Расчет прочности изгибаемых железобетонных элементов по нормальному сечению

Цель практического занятия: рассчитать на прочность изгибаемых железобетонные элементы

Теоретические основы

 

Железобетонные элементы рассчитывают по прочности на действие изгибающих моментов, поперечных сил, продольных сил, крутящих моментом и на местное действие нагрузки (местное сжатие, продавливание, отрыв).

 

Расчет железобетонных элементов на действие изгибающих моментов

 

Расчет по прочности железобетонных элементов на действие изгибающих моментов следует производить для сечений, нормальных к их продольной оси.

Расчет нормальных сечений изгибаемых элементов следует производить на основе нелинейной деформационной модели, принимая   N = 0.

Расчет прямоугольного, таврового и двутаврового сечений с арматурой, расположенной у перпендикулярных плоскости изгиба граней элемента, при действии момента в плоскости симметрии сечения допускается производить по предельным усилиям.

Расчет элементов с такими сечениями на действие косого изгиба в некоторых случаях также допускается производить по предельным усилиям.

Для железобетонных элементов, у которых предельный по прочности изгибающий момент оказывается меньше момента образования трещин, площадь сечения продольной растянутой арматуры должна быть увеличена по сравнению с требуемой из расчета по прочности не менее чем на 15% или должна удовлетворять расчету по прочности на действие момента образования трещин.

Расчет по прочности нормальных сечений следует производить в зависимости от соотношения между значением относительной высоты сжатой зоны бетона , определяемым из соответствующих условий равновесия, и значением граничной относительной высоты сжатой зоны ξ _R при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению R_s.

Значение ξ _R определяют по формуле

,                                        (3.1)

где R_s - в МПа или по таблице 3.1.

 

Таблица 3.1- Значения ξ _R и a_R

Класс арматуры	А240	А300	А400	А500	В500
Значение ξ R	0,612	0,577	0,531	0,493	0,502
Значение aR	0,425	0,411	0,390	0,372	0,376

Прямоугольные сечения

Расчет прямоугольных сечений (рисунок 3.1) производится следующим образом в зависимости от высоты сжатой зоны

,                                                 (3.2)

а) при  - из условия

,                          (3.3)

б) при  - из условия

,                                  (3.4)

где  или по таблице  3.1.

Правую часть условия (3.4) при необходимости можно несколько увеличить путем замены значения a_R на (0,7 a_R + 0,3 a_m), где a_m = ξ (1 - 0,5 ξ), и принимая здесь ξ не более 1.

Если х ≤ 0, прочность проверяют из условия

M ≤ R_sA_s (h ₀ - a '),                                        (3.5)

Рисунок 3.1 - Схема усилий и эпюра напряжений в поперечном прямоугольном сечении изгибаемого железобетонного элемента

 

Если вычисленная без учета сжатой арматуры (A_s = 0,0) высота сжатой зоны х меньше 2 а', проверяется условие (3.5), где вместо а' подставляется х/ 2.

Изгибаемые элементы рекомендуется проектировать так, чтобы обеспечить выполнение условия . Невыполнение этого условия можно допустить лишь в случаях, когда площадь сечения растянутой арматуры определена из расчета по предельным состояниям второй группы или принята по конструктивным соображениям.

Проверку прочности прямоугольных сечений с одиночной арматурой производят

при х < ξ _R h_o из условия

M ≤ R_sA_s (h ₀ -0, 5 x),                          (3.6)

где х - высота сжатой зоны, равная ;

при х ≥ ξ _R h_o из условия

,                                               (3.7)

где a_R  определяется потаблице 3.1;

при этом несущую способность можно несколько увеличить. Подбор продольной арматуры производят следующим образом.

Вычисляют значение

,                                           (3.8)

Если a _т < a_r (по таблице  3.1), сжатая арматура по расчету не требуется.

При отсутствии сжатой арматуры площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле

,                           (3.9)

Если a _т > a_r, требуется увеличить сечение или повысить класс бетона, или установить сжатую арматуру.

Площади сечения растянутой A_s и сжатой A ' _s арматуры, соответствующие минимуму их суммы, если по расчету требуется сжатая арматура, определяют по формулам

,                            (3.10)

,                                (3.11)

где ξ _R и a_r по таблице  3.1.

Если значение принятой площади сечения сжатой арматуры A_s значительно превышает значение, вычисленное по формуле (3.10), площадь сечения растянутой арматуры можно несколько уменьшить по сравнению с вычисленной по формуле (3.11), используя формулу

,                  (3.12)

 

где

При этом должно выполняться условие a _т < a_r (по таблице  3.1).

Тавровые и двутавровые сечения

Расчет сечений, имеющих полку в сжатой зоне (тавровых, двутавровых и т.п.), производят в зависимости от положения границы сжатой зоны

а) если граница проходит в полке (рисунок 3.2а), т.е. соблюдается условие

,                                 (3.13)

б) если граница проходит в ребре (рисунок 3.2б), т.е. условие (3.13) не соблюдается, расчет производят из условия

Рисунок 3.2 -   Положение границы сжатой зоны в тавровом сечении изгибаемого железобетонного элемента

а-в палке; б - в ребре

,        (3.14)

 где А_{0 v} - площадь сечения свесов полки, равная (b ' _f - b) h ' _f, при этом высоту сжатой зоны определяют по формуле

,                                   (3. 15)

и принимают не более ξ _R h_o (по таблице  3.1).

Если х> ξ _R h_o условие (3.14) можно записать в виде

,                (3.16)

где a_R - по таблице  3.1.

ребуемую площадь сечения сжатой арматуры определяют по формуле

,             (3.17)

где a_R - по таблице  3.1.; А_{0 v} = (b ' _f - b) h ' _f

При этом должно выполняться условие h ' _f ≤ ξ _R h_o В случае, если h ' _f > ξ _R h_o, площадь сечения сжатой арматуры определяют как для прямоугольного сечения шириной b = b ' _f   по формуле (3.10).

Требуемую площадь сечения растянутой арматуры определяют следующим образом

а) если граница сжатой зоны проходит в полке, т.е. соблюдается условие

,                       (3.18)

площадь сечения растянутой арматуры определяют как для прямоугольного сечения шириной b ' _f;

б) если граница сжатой зоны проходит в ребре, т.е. условие (3.18) не соблюдается, площадь сечения растянутой арматуры определяют по формуле

,                        (3.19)

,              (3.20)

При этом должно выполняться условие a _т ≤ a_r   (по таблице  3.1).

Значение b ' _f вводимое в расчет, принимают из условия, что ширина свеса полки в каждую сторону от ребра должна быть не более 1/6 пролета элемента и не более

а) при наличии поперечных ребер или при h ' _f ≥ 0,1 h - 1/2 расстояния в свету между продольными ребрами;

б) при отсутствии поперечных ребер (или при расстояниях между ними, больших, чем расстояния между продольными ребрами) и при h ' _f < 0,1 h - 6 h ' _f;

в) при консольных свесах полки

при h ' _f ≥ 0,1 h - 6 h ' _f,

при 0,05 h ≤ h ' _f < 0,1 h - 3 h ' _f;

при h ' _f < 0,05 h - свесы не учитывают.

Примеры задания №3

Прямоугольные сечения

Пример 1. Дано:сечение размером b = 300 мм, h = 600 мм; а = 40 мм; изгибающий момент с учетом кратковременных нагрузок М = 200 кНм; бетон класса В15 (R_b = 8,5 МПа); арматура класса А300 (R_s = 270 МПа).

Требуетсяопределить площадь сечения продольной арматуры.

Решение

h_o = 600 - 40 = 560 мм. Производим подбор продольной арматуры. По формуле (3.8) вычисляем значение a_m

По таблице 3.1. находим a_r = 0,41. Так как a_m = 0,25 < a_r, сжатая арматура по расчету не требуется.

Требуемую площадь сечения растянутой арматуры определяем по формуле (3.9)

Принимаем 2Æ28 + 1Æ25 (A_s = 1598 мм²).

Пример 2. Дано: сечение размерами b = 300 мм, h = 800 мм; а = 70 мм; растянутая арматура А400 (R_s = 355МПа); площадь ее сечения A_s = 2945 мм² (6Æ25); бетон класса В25 (R_b = 14,5 МПа); изгибающий момент М = 550 кНм.

Требуетсяпроверить прочность сечения.

Решение

h_o = 800 - 70 = 730. Производим прочности проверку.

Определим значение х

По таблице 3.1 находим ξ _R = 0,531. Так как ,

Проверяем условие (3.6)

R_sA_s (h_o -0, 5x) = 355·2945· (730 - 0,5·240) = 636,8·10⁶ Н ∙мм =

=636,8 кН∙м > M = 550кН∙м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 3. Дано:сечение размерами b = 300 мм, h = 800 мм; а = 50 мм; арматура класса А400 (R_s = R_sc = 355 МПа); изгибающий момент М = 780 кН∙м; бетон класса В15 (R_b = 8,5 МПа).

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Решение

h_o = h - а = 800-50=750 мм. Определяем требуемую площадь продольной арматуры. По формуле (3.8) находим значение a_m

Так как a_m = 0,544 > a_r = 0,39 (по таблице  3.1.), при заданных размерах сечения и класса бетона необходима сжатая арматура.

Принимая а' = 30 мм и ξ _R = 0,531 (см. табл. 3.1), по формулам (3.10) и (3.11) определим необходимую площадь сечений сжатой и растянутой арматуры

Принимаем A_s = 942 мм² (3Æ20); A_s = 4021 мм² (5Æ32).

Пример 4. Дано:сечение размерами b = 300 мм, h = 700 мм; а = 50 мм; а' = 30 мм; бетон класса В30 (R_b = 17 МПа); арматура А400 (R_s = R_sc = 355 МПа); площадь сечения сжатой арматуры A_s = 942 мм² (3Æ20); изгибающий момент     М =580 кН∙ м.

Требуетсяопределить площадь сечения растянутой арматуры.

Решение

h_o = 700 - 50 = 650 мм. Расчет производим с учетом наличия сжатой арматуры.

Вычисляем значение a_m

Так как a_m = 0,173 < a_r = 0,39 (по таблице  3.1.), необходимую площадь растянутой арматуры определяем по формуле (3.12)

Принимаем 3Æ36 (А _s = 3054 мм²).

Пример 5. Дано:сечение размерами b = 300 мм, h = 700 мм; а = 70 мм; а ' = 30 мм; бетон класса В20 (R_b =11,5 МПа); арматура класса А400                      (R_s = R_sc = 355 МПа); площадь сечения растянутой арматуры A_s = 4826 мм² (6Æ32), сжатой - А' _s = 339 мм² (3Æ12); изгибающий момент М = 630 кН м

Требуется проверить прочность сечения.

  Решение

h_o = 700 - 70 = 630 мм. Производим проверку прочности сечения.

По формуле (3.2) определяем высоту сжатой зоны х

По таблице  3.1 находим ξ _R = 0,531 и a_r = 0,39. Так как , прочность сечения проверяем из условия (3.4)

 т.е. прочность согласно этому условию не обеспечена. Уточним правую часть условия (3.4) путем замены значения a_r на (0,7 a_r + 0,3 a_m), где

a_m = ξ (1 - 0,5 ξ) = 0,733∙(1- 0,5·0,733) = 0,464

(0,7·0,39 + 0,3·0,464)∙11,5·300·630² + 355·339·600 = 636,6·10⁶ Н·мм = 636,6 кН·м > М =630 кН∙м, т.е. прочность обеспечена.

Тавровые и двутавровые сечения

Пример 6. Дано:сечение размерами b ' _f = 1500 мм, h ' _f = 50 мм,

b = 200 мм, h = 400 мм; а = 80 мм; бетон класса В25 (R_b = 14,5 МПа), арматура класса А400 (R_s = 355 МПа); изгибающий момент М = 260 кН∙м.

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Решение

h _о = 400 - 80 = 320 мм. Расчет производим в предположении, что сжатая арматура по расчету не требуется.

Проверим условие (3.18), принимая A_s = 0

т.е. граница сжатой зоны проходит в полке, и расчет производим как для прямоугольного сечения шириной b = b ' _f =1500 мм.

Вычисляем значение

(по таблице  3.1.)

т.е. сжатая арматура действительно по расчету не требуется.

 

Площадь сечения растянутой арматуры вычисляем по формуле (3.8)

Принимаем 4Æ28 (A_s = 2463 мм²).

Пример 7. Дано:сечение размерами b ' _f = 400 мм, h ' _f = 120 мм, b = 200 мм, h = 600 мм; а = 65 мм; бетон класса В15 (R_b = 8,5 МПа); арматура класса А400 (R_s = 355 МПа); изгибающий момент М = 270 кНм.

Требуетсяопределить площадь сечения растянутой арматуры.

Решение

h _о = 600 - 65 = 535 мм. Расчет производим в предположении, что сжатая арматура по расчету не требуется.

Так как

R_bb ' _f h ' _f (h_o - 0,5 h ' _f) = 8,5·400·120(535 - 0,5·120) = 193,8·10⁶ Н мм =

= 193,8 кН∙м > M = 270 кН∙м,

граница сжатой зоны проходит в ребре и площадь сечения растянутой арматуры определим по формуле (3.19), принимая площадь сечения свесов равной А_{0 v} = (b ' _f - b) h ' _f = (400 - 200) 120 = 24000 мм². Вычисляем значение a_m при A ' _s =0

 

(по таблице  3.1.),

следовательно, сжатая арматура не требуется.

Принимаем 4Æ25(A_s = 1964 мм²).

Пример 8. Дано: сечение размерами b ' _f = 400 мм, h ' _f = 100 мм, b = 200 мм, h = 600 мм; а = 70 мм, бетон класса В25 (R_b = 14,5 МПа); растянутая арматура класса А400 (R_s = 355 МПа); площадь ее сечения A_s = 1964 мм² (4Æ25); A ' _s = 0,0; изгибающий момент М = 300 кНм.

Требуетсяпроверить прочность сечения.

Решение

h _о = 600 - 70 = 530 мм. Принимаем A_s = 0,0. Так как R_s · A_s = 355 · 1964 = 697220 Н > R_b · b ' _f · h ' _f =14,5·400·100 = 580000 Н, граница сжатой зоны проходит в ребре, и прочность сечения проверяем из условия (3.14).

Для этого по формуле (3.15) определим высоту сжатой зоны, приняв площадь свесов равной А_{0 v} = (b ' _f - b) h ' _f = (400 - 200) ·100 = 20000 мм²

(где ξ _R найдено по таблице  3.1).

т.е. прочность сечения обеспечена.

 

Таблица 3.2 – Размеры сечений, значение изгибающего момента, классы бетона и арматуры к примерам № 1, 3

№	b	h	a	М	Класс бетона	Класс арматуры
1	300	400	50	300	В20	А300
2	200	350	30	150	В15	А300
3	350	500	40	400	В25	А400
4	400	600	50	500	В30	А400
5	250	400	40	600	В25	А300
6	250	450	30	450	В20	А300
7	300	500	50	550	В15	А400
8	400	700	50	650	В25	А300
9	450	650	40	550	В30	А400
10	300	400	40	150	В15	А300
11	200	350	30	400	В25	А400
12	350	500	50	500	В30	А400
13	400	600	50	600	В25	А300
14	250	400	40	450	В20	А300
15	250	450	40	550	В15	А400

 

 

Таблица 3.3 - Размеры сечений, значение изгибающего момента, классы бетона и арматуры к примеру № 2

№		b		h	a	М	Класс бетона	Класс арматуры	Арматура (сжатая для задания 5)	а ^I для задания 5
1	300		400		50	300	В20	А300	4Æ25	30
2	200		350		30	150	В15	А300	6Æ20	30
3	350		500		40	400	В25	А400	6Æ18	30
4	400		600		50	500	В30	А400	4Æ28	30
5	250		400		40	600	В25	А300	4Æ25	30
6	250		450		30	450	В20	А300	6Æ16	30
7	300		500		50	550	В15	А400	4Æ22	30
8	400		700		50	650	В25	А300	6Æ32	30
9	450		650		40	550	В30	А400	6Æ25	30
10	300		400		40	150	В15	А300	4Æ25	30
11	200		350		30	400	В25	А400	4Æ20	30
12	350		500		50	500	В30	А400	6Æ18	30
13	400		600		50	600	В25	А300	6Æ22	30
14	250		400		40	450	В20	А300	4Æ28	30
15	250		450		40	550	В15	А400	4Æ25	30

 

 

Таблица 3.4 - Размеры сечений, значение изгибающего момента, классы бетона и арматуры к примерам № 4, 5

№	b	h	a	М	Класс бетона	Класс арматуры	Арматура (сжатая для задания 5)	а ^I для задания 5, 6	Арматура растянутая для задания 6
1	300	400	50	300	В20	А300	3Æ18	30	4Æ25
2	200	350	30	150	В15	А300	3Æ20	30	6Æ20
3	350	500	40	400	В25	А400	3Æ16	30	6Æ18
4	400	600	50	500	В30	А400	3Æ20	30	4Æ28
5	250	400	40	600	В25	А300	3Æ12	30	4Æ25
6	250	450	30	450	В20	А300	3Æ16	30	6Æ16
7	300	500	50	550	В15	А400	3Æ18	30	4Æ22
8	400	700	50	650	В25	А300	3Æ20	30	6Æ32
9	450	650	40	550	В30	А400	3Æ16	30	6Æ25
10	300	400	40	150	В15	А300	3Æ20	30	4Æ25
11	200	350	30	400	В25	А400	3Æ12	30	4Æ20
12	350	500	50	500	В30	А400	3Æ16	30	6Æ18
13	400	600	50	600	В25	А300	3Æ18	30	6Æ22
14	250	400	40	450	В20	А300	3Æ20	30	4Æ28
15	250	450	40	550	В15	А400	3Æ16	30	4Æ25

 

Таблица 3.5 - Размеры сечений, значение изгибающего момента, классы бетона и арматуры к примерам № 6,7, 8

№	b^I	h^I	b	h	a	М	Класс бетона	Класс арматуры	Арматура для задания 8
1	1500	50	200	400	50	300	В20	А300	4Æ25
2	1200	60	250	350	30	150	В15	А300	6Æ20
3	1350	70	300	450	40	400	В25	А400	6Æ18
4	1400	80	350	500	50	500	В30	А400	4Æ28
5	1250	40	400	300	40	600	В25	А300	4Æ25
6	1250	50	200	400	30	450	В20	А300	6Æ16
7	1300	60	250	350	50	550	В15	А400	4Æ22
8	1400	70	300	450	50	650	В25	А300	6Æ32
9	1450	80	350	500	40	550	В30	А400	6Æ25
10	1300	40	400	300	40	150	В15	А300	4Æ25
11	1200	50	200	400	30	400	В25	А400	4Æ20
12	1350	60	250	350	50	500	В30	А400	6Æ18
13	1400	70	300	450	50	600	В25	А300	6Æ22
14	1250	80	350	500	40	450	В20	А300	4Æ28
15	1250	40	400	300	40	550	В15	А400	4Æ25

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4