Дискретная случайная величина. Закон распределения. Функция распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины   называется всякое соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения, который представляется в виде таблицы:

			…
			…

где в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины , а во второй – соответствующие им вероятности , удовлетворяющие равенству

.

Закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, т.е. в виде ломаной, соединяющей точки с координатами  для .

Функцией распределения случайной величины   называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина  в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. .                                                (16)

Пример

Составить функцию распределения ДСВ X, используя её ряд распределения и построить ее график.

 

x i	0	1	2	3
p i	0,14	0,41	0,36	0,09

 

Решение

если , то

если  то

если то или

если то  или  или

если , то или  или  или

Рис. 2.

На рисунке 2 представлен график функции распределения.

Важнейшими числовыми характеристиками случайных величин являются: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием или средним значением дискретнойслучайной величины  называется число, равное сумме произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

                                                           .                                                    (17)

Если производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна , то математическое ожидание числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятности появления события в каждом испытании:

                                                         (18)

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

                                    .                              (19)

Для вычисления дисперсии на практике бывает удобнее использовать другую формулу, которую можно получить из формулы (19) с помощью простых преобразований:

                                    .                              (20)

Если производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна , то дисперсия числа появлений события  равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

                                                    (21)

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

                                                             .                                                      (22)

Пример

В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины, равной размеру выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение

Случайная величина Х – размер выигрыша при пяти покупках.

Случайная величина Х может принимать шесть значений:

.

Будем считать покупку единицы товара независимым испытанием, в каждом из которых вероятность получения выигрыша постоянна и равна p = 0,1. В этом случае для расчета вероятностей  возможных значений случайной величины Х можно воспользоваться формулой Бернулли (12).

Значения параметров по условию задачи:   m – число призовых товаров среди пяти купленных.

 

 

Закон распределения дискретной случайной величины  зададим рядом распределения, который представим в виде таблицы:

		0	1000	2000	3000	4000	5000
		0,59049	0,32805	0,0729	0,0081	0,00045	0,00001

 

Математическое ожидание случайной величины  вычислим по формуле (17)

Дисперсию случайной величины   вычислим по формуле (20)

Ответ: MX =500; DX =450000.