-якій точці рідини.

Для обґрунтування основного рівняння гідростатики розглянемо випадок, коли рідина в стані рівноваги знаходиться в посудині й на неї діє тільки сила ваги. У цьому випадку проекції масових сил на осі координат (рис. 1.8), віднесені до одиниці ваги, будуть відповідно рівнятися:

х=0, y =0, F_z =- g.             (1.31)

Підставимо значення проекцій у рівняння (1.26), отримаємо залежність

dp =- ρgdz.                           (1.32)

Проінтегрувавши це рівняння з умовою, що ρ = соnst і що в межах об'єму рідини, який розглядається, можна знехтувати зміною прискорення вільного падіння, тобто g = соnst, отримаємо:

р=-ρgz+c.                    (1.33)

де с - довільна постійна.

Розділивши рівняння (1.33) на ρg, отримаємо:

z+p/(ρg)=const.               (1.34)

Розділивши рівняння (1.33) на ρ, отримаємо:

gz+p/ρ=const.                   (1.35)

Відзначимо, що члени рівняння (1.34) віднесені до одиниці ваги, а (1.35) - до одиниці маси.  Граничні умови на поверхні рідини відомі:  z = z₀ і р = р₀, тоді

с= z0+p0/(ρg).                (1.36)

Підставивши цей вираз для постійної інтегрування у формулу (1.33), отримаємо:

z₀+p₀/(ρg)=z+p/(ρg)       (1.37)

Рівняння (1.37) називають основним рівнянням гідростатики.

З рівняння (1.37) витікає:

p = p ₀ + ρg (z ₀ - z),                (1.38)

тобто що тиск у точці А (рис. 1.9) в рідині, яка знаходиться в стані рівноваги, більше тиску на поверхні на величину, яка дорівнює вазі стовпа рідини над цією точкою. Оскільки z ₀ - z = h, формула (1.38) набере вигляду

p _абс =р₀+ρ gh,               (1.39)

де   p _абс - абсолютний тиск у точці; р ₀ - тиск на вільній поверхні; h - глибина занурення точки в рідині.

Рівняння (1.39) називається основним рівнянням гідростатики для абсолютного тиску.

Таким чином, згідно з рівнянням (1.39), тиск у точці рідини, яка знаходиться в стані рівноваги на глибині h під вільною поверхнею, дорівнює сумі тиску на вільній поверхні р₀ (у відкритих посудинах він дорівнює атмосферному р _a) і тиску, обумовленому вагою стовпа рідини, розташованої вище точки, тобто ρ gh.

 

 

 

Рис. 1.9. Схема геометричного зображення (інтерпритація) основного рівняння гідростатики.

 

У відкритих посудинах (з атмосферним тиском на вільній поверхні) звичайно враховується тільки тиск ρ gh, а атмосферний тиск взаємно врівноважується, і рівняння (1.39) набере вигляду

р = ρ gh. (1.40)

Рівняння (1.40) є основним рівнянням гідростатики для надлишкового тиску. Таким чином, надлишковий тиск у будь-якій точці всередині рідини виникає тільки від ваги її стовпа, розташованого над точкою.

Враховуючи, що р_абс= р_а+р, звідки р = р_абс -р_а, (1.15), і враховуючи рівняння (1.39), отримаємо:

p = p ₀ + ρ gh - =(p ₀ - p_a)+ ρ gh = Δp + ρ gh, (1.41)

де Δp = p ₀ - p_a.

Таким чином, у цьому випадку надлишковий тиск у будь-якій точці рідини створюється як вагою стовпа рідини, так і надлишковим (а може, і вакуумметричним) тиском на вільній поверхні, значення якого Δр.

 

Закон Паскаля

Рис. 1.20. Схема до обґрунтування закону Паскаля:

1 – посудина з рідиною;

2 – поршень;

І-І і ІІ-ІІ – початкове і кінцеве положення поршня

 

 

Закон Паскаля формулюється так: тиск на поверхню рідини, який здійснюється зовнішніми силами, передається рідиною однаково в усіх напрямках.

Для обфунтування цього розглянемо посудину, наповнену рідиною (рис. 1.20).

На вільній поверхні рідини за допомогою поршня 2, який знаходиться в положенні І-І, створено тиск р₀. У відповідності з цим абсолютний тиск у точці А буде р_А = р_о + ρ gh.

Перемістимо поршень з положення I-І в положення ІІ-ІІ. Тиск на вільній поверхні рідини в посудині збільшиться на величину Δр і буде дорівнювати Δр = Р _II / ω _II, де Р _II - додаткова сила, прикладена до поршня при його переміщенні з положення I-І в положення ІІ-ІІ; ω _II - площа поршня.

Загальне значення тиску на вільній поверхні буде р_о + Δр, а абсолютний тиск у точці А буде р _AII = р_о +Δ p +ρ gh. Враховуючи, що зовнішній тиск Δр значно більший за ваговий ρ gh, останнім можна знехтувати, що суттєво не вплине на точність значень величин і тиск р _AII = p _о + Δр, тобто він не буде залежати від місця розташування точки в рідині.

У цьому й полягає сутність закону Паскаля, який широко застосовується при конструюванні й розрахунках різних гідростатичних механізмів, про що йтиметься нижче.