Парное сочетание (паросочетание) двудольных графов

 

Двудольным графом называется граф, у которого множество вершин можно разбить на два непересекающихся подмножества так, что ребра соединяют вершины из разных подмножеств.

Паросочетанием в двудольном графе называется любое множество попарно несмежных ребер (у них нет общих вершин).

 

Паросочетание называется максимальным для данного графа, если оно содержит наибольшее число ребер для всех возможных паросочетаний.

 

Паросочетание называется совершенным (из множества v в множество w), если число ребер в нем совпадает с числом вершин в подмножестве c.

 

Для любого подмножества S через ф(S) обозначим те вершины из множества w, которые соединяются ребрами с вершинами подмножества S.

 

Теорема Холла (без доказательства)

Для того, чтобы в двудольном графе существовало совершенное паросочетание, необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества S из множества V выполнялось условие [S] <= [ф(S)].

 

Венгерский алгоритм нахождения максимального паросочетания.

Дан двудольный граф. Все определения для графа справедливы.

Полным паросочетанием называется паросочетание (ПС), к которому нельзя добавить ни одного ребра графа, не нарушив условие несмежности ребер.

 

1. Перебираем все ребра в любом порядке. Все несмежные ребра включаем в паросочетание.

Ребра, входящие в полное паросочетание, будем называть толстыми. Остальные ребра считаем тонкими.

Вершины, которые соединены толстыми ребрами – насыщенные. Остальные – ненасыщенные.

Чередующейся цепью называется цепь, в которой тонкие и толстые ребра чередуются.

Тонкой чередующейся цепью называется чередующаяся цепь, соединяющая 2 ненасыщенные вершины (В ней тонких ребер на 1 больше, чем толстых).

1. Находим полное паросочетание.

2. Для этого паросочетания ищем тонкую цепь. Если ее нет, то данное паросочетание максимально и алгоритм закончен.

3. Если же она существует, то проводим перекраску ребер.

4. Толстые ребра тонкой цепи делаем тонкими, а тонкие – толстыми.

5. Получаем новое паросочетание, т.е. из исходного паросочетания удаляем те толстые ребра, которые входили в тонкую цепь и вместо них добавляем тонкие ребра из этой цепи.

6. Переходим на шаг 2.

Количество ребер в новом паросочетании увеличится на 1.

Максимальное паросочетание (МПС) найдено.

Совершенное ПС – МПС обязательно.

 

Матрицы смежности двудольных графов.

A(M,N)

[V] = M

[W] = N

Aij = 1, если есть ребро ViWj

Если его нет, то Aij = 0.

 

 

Чтобы найти полное паросочетание, нужно найти единицы, которые находятся в разных строках и разных столбцах.

Алгоритм – тот же самый.

При поисках мы можем двигаться по строкам и на углы в 90 градусов.

 

Алгоритм оптимального назначения

Есть m работников и m работ.

Каждый из работников выполняет каждую работу с определенной эффективностью.

Требуется распределить работы таким образом, чтобы каждый работник выполнял только одну работу, выполнялись все работы и суммарная эффективность была максимальна среди всех возможных таких распределений.

A = (aij) – матрица эффективности.

А(М*М)

 

 

А =

В терминах матрицы эффективности задача состоит в нахождении М элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах, чтобы их сумма была максимальной.

Дан двудольный полный граф с V = M, W = M

Даны длины ребер.

Задача состоит в нахождении совершенного паросочетания, сумма длин всех ребер которого максимальна.

 

Алгоритм.

 

1. Всем вершинам Vi даем метку аi = max по всем элементам нужной строки.

По всем j присваиваем метку 0.

2. Ищем ребра, для которых выполняется условие

Ai + Bj = Aij

Строим граф, в который входит все вершины исходного графа и найденные ребра.

3. В построенном графе ищем максимальное паросочетание. Если найденное паросочетание совершенно, то алгоритм закончен. Если нет, то переходим дальше.

4. Из теоремы Холла существует подмножество S из V, [S] > ф(S).

Ищем это подмножество.

Для каждой вершины Vi из S метку Ai уменьшают на 1, а для wj из ф(s) метку Vj увеличивают на 1.

5. Переходим на начало шага 2 с новыми значениями меток.

Лекция 15

Потоки в транспортных сетях

Введем обозначения

V – вершина орграфа

M^-(V) – множество ребер, для которых вершина V является концом.

M⁺(V) – множество ребер, для которых вершина V является началом.

 

Транспортной сетью называется связный орграф без петель, для которого выполнены следующие условия

 

1. Существует только одна вершина A, для которой M^-(А) – пустое множество. А – исток.

2. Имеется только одна вершина B, для которой M⁺(B) – пустое множество. В – сток.

3. Каждому ребру графа поставлено в соответствие целое неотрицательное число, называемое пропускной способностью данного ребра.

 

2(1) 3(1) 1(1)

6(0)

5(5)

 

1(1) 4(1) 2(1)

 

Потоком в транспортной сети (ТС) называется целочисленная функция, определенная на любых ребрах ТС и удовлетворяющая следующим свойствам

1. ф(X) <= C(X), где С(X) – пропускная способность ребра.

На всех ребрах значение функции потока не превосходит значения пропускной способности ребра. Значение функции потока ставим рядом со значением пропускной способности ребра в скобках.

2. Для каждой внутренней вершины V транспортной сети, не равной A или B выполняется следующее условие: суммарная функция потока по ребрам, входящим в вершину, равна суммарной функции потока по ребрам, исходящим из вершины (сколько втекает, столько и вытекает).

 

Величиной потока [ф] = val(ф) называется число, равное сумме функций потока по всем ребрам, выходящим из вершины А или сумма всех функций потока по всем ребрам, входящим в вершину В.

 

Выбор потока.

1. Берем путь из А в В.

2. Выбираем минимальную пропускную способность и ставим ее в соответствие каждому ребру из пути.

3. Просматриваем все остальные ребра. Если они не пересекаются, то проделываем для них то же самое, начиная с п1. Всем остальным ребрам ставим в соответствие значение функции потока, равное 0.

 

Поток в транспортной сети называется максимальным, если выполнено условие

Val(ф) £ Val(Ф*)

Ф* = maximum

 

Любое подмножество S транспортных вершин, содержащих исток и не содержащих сток, определяет разрез, отделяющий исток от стока (разрез).

Разрез состоит из всех вершит тех ребер, которые имеют свои начала в вершинах множества S, а концы – из дополнения к множеству S.

Пропускной способностью разреза K называется сумма значений пропускных способностей всех ребер этого разреза.

Разрез K** называется минимальным, если для любого другого разреза выполнено условие C(K**) £ C(K).

 

Теорема Форда – Фалькерсона (без доказательства).

В транспортной сети величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза.

Алгоритм нахождения максимального потока (Алгоритм Форда – Фалькерсона).

1. Берем любой поток в транспортной сети.

2. Строим граф перестроек g* по следующему правилу:

В него входят все вершины исходного графа g.

Те ребра, на которых значение функции потока в исходном графе g были равны 0, входят в новый граф без изменений со своими пропускными способностями.

Все ребра, на которых ф(x) > 0 в новом графе g* заменяются двумя ребрами x* и x**. Ребро x* направлено в ту же сторону, что и x, и пропускная способность c(x*) = c(x) – ф(x).

Ребро x** направлено в противоположную сторону ребру x, и пропускная способность c(x**) = ф(x).

Ребра с нулевой пропускной способностью можно не рисовать.

3. В графе g* ищем путь из А в В по ребрам с ненулевой пропускной способностью. Если его нет, то имеющийся поток является максимальным и алгоритм закончен. Иначе переходим к пункту 4.

(Этот путь называется увеличенной цепью. D = min(c(x)) – минимальное значение пропускной способности этой цепи).

4. Меняем значение функции потока в графе g для тех ребер, которые соответствуют найденному пути в графе перестроек по следующему правилу:

Если направление ребра x в графе g совпадает с направлением пути, то новое ф(x) = ф(x) + D

Если же направление противоположно направлению пути, то ф(x) = ф(x) - D

5. Переходим на шаг 2 с новым потоком.