Математическое моделирование отражения света

Математическая модель – это математическое представление реальности [1], в данном случае математическое описание физического процесса отражения от различных поверхностей.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Для построения математической модели задачи, поставленной в курсовом проекте, сначала необходимо рассмотреть типы освещения и отражения света от поверхностей.

При расчете освещенности граней применяют следующие типы освещения и отражения света от поверхностей:

- зеркальное;

- диффузное;

- рассеянное.

Зеркальное отражение света. Угол между нормалью и падающим лучом (Θ)равен углу между нормалью и отраженным лучом. Падающий луч, отраженный и нормаль располагаются в одной плоскости (рисунок 1).

 

источник света

поверхность

наблюдатель

q

нормаль

отраженный луч

q

a

Рисунок 1 – Зеркальное отражение света

 

К числу простейших, но достаточно часто используемых, математических моделей, описывающих явление зеркального отражения света, относится эмпирическая модель закона распределения Фонга, согласно которой интенсивность зеркально отраженного излучения пропорциональна cos^p a,
где a – угол отклонения от линии идеально отраженного луча. Показатель р находится в диапазоне от 1 до 200 и зависит от качества полировки. Запишем это таким образом:

 

I_s =IK_scos^p a,                                        (1)

 

где I – интенсивность излучения источника, K_s – коэффициент пропорциональности, который изменяется от 0 до 1.

Диффузное отражение. Этот вид отражения присущ матовым поверхностям. Матовой можно считать такую поверхность, размер шероховатостей которой уже настолько велик, что падающий луч рассеивается равномерно во все стороны. Такой тип отражения характерен, например, для гипса, песка бумаги. Диффузное отражение описывается законом Ламберта, согласно которому интенсивность отраженного света пропорциональна косинусу угла между направлением на точечный источник света и нормалью к поверхности.

 

I_d =I K_d cos q,                                                   (2)

 

где I – интенсивность источника света; K_d – коэффициент, который учитывает свойства материала поверхности; q – угол падения идеального луча света. Значение K_d находится в диапазоне от 0 до 1. Интенсивность отраженного света не зависит от расположения наблюдателя.

Матовая поверхность имеет свой цвет. Наблюдаемый цвет матовой поверхности определяется комбинацией собственного цвета поверхности и цвета излучения источника света.

При создании реалистичных изображений следует учитывать то, что в природе, вероятно, не существует идеально зеркальных или полностью матовых поверхностей.

При изображении объектов средствами компьютерной графики обычно моделируют сочетание зеркального и диффузного рассеивания в пропорции, характерной для конкретного материала. В этом случае модель отражения записывают в виде суммы диффузной и зеркальной компонент:

 

I _отр=I (K_d cos q+K_scos^pa),                                     (3)

 

где константы K_d, K_S – определяют отражательные свойства материала.

Согласно этой формуле интенсивность отраженного света равна нулю для некоторых углов Θ и a. Однако в реальных сценах обычно нет полностью затемненных объектов, следует учитывать фоновую подсветку, освещение рассеянным светом, отраженным от других объектов. В таком случае интенсивность может быть эмпирически выражена следующей формулой:

 

I _отр= I _а K _а+I (K_d cos q+K_scos^p a),                            (4)

 

где I_а – интенсивность рассеянного света; К_а – константа, определяющая рассеивающие свойства поверхности, изменяется от 0 до 1.

Можно еще усовершенствовать модель отражения, если учесть то, что энергия от точечного источника света уменьшается пропорционально квадрату расстояния. Использование такого правила вызывает сложности, поэтому на практике часто реализуют модель, выражаемую эмпирической формулой:

 

I _отр= I _а K _а+I (K_d cos q+K_scos^pa)/(R+k),                         (5)

 

где R – расстояние от центра проекции до поверхности; k – константа, подбираемая эмпирически.

Расчет наиболее просто выполнить в градациях серого цвета (например, для белого источника света и серых объектов). Тогда интенсивность отраженного света соответствует яркости. Сложнее обстоит дело с цветными источниками света, освещающими цветные поверхности. Например, для модели RGB составляются три формулы расчета интенсивности отраженного света для соответствующих цветовых компонент. Коэффициенты К_а и K_d различны для цветовых компонент. Т.к. цвет отраженного зеркального луча равен цвету источника, то коэффициент K_s будет одинаковым для всех компонент цветовой модели. Цвет источника света выражается значениями интенсивности I для соответствующих цветовых компонент.

Для создания иллюзии гладкой криволинейной поверхности, описанной в виде многогранников или полигональной сетки с плоскими гранями,применяют метод Гуро и метод Фонга.

Метод Гуро основан на идее закрашивания каждой плоской грани плавно изменяющимися оттенками, вычисляемыми путем интерполяции цветов примыкающих граней. Закрашивание граней этим методом осуществляется в четыре этапа:

1) вычисляются нормали к каждой грани;

2) определяются нормали в вершинах усреднением нормалей примыкающих граней (рисунок 2);

3) зная численные значения нормалей в вершинах, вычисляются значения интенсивностей в вершинах согласно выбранной модели отражения света;

4) полигоны граней закрашиваются цветом, соответствующим линейной. интерполяции значений интенсивности в вершинах.

Рисунок 2 – Нормаль в вершине

 

Вектор нормали в вершине (а) равен

 

                                         (6)

 

где – векторы нормалей к граням.

Определение интерполированных значений интенсивности отраженного света в каждой точке грани (и, следовательно, цвет каждого пиксела) удобно выполнять во время цикла заполнения полигона. Рассмотрим заполнение контура грани горизонталями в экранных координатах (рисунок 3).

 

Рисунок 3 – Заполнение контура грани

 

Интерполированная интенсивность I в точке (X,Y) определяется исходя из пропорции

Отсюда .

Значения интенсивностей I₁ и I₂ на концах горизонтального отрезка представляют собой интерполяцию интенсивности в вершинах:

 

                         (7)

или

                          (8)

Метод Фонга аналогичен методу Гуро, но при использовании метода Фонга для определения цвета в каждой точке интерполируются не интенсивности отраженного света, а векторы нормалей.

1) Определяются нормали к граням.

2) По нормалям к граням определяются нормали в вершинах. В каждой точке закрашиваемой грани определяется интерполированный вектор нормали.

3) По направлению векторов нормали определяется цвет точек грани в соот­ветствии с выбранной моделью отражения света.

Рассмотрим, как можно получить вектор нормали в каждой точке грани. Для интерполяции будем оперировать векторами N '_a, N '_b и N '_c, исходящими из центра координат плоскости проецирования и параллельными соответствующим нормалям N_a, N_b и N_c в вершинах а, в и с (рисунок 6).

Рисунок 6 – Интерполяция векторов нормалей

 

Сначала найдем  и

 

(9)

(10)

 

где X_Na, Y_Na, Z_Na, X_Nb, Y_Nb, Z_Nb,  X_Nc, Y_Nc, Z_Nc – координаты векторов  и Теперь найдем координаты вектора N ':

(11)

 

Вектор N ' параллелен вектору N для нормали в точке (X, Y), поэтому его можно использовать для расчета отражения света так же, как и вектор нормали N.

Метод Фонга сложнее, чем метод Гуро. Для каждой точки (пиксела) поверхности необходимо выполнять намного больше вычислительных операций. Тем не менее он дает значительно лучшие результаты, в особенности при имитации зеркальных поверхностей.