Основні закони випромінювання

3.2.1. Закон Планка

Закон Планка говорить про залежність між спектральною інтенсивністю випромінювання, абсолютною температурою тіла та довжиною хвилі, на котрій відбувається випромінювання абсолютно чорного тіла (рис.3.1).

                                 (3.2)

де індекс о  позначає належність величини до а.ч.т.;

- довжина хвилі випромінювання,м; с₁ 3,745 Вт/м²; с₂ 1,44·10^-2 м·град.

 

 

 

Рисунок 3.1. Графічне зображення закона Планка

 

При кожній температурі випромінювача мається довжина хвилі, при якій відбувається максимум спектральної інтенсивності випромінювання .

3.2.2 Закон Віна

Цей закон проявляється при розгляді графічного зображення закона Планка. Його формулювання: при підвищенні температури випромінювача максимум інтенсивності випромінювання приходиться на більш короткі хвилі

  Згідно з законом Віна існує співвідношення

                              (3.3)

Цей вираз аналітично зображає рівнобоку гіперболу.

 

3.2.3 Закон Стефана-Больцмана

Цей закон встановлює залежність між випромінювальною спроможністю тіла та його абсолютною температурою. Розглянемо графічне зображення закона Планка (рис. 3.2). Виділимо вузеньку полоску у спектрі випромінювання шириною . Очевидно, що добуток основи полоски на її середню висоту

дає сумарне випромінювання Е_о в інтервалі довжин хвиль  при температурі Т. Якщо , маємо інтенсивність монохроматичного випромінювання. Загальна площа, обмежена кривою  та віссю , представляє собою

 

 

Рисунок 3.2. Графічне зображення закона Планка для температур Т

 

сумарне випромінювання абсолютно чорного тіла в інтервалі довжин хвиль , тобто його випромінювальну спроможність. Очевидно, що остання має бути визначена в результаті інтегрування закону Планка по координаті , тобто

                         (3.4)

Знайдений таким чином вираз представляє собою математичне формулювання закону Стефана-Больцмана, де  - коефіцієнт випромінювання абсолютно чорного тіла, що дорівнює

За фізичним смислом цей коефіцієнт є випромінювальна спроможність абсолютно чорного тіла при його температурі 1К.

3.3 Види спектрів випромінювання

Ми розглянули закон Планка, тобто графічно це є спектр, який показує залежність інтенсивності монохроматичного випромінювання а.ч.т. у функції від абсолютної температури та ждовжини хвилі коливання випромінювання. Тобто, назвимо його спектром випромінювання абсолютно чорного тіла (рис.3.2). Є також термін «абсолютно чорне випромінювання».

3.3.1. Але, крім абсолютно чорного тіла введене поняття - сіре тіло (відповідно, сіре випромінювання). Згідно з цим поняттям маємо

           ,                                                 (3.5)

де Е – випромінювальна спроможність сірого тіла, Вт/м²;

 - міра чорноти сірого тіла.

Очевидно, що для інтенсивності випромінювання маємо

                                               (3.6)

На рис.3.3  показані два спектри: спектр абсолютно чорного тіла та сірий спектр. Згідно з виразом (3.6) зрозуміло, що інтенсивність випромінювання  є добутком  на  (інтенсивність випромінювання  абсолютно чорного тіла). Також ясно, що на цьому рисунку мається таке співвідношення

_.

 

 

Рисунок  3.3. Спектр абсолютно чорного та сірого випромінювання

 

Із сказаного ясно, що до сірого тіла може бути застосований закон Планка з усіма витікаючими із нього висновками. Зокрема, закон Стефана-Больцмана виражається такою формулою

,

де - коефіцієнт випромінювання сірого тіла.

Зведення законів випромінювання сірих тіл до законів, що відносяться до абсолютно чорного тіла строго можна обґрунтувати тільки у тій мірі,  в якій сталою, не залежною від температури, залишається міра чорноти сірого тіла. Міра чорноти реальних тіл декілька відрізняється від температури. В результаті випромінювальна спроможність тіла Е пропорціональна температурі Т у степені, що відрізняється від четвертої. У практичних розрахунках звичайно зберігають закон четвертого степеня, враховуючи додатковий вплив температури вибором відповідного значення коефіцієнта .

 

3.3.2 Випромінювання несірих тіл

У ряді випадків навіть практично неможливо вважати випромінювання реального тіла за сіре випромінювання. Таке випромінювання називається несірим, при цьому відрізняють випромінювання безперервне та полосате.

 

 

 

Рисунок 3.4. Безперервний  спектр    Рисунок 3.5. Полосатий спектр

 

Полосатий (селективний) спектр дають випромінюючі гази (СО₂, Н₂О, Н₂S). Цілковито очевидно, що несіре випромінювання не може бути підкорене закону Стефана-Больцмана оскільки немає основ чекати, що Е буде пропорційне Т⁴.

Існує дві можливості визначення випромінювальної спроможності несірих тіл. Перша з них – відмова від закону четвертого степеня і заміна його формулою

,

де n – постійні, які визначаються практично у кожному випадку досліду.

Інша можливість – використання формули

,

де  при цьому f(T) також знаходять дослідним шляхом.

Всі гази випромінюють селективно, але тільки трьохатомні гази мають помітне випромінювання в тепловій області спектра. Інші гази (кисень, азот, метан), що мають іншу від трьохатомної структуру молекули мають помітне випромінювання за межами теплової частини спектра (рентгенівське, гама - та ін. випромінювання).

    

  3.4 Закон Кірхгофа

Закон Кірхгофа встановлює залежність між випромінювальною та поглинальною спроможностями випромінювача. Припустимо, що на деякій відстані одна від іншої розташовані пластини 1 та 2, що знаходяться у тепловій рівновазі (тобто при однакових температурах. Пластина 1 – сіра, пластина 2 абсолютно чорна. Між пластинами встановлено фільтр, що пропускає абсолютно прозоро випромінювання в інтервалі довжин хвиль , а також не спроможний випромінювати енергію у цьому інтервалі хвиль, і абсолютно непрозорий в решті спектра хвиль. Всі три пластини мають знаходитись при одній температурі.

 

 

Рисунок 3.6. Теплообмін між двома пластинами

 

 

 Позначимо:

Е_о – випромінювальна спроможність пластини 2;

- частина випромінювання, що проходить через фільтр в сторону пластини 1;

Е – випромінювальна спроможність пластини 1;

 - частина Е, що проходить через фільтр в сторону 2;

- коефіцієнт поглинання пластини 1 на довжині хвилі ;

- коефіцієнт поглинання пластиною 2 на довжині хвилі .

Крізь фільтр від пластини 2 відправляється в сторону 1 енергія . Частина цієї енергії  відбивається від пластини 1 і попадає на пластину 2, де цілком поглинається.

Ефективне випромінювання пластини 1 що попадає на пластину 2 становить

.                            (3.7)

Оскільки пластини знаходяться у тепловій рівновазі перехід енергії в обох напрямках має бути однаковим. Тобто

                            (3.8)

звідки

Таким чином, випромінювання сірого тіла при деякій температурі дорівнює добутку його коефіцієнта поглинання на інтенсивність випроміння абсолютно чорного тіла при тій же температурі та тій же довжині хвилі.

Оскільки частина спектра хвиль  вибрана довільно, вказане положення справедливе для кожної довжини хвилі, а відповідно, може бути розповсюджене на сумарне випромінювання, тобто на випромінювальну спроможність. Отже, випромінювальна спроможність сірого тіла при деякій температурі дорівнює добутку його коефіцієнта поглинання на випромінювальну спроможність абсолютно чорного тіла при тій же температурі, тобто

.                                               (3.9)

У цьому і є суть закона Кірхгофа.

Отже, якщо тіло не поглинає енергію на цій довжині хвилі, то на цій довжині хвилі воно і не випромінює теплову енергію.

Порівняємо закони Кірхгофа та Стефана-Больцмана

звідки

,

Тобто, коефіцієнт поглинання сірого тіла дорівнює його мірі чорноти при тих же умовах.

 

3.5 Закон Ламберта

За допомогою закону Стефана-Больцмана можна розрахувати всю сумарну енергію, яку випромінює в одницю часу одиниця поверхні нагрітої поверхні. Закон Ламберта встановлює, яка частина від загального випромінювання проходить у даному напрямку.

Припустимо, що випромінююча площина F має випромінювальну спроможність Е. Розглянемо поняття про густину випромінювання, що представляє собою кількість енергії, що випромінюється одиницею поверхні в одиницю часу у межах одиниці тілесного кута, орієнтованого під деяким кутом до поверхні. Якщо позначити густину випромінювання у напрямку, нормальному до поверхні, через Е_n, то для напрямку, що складає кут  з нормаллю, густина випромінювання складе

                                            (3.10)

 

Цей вираз називається законом Ламберта або законом косинусів.

 

 

 

Рисунок 3.7. Визначення плоского кута

 

Стеридіан – одиниця виміру телесного кута. Представляє собою площу, вирізану на сфері телесним кутом, що дорівнює квадрату радіуса сфери. Отож, оскільки площа сфери дорівнює ², число стерадіанів дорівнює . Плоский кут  визначається в радіанах таким чином

або ,

де  S – довжина дуги,м; r – радіус сфери.

Аналогічно визначається і телесний кут

       або     

де F – площа, вирізана на сфері.

 

3.6 Теплообмін між двома паралельними абсолютно чорними

Поверхнями

Вважаємо поверхні нескінченно протяжні так, що випромінювання одної поверхні попадає на другу поверхню. По закону Стефана-Больцмана перша поверхня має таку випромінювальну спроможність (рис.3.8)

Інша поверхня випромінює

Якщо , то енергія переходить від першої поверхні до другої. Результативне випромінювання першої поверхні склада

                         (3.11)

 

Рисунок 3.8. Дві паралельні абсолютно чорні поверхні

3.7 Теплообмін між двома сірими, паралельними поверхнями (рис.3.8)

 

Рисунок 3.9. Дві паралельні сірі поверхні

 

Розглянемо послідовність процесів випромінювання, поглинання та відбиття першою та другою поверхнями.

Перша поверхня випромінює енергію Е₁, друга Е₂. Е₁ попадає на другу поверхню і частково вбирається. Поглинене випромінювання становить А₂Е₁, відбите (1-А₂)Е₁. Цей залишок спрямовано на першу поверхню, також частково поглинається А₁(1-А₂)Е і частково відбивається  (1-А₁) (1-А₂)Е₁. Це відбите випромінювання знову спрямовується на другу поверхню, де частково поглинається А₂(1-А₁)(1-А₂)Е₁, а решта (1-А₂)²(1-А₁)Е знову відправляється на першу поверхню.

Складемо таблицю, в якій зобразимо історію випромінювання Е₁.

 

Таблиця 3.1 – Історія випромінювання Е₁

Поверхня 1		Поверхня 2
Вбирання	Відбиття	Вбирання	Відбиття
		А2Е1	(1-А2)Е1
А1(1-А2)Е1	(1-А1)(1-А2)Е1	А2(1-А1)(1-А2)Е1	(1-А2)^2(1-А1)Е1
А1(1-А1)^2(1-А1)Е1	(1-А1)^2(1-А2)^2Е1	А2(1-А1)^2(1-А2)^2Е1	(1-А2)^2(1-А1)^2Е1

 

Маємо геометричні прогресії, сума яких дорівнює

                                              (3.11)

де а₁ – перший член прогресії;

q –знаменник прогресії, тобто вираз, на який помножений кожний попередній член прогресії.

У нашому випадку маємо для вбирання першою поверхнею

Тобто у сумі вбирання поверхнею 1 від Е₁

                            (3.12)

Для другої поверхні

а енергія, вібрана нею частиною першої поверхні

Тобто вся енергія випромінювання першої поверхні поглинається після багаторазових поглинань та відбиття частково першою, а частково другою поверхнями.

Аналогічно розглянемо історію вбирань та відбиттів другою поверхнею від E₂.

 

Таблиця 3.2 – Історія випромінювання Е₂

Поверхня 1		Поверхня 2
Вбирання	Відбиття	Вбирання	Відбиття
А1Е2	(1-А1)Е2	А2(1-А1)Е2	(1-А2) (1-А1)Е2
А1 (1-А1)(1-А2)Е2	(1-А1)(1-А2)Е2	А2(1-А1)^2(1-А2)Е2	(1-А2)^2(1-А1)Е2
А1(1-А1)^2(1-А2)Е2	(1-А1)^2(1-А2)^2Е2	А2(1-А1)^3(1-А2)^2Е2	(1-А1)^3(1-А2)^3Е2

 

і т.д.

Частина енергії Е₂, вібрана першою поверхнею

                              (3.13)

Частина енергії Е₂, вібрана другою поверхнею

                              (3.14)

Вся енергія Е₂ в решті решт після багаторазових вбирань та відбитків становить як сума виразів (3.13) та (3.14)

Таким чином перша поверхня випромінює згідно з законом Стефана-Больцмана Е₁, Вт/м². В той же час вона вбирає енергію  (частину випромінювання Е₁) та енергію  (частину власного випромінювання Е₂), тобто в сумі вбирає . Різниця між власним випромінюванням та вібраним становить дебаланс енергії:

Аналогічно

.

Таким чином

.

Знак мінус показує, що коли енергія для одної пластини приходить, то для іншої виходить.

Розділивши чисельник та знаменник правої частини виразу  Е₁₂ на А₁А₂ отримаємо:

 

Маючи на увазі закон Кірхгофа, бачимо

 

 

Тоді

 ,                (3.16)

 

де

 - приведений коефіцієнт поглинання (приведена міра чорноти).