Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Докажем, что .
Противоположные стороны параллелограмма равны , поэтому равенство, которое нужно доказать, можно записать в виде:
.

Самый простой способ – воспользоваться теоремой косинусов.
Из треугольника ABC:

Из треугольника BDC:

Сложим полученные равенства:

AB=CD, BC=AD (по свойству параллелограмма), тогда

(как односторонние углы при параллельных сторонах AB и CD), поэтому .

, что и требовалось доказать.

Теорема косинусов помогает найти решение многих задач по планиметрии из вариантов ЕГЭ по математике.

 

4. Площадь выпуклого четырехугольника

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Дан четырехугольник ABCD с диагоналями AC и BC, .
Докажем, что его площадь .
Напомним, что в качестве угла между прямыми мы берем острый угол.

Четырехугольник ABCD разобьем на четыре треугольника (AOD,COD,BOC,BOA).
Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними. Обозначим для удобства равные вертикальные углы .
Тогда площади треугольников

Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями

Так как

Полезное следствие.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Диагонали ромба перпендикулярны, угол между ними равен , .

Для ромба ABCD:

 

5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Пусть точка М – середина диагонали АС, N – середина диагонали ВD, Р и Q – середины боковых сторон АВ и СD.
Тогда РМ – средняя линия треугольника АВС, РМ параллельна ВС. Это значит, что точка М лежит на средней линии РQ трапеции, поскольку через точку Р можно провести на плоскости единственную прямую, параллельную прямой ВС. При этом .
Аналогично, точка N – середина диагонали BD – также лежит на РQ, то есть на средней линии трапеции, и . Поскольку , .

Задача ЕГЭ по теме: «Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований».

Основания трапеции равны 10 и 6. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем PQ – среднюю линию трапеции, PQ = 8. Как мы доказали, отрезок MN, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии.
PM – средняя линия треугольника ABC, значит, PM = 3.
NQ – средняя линия треугольника BCD, значит, NQ = 3.

Тогда MN = PQ − PM − NQ = 8 − 3 − 3 = 2
Ответ: 2.

 

 

6. Свойства равнобедренной трапеции

Свойства равнобедренной трапеции