ЛЕКЦІЯ 25-26. Невизначений інтеграл

ЛЕКЦІЯ 25-26. Невизначений інтеграл

ПЛАН

1. Поняття первісної

2. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

3. Властивості невизначеного інтеграла

4. Таблиця основних інтегралів

5. Інтегрування розкладанням

6. Метод інтегрування частинами

7. Метод підстановки (заміна змінної інтегрування)

8. Метод безпосереднього інтегрування

9. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен

10. Інтегрування раціональних функцій

11. Інтегрування тригонометричних функцій

12. Інтегрування ірраціональних функцій

13. Інтегрування диференціального бінома

Поняття первісної

Означення 1. Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку  або .

Із означення виходить, що первісна F (x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F (x) — первісна для функції f (x) на проміжку І, то

1) F (x) + С — також первісна для f (x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф (х) для f (x) може бути подана у вигляді Ф (х) = F (x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину.

Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (1).

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

                             (2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

                   (3)

Таблиця основних інтегралів

1. ;                       

2. ;                      

3. ;

4. ;                  

5. ;                  

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;  

10. ;

11. ;    

12. ;

13. ; 

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. .

Інтегрування розкладанням

Цей метод базується на властивості невизначеного інтеграла (3). Мета методу — розкласти підінтегральну функцію на такі доданки, інтеграли від яких відомі або їх простіше інтегрувати, ніж початкову підінтегральну функцію.

Приклад.

Метод підстановки (заміна змінної інтегрування)

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема 4. Якщо f (x) — неперервна, а  має неперервну похідну, то:

           (6)

Наслідок.

                   (7)

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису пер­шого диференціалу), тому, наприклад:

У такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Приклад.

Варіант заміни змінної інтегрування  (7) зручний тоді, коли підінтегральний вираз можна розкласти на два множники:  та .

Приклад.

Для деяких класів підінтегральних функцій розроблено стандартні заміни. Вибір зручної підстановки визначається знанням стандартних підстановок та досвідом.

Приклад.

.

Приклад.

.

ІІІ.

.

Приклад.

.

Підінтегральна функція  після виділення повного квадрата і заміни  раціоналізується тригонометричними підстановками; при цьому, залежно від знака дискримінанта квадратного тричлена та знака коефіцієнта а можливі такі випадки:

IV.

.

Приклад.

Зауваження. Інтеграли типу  можуть бути проінтегровані за допомогою підстановок Ейлера:

VII. , при ;

VIII. , при ;

ІХ. , при ,

де  — корені тричлена .

Приклад.

де .

Приклад.

,

де .

V. .

VI. .

 

ЛЕКЦІЯ 25-26. Невизначений інтеграл

ПЛАН

1. Поняття первісної

2. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

3. Властивості невизначеного інтеграла

4. Таблиця основних інтегралів

5. Інтегрування розкладанням

6. Метод інтегрування частинами

7. Метод підстановки (заміна змінної інтегрування)

8. Метод безпосереднього інтегрування

9. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен

10. Інтегрування раціональних функцій

11. Інтегрування тригонометричних функцій

12. Інтегрування ірраціональних функцій

13. Інтегрування диференціального бінома

Поняття первісної

Означення 1. Функція F (x) називається первісною для функції f (x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку  або .

Із означення виходить, що первісна F (x) — диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F (x) — первісна для функції f (x) на проміжку І, то

1) F (x) + С — також первісна для f (x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф (х) для f (x) може бути подана у вигляді Ф (х) = F (x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину.