Практичні аспекти використання теореми Котельникова.

Важлива особливість теореми Котельникова полягає в її конструктивному характері: вона не лише вказує на можливість розкладання сигналу у відповідний ряд, але і визначає спосіб відновлення безперервного сигналу, заданого своїми дискретними значеннями (відліками). Очевидно, з її допомогою може бути вибраний оптимальний крок дискретизації реального сигналу і оцінена похибка дискретизації, що виникає при цьому. Проте використання теореми як точного твердження по відношенню до реальних сигналів натрапляє на ряд принципових труднощів. По-перше, реальний сигнал має кінцеву тривалість і, отже, має необмежений спектр. Проте через реальні властивості джерел сигналів і обмеженості смуги пропускання реальних приладів і систем спектр сигналу з тією або іншою мірою точності можна вважати обмеженим деякою граничною частотою. Найчастіше граничне (граничне) значення частоти  визначають на основі енергетичного критерію, згідно з яким практичну ширину спектру сигналу вибирають так, щоб в ній була зосереджена значна частина енергії сигналу. Для цього використовують рівність Парсеваля, що дозволяє визначити енергію сигналу  або через функцію , що описує реальний сигнал тривалістю , або через модуль її спектральної густини

 .                   (2.16)

Практична ширина спектру сигналу, зосереджена в діапазоні частот від 0 до деякого значення , визначається із співвідношення

.                                 (2.17)

Тут  - гранична частота, що визначає верхнє значення спектру сигналу;  - коефіцієнт, досить близький до 1 (на практиці його значення вибирають в інтервалі від 0,9 до 0,998 залежно від вимог до якості відтворення сигналу). Значення  означає, що в смузі частот від  до  міститься 99 % енергії сигналу. Значення граничної частоти знаходять, вирішуючи трансцендентне рівняння (2.17).

Обмеження спектру реального сигналу, природно, призводить до спотворення сигналу. Таким чином, відновлення обмеженого в часі сигналу по відліках відповідно до теореми Котельникова за умови примусового обмеження спектру сигналу можливо тільки приблизно. Точність такого наближення може бути оцінена як абсолютним значенням похибки, званою енергією похибки

  ,                                           (2.18)

так і відносною похибкою: , де  . (2.19)

Похибка дискретизації виникає не лише за рахунок примусового обмеження спектру, але і за рахунок кінцевого числа відліків на інтервалі тривалість сигналу , якій відповідно до теореми Котельникова буде . Ця складова є наслідком зневаги вкладом нескінченного числа функцій відліків, відповідних вибіркам за межами інтервалу . Для реальних сигналів теорему Котельникова слід розглядати як наближену:

 

.                            (2.20)

Не дивлячись на вище перелічені труднощі, теорема Котельникова (у зарубіжних джерелах - теорема Найквіста) широко використовується в процесі перетворення аналогових сигналів в цифрову форму.

Гетьманов В.Г. в [6] наводить приклад, який ілюструє необхідність, крім забезпечення потрібного періоду дискретизації, узгодження максимального значення сигналу та робочого діапазону АЦП при квантуванні сигналу.

Аналого-цифрові перетворювачі здійснюють перетворення послідовності кусочно-постійної напруги від мультиплексора  в послідовність цифрових кодів . Слід зазначити суттєві для формування систем ЦОС параметри АЦП: 1) t _АЦП час перетворення АЦП аналогової напруги V ₂(t) в цифровий код; очевидно, повинна виконуватися нерівність t _АЦП <Δ t_k (час комутації); 2) L_A - число розрядів цифрового коду з виходу АЦП (не враховуючи знаку); 3)  - робочий діапазон АЦП по вхідній напрузі; цей параметр встановлюється стандартним рядом значень - частіше усього = 1 і 5 В.

При роботі АЦП слід забезпечувати узгодження (приблизну рівність) максимального значення напруги сигналу і діапазону . Розглянемо необхідність такого узгодження. З цією метою моделювався синусоїдальний сигнал виду , i =0, 1,..., N - 1; T =0,01 с; N = 1000; f =0,1 Гц і двома амплітудами А ₁ =4,32 В, А ₂=0,65 В. Для АЦП були вибрані параметри = 5 В, L_A = 4, для яких =0,33 В.

Дискретність по рівню вносить похибки в інформаційний сигнал. Неважко підрахувати величину , відповідну ціні одного розряду АЦП, яка дозволяє орієнтовно оцінити величину похибки від дискретизації по рівню.

На рис. 2.2 подані графіки модельних синусоїдальних сигналів, що дискретизують по рівню, кусочно-постійна лінія з індексом 1 відповідає А ₁= 4,32 В, лінія з індексом 2 відповідає А ₂ = 0,65 В. Через те, що в другому випадку амплітуда синусоїди істотно менше величини _АЦП АЦП, перетворений синусоїдальний сигнал на виході є дворівневою послідовністю.

	Рис. 2.2. Результати дискретизації синусоїдальних сигналів