Задача о площади криволинейной трапеции

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

        

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция , причем   на этом отрезке. Построим график функции на   и концы графика обозначим точками A и B (см. рис. 1).

             

Рис.1

Определение 1: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой , прямыми   и частью оси  (  - основание трапеции).

Ставится задача: найти площадь криволинейной трапеции . Для приближенного решения поставленной задачи разобьём отрезок  на  частей точками ; где , . В результате криволинейная трапеция разобьётся на узкие полоски, которые в общем случае также являются криволинейными трапециями. Но чем меньше ширина полоски, тем меньше эта трапеция отличается от прямоугольника.

Рассмотрим произвольный отрезок   длины , где . На каждом отрезке выберем произвольную точку , то есть , и подсчитаем значение функции в этой точке . Заменим ю криволинейную трапецию на прямоугольник с тем же основанием и высотой, равной . Сделав такую замену на всех  отрезках, получим некоторую ступенчатую фигуру, площадь которой  может быть подсчитана по формуле:

Полученную площадь ступенчатой фигуры можно принять за приближенное значение искомой площади криволинейной трапеции

Увеличивая число точек разбиения отрезка и одновременно уменьшая длины всех элементарных отрезков, в пределе получим площадь криволинейной трапеции

,

где  при .

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Рассматривается расширение понятия определенного интеграла по двум направлениям:

1) пределы интегрирования уходят в бесконечность;

2) интегрирование на конечном отрезке функций, имеющих разрыв 2-го рода.

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

 

Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений

Рис. 11.

 

    Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела S известна как непрерывная функция S = S (x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х _i разбиения отрезка [ a, b ] (см. рис. 11). Так как на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [ x_{i -1}, x_i ] функция S (x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

    Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_i D x_i и m_i D x_i, при этом D x_i = x_i - x_{i -1}.

    Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно  и .

    При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

    Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию S (x), что весьма проблематично для сложных тел.

Пример. Найти объем шара радиуса R.

Рис. 12.

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса . В зависимости от текущей координаты  этот радиус выражается по формуле  (см. рис.12).

Тогда функция площадей сечений имеет вид: S (x) = .

Получаем объем шара:

.

 

Объем тел вращения

    Рассмотрим кривую, заданную уравнением . Предположим, что функция  непрерывна на отрезке . Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основанием  вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

Рис. 13.

Так как каждое сечение тела плоскостью  представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть найден по полученной выше формуле:

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

        

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция , причем   на этом отрезке. Построим график функции на   и концы графика обозначим точками A и B (см. рис. 1).

             

Рис.1

Определение 1: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой , прямыми   и частью оси  (  - основание трапеции).

Ставится задача: найти площадь криволинейной трапеции . Для приближенного решения поставленной задачи разобьём отрезок  на  частей точками ; где , . В результате криволинейная трапеция разобьётся на узкие полоски, которые в общем случае также являются криволинейными трапециями. Но чем меньше ширина полоски, тем меньше эта трапеция отличается от прямоугольника.

Рассмотрим произвольный отрезок   длины , где . На каждом отрезке выберем произвольную точку , то есть , и подсчитаем значение функции в этой точке . Заменим ю криволинейную трапецию на прямоугольник с тем же основанием и высотой, равной . Сделав такую замену на всех  отрезках, получим некоторую ступенчатую фигуру, площадь которой  может быть подсчитана по формуле:

Полученную площадь ступенчатой фигуры можно принять за приближенное значение искомой площади криволинейной трапеции

Увеличивая число точек разбиения отрезка и одновременно уменьшая длины всех элементарных отрезков, в пределе получим площадь криволинейной трапеции

,

где  при .