Производственная функция в краткосрочном периоде.

3. Производственная функция в долгосрочном периоде.

4. Равновесие производителя.

5. Развитие производства и эффект масштаба.

Вопрос 1. Понятие производственной функции и ее примеры

Теория производства изучает закономерности процесса производства в фирме, т. е. процесса создания в ней благ, необходимых для удовлетворения материальных и духовных потребностей людей. В широком смысле производство есть процесс превращения факторов производства в готовую продукцию (товары и услуги).

Исходным пунктом исследования процесса производства является анализ зависимости между количеством применяемых ресурсов и объемом выпускаемой продукции. В качестве инструмента изучения этой проблемы экономическая теория использует производственную функцию, которая определяет максимальный объем производимого продукта при каждом заданном количестве ресурсов. Производственная функция всегда конкретна, т. е. отражает зависимость между максимально возможным объемом продукта и количеством необходимых ресурсов при данной технологии. Если будет использоваться новая технология – ее будет характеризовать новая производственная функция. В самом общем виде производственную функцию можно представить в следующем виде:

Q = f (X ₁, X ₂, ……, X_n),

где Q – максимальный объем продукта, который возможно произвести при заданной технологии и определенном количестве факторов производства;

Х₁, Х₂, ……,Х _n – факторы производства.

Почти всегда необходимыми факторами производства для выпуска продукции являются капитал (К) и труд (L). Эти факторы фигурируют и в самом известном варианте производственной функции, используемой для экономического анализа как в отдельной фирме, так и на уровне всего народного хозяйства – функции Кобба–Дугласа, имеющей следующий вид:

 

Q = AK ^a · L ^b.

 

Показатели степени a и b в функции Кобба–Дугласа – это коэффициенты эластичности выпуска Q по затратам ресурсов K и L. Они показывают, что увеличение на 1 % затрат фактора К приводит к увели-чению выпуска на a %, а увеличение на 1 % затрат фактора L – к увеличению выпуска на b %. Символ в начале формулы А – это коэффициент пропорциональности или масштабности.

Производственная функция исходит из того, что используемые фирмой в производстве ресурсы являются взаимодополняемыми или взаимозаменяемыми. Взаимодополняемость означает, что отсутствие одного или нескольких ресурсов делает невозможным производственный процесс. Например, для производства обуви необходимо помещение, специальное оборудование, сырье и труд рабочих. При отсутствии хотя бы одного из перечисленных факторов производство обуви становится невозможным. Взаимозаменяемость факторов означает, что нехватка одного фактора может быть компенсирована дополнительным количеством другого, т. е. факторы могут комбинироваться между собой в процессе производства в определенных пропорциях.

 

Вопрос 2. Производственная функция в краткосрочном периоде

Рассмотрим двухфакторную производственную функцию Q = f (K, L) в краткосрочном периоде. При этом фактор К остается фиксированным, а ресурс L изменяется. Поэтому производственная функция представляется в следующем виде:

Q = f (L), при К – const.

 

В этой ситуации фирма при своем функционировании изменяет интенсивность использования фиксированного ресурса за счет варьирования используемыми объемами переменного переменного ресурса труда.

Поведение производственной функции в краткосрочном периоде выражают три основных показателя: общий, средний и предельный продукты переменного ресурса (в рассматриваемой производственной функции – общий средний и предельный продукты переменного ресурса труда).

Общий продукт (ТР) – это общее количество произведенного физического продукта, которое возрастает по мере увеличения использования переменного ресурса.

Средний продукт (АР) – это физический продукт, приходящийся на единицу переменного ресурса (АР = ТР / L). Показатель среднего продукта характеризует среднюю производительность переменного ресурса (в нашем примере среднюю производительность труда).

Предельный продукт (МР) – это дополнительный физический продукт, получаемый от использования дополнительной единицы переменного ресурса. Он определяется по следующей формуле:

 

МР = D ТР/ D L Þ МР = d ТР/d L.

Таким образом, предельный продукт переменного ресурса есть производная функции общего продукта по объему переменного ресурса. Предельный продукт характеризует предельную производительность переменного ресурса труда.

 

                              ТР                                                              

                                                                                           B

                                                                        F

                                                                                                            ТР

                                                             A

                                 0                                                                      L

                                                             a    f           в

                                                I              II    III           IV

                             МР

                             АР

                                                                                               АР

                                                                                   МР

                                 0                                                                        L

                                                          a      f          b

Рис. 8.1. Общий, средний и предельный продукты

                           в краткосрочном периоде

 

Графическое изображение общего, среднего и предельного продуктов переменного ресурса труда представлено на рис. 8.1. График ТР показывает, что с ростом использования в производстве ресурса труда ТР будет увеличиваться. Однако этот рост имеет определенные пределы в рамках заданной технологии. На начальном участке 0 a кривая ТР имеет вогнутый характер. Это свидетельствует о том, что одинаковые приращения L дают все возрастающие приращения ТР, т. е. на этом участке имеет место рост предельного продукта. На участке a в кривая ТР имеет выпуклый характер. Это означает, что одинаковые приращения L дают все уменьшающиеся приращения ТР, т. е. на этом участке имеет место уменьшение предельного продукта.

Такой характер кривой ТР отражает действие закона убывающей отдачи ( или закона убывающего предельного продукта), суть которого состоит втом, что если в процессе производства к фиксированным факторам производства (например, к капиталу) последовательно добавляются единицы переменного ресурса (например, труда), то начиная с определенного момента неизменно наступит ситуация, когда каждая единица переменного ресурса будет добавлять к ТР все меньшую и меньшую величину. Это равноценно утверждению, что при тех же условиях непременно наступит момент, когда начнут уменьшаться значения МР.

Чем объясняется такое изменение ТР при увеличении объема использования переменного ресурса L? Первоначальный возрастающий рост ТР на участке 0a объясняется действием эффекта разделения труда и улучшения организации производства продукта. Однако если остальные факторы производства остаются неизменными, то обязательно наступит такой момент, когда резервы разделения труда и улучшения организации производства будут исчерпаны и каждая дополнительная единица переменного ресурса начнет приносить все меньшую и меньшую прибавку к произведенному ТР. Строго говоря, возможна ситуация, когда МР станет равным нулю (т. е. дополнительный рабочий ничего не прибавит к ТР) и даже станет отрицательным (т. е. рабочих относительно фиксированных ресурсов станет так много, что они будут мешать друг другу и выпуск сократится).

Закон убывающей отдачи применим ко всем производственным процессам и всем переменным ресурсам, когда, по меньшей мере, хотя бы один производственный ресурс остается фиксированным. Он отражает рациональность экономической жизни, необходимость соблюдения определенных пропорций между применяемыми факторами в процессе производства.

Рассматриваемый закон носит не абсолютный, а относительный характер. Во-первых, потому что он применим лишь на краткосрочном отрезке времени, когда хотя бы один из факторов остается неизменным. Во-вторых, он абстрагируется от технического прогресса, который постоянно изменяет его границы.

Анализ кривой ТР позволяет проследить динамику предельного и среднего продуктов. Ранее было выяснено, что МР достигает максимального значения в точке А – точке перегиба кривой ТР (при L = 0в), а в точке В, в которой ТР достигает максимального значения, предельный продукт равен нулю (это соответствует и математическим представлениям: значение функции ТР максимально, когда производная этой функции равна нулю). После точки В предельный продукт отрицателен.

Из определения среднего продукта (АР = ТР/ L) вытекает, что на графике (рис. 8.1) его значение при определенных затратах труда определяется величиной тангенса угла наклона луча, выходящего из начала координат и проходящего через точку на кривой ТР, соответствующую этим затратам труда. Своего максимального значения АР достигает в точке F, т. е. в точке касания луча 0 F и кривой ТР, потому что тангенсы углов наклона всех иных лучей, проходящих через другие точки на кривой ТР, будут меньше, чем тангенс угла наклона луча 0 F. При этом до точки F средний продукт будет возрастать от нуля до максимума, а после точки F начнет уменьшаться.

Важно заметить, что тангенс угла наклона луча 0 F, касательного к кривой ТР, показывает не только значение максимального АР, но и величину МР, потому что МР есть производная функции ТР по затратам L. Таким образом, средний продукт максимален при условии равенства его предельному продукту. Средний продукт растет до тех пор пока МР > AP и начинает уменьшаться, когда МР становится меньше АР.

Анализ динамики общего, среднего и предельного продуктов переменного ресурса позволяет выделить четыре стадии в деятельности фирмы в краткосрочном периоде.

I стадия – рост L от 0 до а. Эта стадия характеризуется ростом и средней, и предельной производительности труда. При этом МР > АР, а при L = а, предельная производительность достигает максимума.

II c тадия – увеличение L от а до f. На этой стадии средняя производительность труда растет, предельная производительность уменьшается и при L = f cтановится равной средней производительности. Средняя производительность при L = f достигает максимального значения. Если на первой стадии ТР растет быстрее, чем увеличивается количество переменного фактора, то на второй стадии ТР растет медленнее, чем использованный объем переменного ресурса.

На первых двух стадиях увеличение затрат труда способствует все более полному использованию капитала. Объем применения переменного ресурса, при котором достигается максимум АР, называют экстенсивным пределом использования капитала (постоянного ресурса), после этой точки начинается интенсивное его использование. Эти две стадии фирма старается поскорее миновать.

III стадия – увеличение L от f до в. На этой стадии АР > MP, общий продукт возрастает и достигает максимального уровня, а предельный продукт уменьшается и достигает нулевого значения.

Фирма стремится вести деятельность на этой стадии, где привлечение дополнительной единицы переменного ресурса сулит хотя и падающий, но положительный прирост выпуска. Капитал (постоянный ресурс) на этой стадии используется интенсивно, и интенсивность его использования возрастает до тех пор, пока МР труда не упадет до нуля.

IV стадия – увеличение L от в и далее. На этой стадии МР отрицателен, и хотя АР > 0, общий объем выпуска левее точки в уменьшается. Эта стадия характеризуется быстрым снижением эффективности, и фирме необходимо уменьшать объем использования переменного ресурса.

 

Вопрос 3. Производственная функция в долгосрочном периоде

В долгосрочном периоде фирма изменяет объемы всех используемых ресурсов, в том числе и капитал, т. е. в этом периоде все ресурсы переменные, постоянных ресурсов нет. Производственная функция при этом будет иметь следующий вид: Q = f (K, L).

Анализ производственной функции в долгосрочном периоде свидетельствует, что одни и те же объемы продукции производятся при различных альтернативных сочетаниях факторов производства. Если представить на графике, в котором на оси абсцисс откладываются затраты труда, а на оси ординат – затраты капитала, точки с одинаковыми объемами производства и соединить их, то в результате получим кривые, называемые изоквантами.

 

                                        К

                               К₁           А

                                                                              Q₃ = 90

                               К₂                          В

                                                                              Q₂ = 75

                                                                            

                                                                             Q₁ = 55

L

                                                               L ₁   L ₂

Рис. 8.2. Карта изоквант

 

Таким образом, изокванта – это кривая, любая точка которой показывает такие комбинации двух переменных ресурсов, которые обеспечивают один и тот же объем продукции.

Изокванты в теории производства аналогичны кривым безразличия в теории поведения потребителя. Они обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия. Так же как и кривые безразличия, изокванты имеют отрицательный наклон, выпуклы относительно начала координат и не пересекаются друг с другом. Однако в отличие от кривых безразличия, где суммарное удовлетворение потребителя точно измерить нельзя, изокванты показывают реальные уровни производства. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она отражает.

Набор изоквант образует карту изоквант. Карта изоквант дает полную характеристику возможных технологий, задаваемых производственной функцией. Например, уровень выпуска Q ₂ = 75 может быть получен двумя технологическими способами – путем использования К₁ и L ₁ единиц капитала и труда (точка А) или же К₂ и L ₂ единиц труда и капитала (точка В)

Отражаемый на изокванте один и тот же объем производства при различных комбинациях факторов производства достигается за счет их взаимозаменяемости. При движении по изокванте сверху вниз и одновременно слева направо происходит увеличение использования труда (L), сопровождаемое соответствующим сокращением затрат капитала (К), т. е. происходит замещение капитала трудом. Это замещение производственных факторов характеризуется понятием «предельная норма технологического замещения трудом капитала» (М RTS_LK).

Предельная норма технологического замещения трудом капитала отражает то количество капитала, от которого необходимо отказаться, чтобы увеличить затраты труда на одну дополнительную единицу при фиксированном объеме выпуска продукции. MRTS_LK определяется по следующей формуле:

                                                          - D K

                                  MRTS_LK =

                                                           D L       Q – const,

где - D K – уменьшаемое количество единиц капитала; D L – увеличение количества используемых единиц труда; Q – const – фиксированный объем выпуска продукции.

 

MRTS_LK аналогична MRS в теории потребления. В любой точке изокванты MRTS_LK равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке, умноженному на (- 1).

Если производитель при выборе иного сочетания факторов производства остается на одной и той же изокванте, то прирост объема производства от увеличения L равен уменьшению объема производства от уменьшения затрат К, т. е. - D К · МР = D L · MP. Отсюда следует:

 

- D K     МР _L

                                                    =               = MRTS_LK.

                                            D L       MP_K

 

Таким образом, предельная норма технологического замещения трудом капитала может рассматриваться и как отношение предельных продуктов труда (МР _L) и капитала (МР _K).

Вопрос 4. Равновесие производителя

Ранее отмечалось, что изокванты показывают равные объемы выпуска при различных сочетаниях используемых ресурсов. Для предпринимателя важно знать, как выбрать такое сочетание имеющихся у него ограниченных ресурсов, чтобы при полном их использовании произвести максимальный объем продукции. Другими словами, предпринимателю необходимо знать, как выбрать такое сочетание ресурсов, при котором достигается определенный объем производства при минимуме затрат. В этом случае достигается равновесие производителя или его оптимум.

Для определения равновесия производителя необходимо ввести понятие изокосты. Изокоста – это линия, точки которой показывают все возможные сочетания ресурсов, имеющих одинаковую суммарную стоимость, иначе ее называют линией равных затрат или линией бюджетного ограничения производителя.

Обозначим через С  сумму денег, которой располагает фирма для покупки факторов производства капитала (К) и труда (L) по рыночным ценам Р_K и Р_L соответственно. Если эта сумма полностью расходуется на приобретение указанных факторов производства, то можно записать следующее равенство:

С = Р_K  К + Р_L   L.

Решив это уравнение относительно К, определим уравнение изокосты:

                                                                                         С       Р _L

                                                  К    =             -         L.

                                                                      Р_К     Р_К

 

 

Графически изокосты изображаются также, как и бюджетные линии потребителя (рис. 8.3). Наклон изокосты равен отношению цен используемых факторов производства, умноженному на (-1), так как изокоста имеет отрицательный наклон. Любое изменение цены на один из двух используемых ресурсов ведет к изменению наклона изокосты         (рис. 8.3, б). В том случае, если изменяется денежная сумма, предназначенная для покупки ресурсов, изокоста сдвигается влево или вправо в зависимости от того, уменьшилась или возросла денежная сумма (рис. 8.3, а). Чем больше бюджетные возможности производителя, тем дальше от начала координат отстоит изокоста.                                                                                                                                                                

                                                                                                           

       К                                                    К                                           

                                             

                                      C ₁ < C ₂ < C ₃             С/Р_К

                                       C ₁ C ₂ C ₃

                                                                                           

          0                                        L     0                 C / P_L   C / P ^¢ _L L

                                  а                                                   б

Рис. 8.3. Изокосты: а –изменения дохода; б – изменения цены        

Для определения условия равновесия производителя необходимо совместить на одном графике карту изоквант с изокостой (рис. 8.4). Комбинации ресурсов капитала (К) и труда (L), отмеченные точками А, Е и В обойдутся при данных ценах фирме в одну и ту же сумму С. Но комбинация ресурсов, соответствующая точке Е, в которой изокоста СС касается изокванты Q ₂, является наиболее предпочтительной из них, поскольку принадлежит наиболее удаленной от начала координат изокванте Q ₂, из всех достижимых при данной сумме С. Таким образом, комбинация ресурсов К_Е L _Е обеспечивает наибольший выпуск по сравнению с любой другой комбинацией ресурсов, имеющей равную стоимость.

                                    К

                                          

                                    С

                                            А                           

                                 K _Е                             E               Q ₃

                                                                              Q ₂                                            

                                                           B           Q ₁

0 L

                                            L_Е                C

Рис. 8.4. Равновесие производителя

Принимая во внимание, что в точке Е изокванта и изокоста имеют одинаковый наклон, и что наклон изокванты измеряется предельной нормой технического замещения, а наклон изокосты – отношением цен ресурсов, условие равновесия производителя можно записать в виде следующего уравнения:

М RTS_LK = P_L / P_K.

Поскольку ранее был сделан вывод, что MRTS_LK = MP_L / MP_K, то условие равновесия производителя можно записать в виде следующего уравнения:

МР _L / МР _K = Р _L / Р _K.

 

Преобразуем эту пропорцию в следующий вид:

 

MP_L / P_L = MP_K / P_K.

 

Последнее уравнение означает, что равновесие производителя достигается тогда, когда последняя денежная единица, затраченная на труд, дает такой же прирост выпуска, что и последняя денежная единица, израсходованная на капитал. Или, другими словами, из последнего уравнения вытекает, что фирма минимизирует свои издержки только тогда, когда затраты на производство дополнительной единицы продукции одни и те же, независимо от того, какой дополнительный фактор используется.

 

Вопрос 5. Развитие производства и эффект масштаба

 

Возможны два основных варианта развития производства.

Первый вариант заключается в изменении технологии производства (в переходе к более прогрессивной технологии), когда используются новое оборудование, новая организация производства, более квалифицированные работники, адекватные требованиям изменившейся технологии. В итоге тот же объем производства обеспечивается при относительно меньших затратах ресурсов.

Второй вариант развития производства заключается в изменении масштаба производства, когда при неизменной технологии увеличиваются объемы используемых факторов производства в 2, 3 и т. д. раз. Увеличение объема используемых ресурсов означает возрастание бюджета фирмы. С ростом бюджета фирма получает возможность переходить на новые, более удаленные от начала координат изокванты, т. е. увеличивать выпуск.

                             К

                            C₃

                            C₂

                            C₁

                            C ₀                                                              Q₃

                                                                          Q ₂

                                                            Q ₀ Q ₁

                              0                                                                                       L

                                                C ₀    C ₁    C ₂ C ₃                    

                                                      

                   Рис. 8.5. Линия роста фирмы

Каждая точка касания бюджетной линии изокванты соответствует такой комбинации факторов, которая дает минимум затрат для производства объема продукции, соответствующего изокванте. Соединив точки касания, получим линию роста фирмы (аналогичную линии  «доход – потребление» в теории потребления), которая иначе именуется изоклиналией (рис. 8.5).

 При изменении масштаба производства возможны три варианта изменения объемов производства: 1) с положительным эффектом от роста масштаба производства; 2) с постоянным эффектом от роста масштаба производства; 3) с отрицательным эффектом от роста масштабов производства.

Положительный эффект масштаба характеризуется тем, что объем производства растет быстрее объема затрат факторов производства. Наличие положительного эффекта объясняется следующими факторами:

– повышением уровня специализации труда, которое становится возможным по мере роста размеров предприятия;

– возможностью использовать наиболее эффективное производственное оборудование, так как мелкие фирмы зачастую неспособны воспользоваться эффективной дорогой техникой;

– более широкими возможностями для диверсификации деятельности развития побочных производств, выпуска продукции на базе отходов основного производства;

– более широкими возможностями крупных предприятий в проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок и переподготовки персонала.

При положительном эффекте масштаба фирме экономически целесообразно наращивать объем производства до момента прекращения действия положительного эффекта. Это позволяет производить продукцию с низкими средними издержками.

 

Постоянный эффект масштаба имеет место тогда, когда объем выпуска увеличивается в той же мере, что и растут затраты, вследствие чего издержки на единицу продукции остаются неизменными. Наличие постоянного эффекта связано с тем, что экономия, обусловленная разделением труда и прочими факторами, через некоторое время себя исчерпывает. И новые условия становятся нормой производства.

Отрицательный эффект масштаба характеризуется более медленным ростом выпуска по сравнению с увеличением затрат ресурсов, вследствие чего издержки на единицу продукции возрастают. Основная причина возникновения отрицательного эффекта масштаба связана с нарушением управляемости в чрезмерно крупной фирме, так как

– снижается эффективность взаимодействия между ее отдельными подразделениями, фирма становится неповоротливой, теряется гибкость ее деятельности;

– затрудняется контроль за реализацией решений, принимаемых руководством фирмы;

– в отдельных подразделениях фирмы возникают локальные интересы, противоречащие интересам фирмы в целом;

– с ростом размеров фирмы увеличиваются издержки на передачу и обработку информации, необходимой для принятия решений, и т. п.

Начало действия отрицательного эффекта масштаба свидетельствует о том, что эффективный размер предприятия превзойден и дальнейшее увеличение его размеров нецелесообразно.

 

Задания к лекции « Теория производства »

Задача 1.  Производство продукции в фирме описывается функцией               

Q = 108 X + 9 X ² – X ³,

где Q – количество производимой продукции;

Х – количество переменного ресурса, используемого в производстве.

Необходимо определить:

а) функции предельного продукта МР_х и среднего продукта АР_х;

б) величину предельного продукта, если в производстве используются 4 единицы переменного ресурса;

в) при каком количестве использования переменного ресурса у фирмы будет максимальный выпуск и какова его величина?

г) величину переменного ресурса, при которой начинается убывание предельного продукта; какому объему выпуска продукции это соответствует?

д) при каком количестве использования переменного ресурса предельный продукт и средний продукт равны между собой?

 

Решение задачи

1. Исходя из того, что МР_х = dТР_х / dХ, функция предельного продукта переменного ресурса Х описывается уравнением МР_х = 108  + 18 Х – 3 Х ². Так как АР_х = ТР_х / Х, то функция среднего продукта переменного ресурса Х описывается уравнением АР_х = 108 + 9 Х – Х ².

2.  Поскольку

МР_х = 108 + 18 X – 3 X ², то МР_{Х = 4} = 108 + 18 · 4 – 3 · 4 ² = 132 ед.

3. Так как ТР максимален, когда МР = 0, то количество использования переменного ресурса фирмой, при котором будет максимальный выпуск, определяется из уравнения 108 + 18 Х – 3 Х ² = 0. Решив уравнение, находим Х = 9,7.

Максимальный выпуск при затратах переменного ресурса Х = 9,7 определяется из выражения ТР_х = 108 · 9,7 + 9 · 9,7 ² – 9,7 ³ = 981 ед.

4. Функция МР_х = 108 + 18 Х – 3 Х ² достигает максимального значения, когда dMP_х / dX = 0. Отсюда следует, что предельный продукт достигает максимального значения при затратах переменного фактора Х, определяемых из следующего уравнения:

18– 6 Х = 0. Решив уравнение, определяем Х = 3 ед. переменного фактора. При затратах Х > 3 начинает действовать убывающая отдача и уменьшаться предельный продукт. При затратах переменного фактора Х в количестве 3 ед. величина ТР_х = 378 ед. продукции.

5. Предельный продукт и средний продукт переменного фактора равны между собой тогда, когда средний продукт достигает своего максимального значения. Функция АР_х = 108 + 9 Х – Х ² достигает максимального значения, когда dAP_х / dX = 0. Отсюда следует, что средний продукт достигает максимального значения при затратах переменного фактора Х, определяемых из следующего уравнения: 9 – 2 Х = 0. Решив уравнение, определяем Х = 4,5 ед. переменного фактора. При таких затратах переменного фактора МР_х = АР_х = 128,25 ед. продукции.

 

Задача 2. Производственная функция Q = L ^0,8 K ^0,2. Издержки производителя равны 30 д. ед. Цена труда – 4 д. ед., цена капитала –        5 д. ед.

Необходимо определить равновесный расход ресурсов.

 

Решение задачи

Расход ресурсов будет равновесным при соблюдении двух услов