Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Cоставляется квадратная матрица Гурвица размерностью _nxn. Первая строка матрицы Гурвица составляется из коэффициентов уравнения, начиная со второго, через один. Вторая строка составляется из коэффициентов уравнения, начиная с первого, через один. Элементы каждой последующей строки формируются из коэффициентов, имеющих индекс на единицу ниже индекса элемента в соответствующем столбце вышележащей строки.

Определение. Чтобы линейная система уравнений была устойчива, необходимо и достаточно положительности диагональных миноров матрицы Гурвица при условии >0.

Составим миноры матрицы Гурвица для собственного оператора системы.

Вычислим определители с помощью Octave.

>> d4=[0.837216 1.57045 0 0; 0.0696023 2.75557 1 0; 0 0.837216 1.57045 0; 0 0.0696023 2.75557 1]

d4 =

 

0.83722 1.57045 0.00000 0.00000

0.06960 2.75557 1.00000 0.00000

0.00000 0.83722 1.57045 0.00000

0.00000 0.06960 2.75557 1.0000

 

>> d3=[0.837216 1.57045 0; 0.0696023 2.75557 1; 0 0.837216 1.57045]

d3 =

 

0.83722 1.57045 0.00000

0.06960 2.75557 1.00000

0.00000 0.83722 1.57045

 

>> d2=[0.837216 1.57045; 0.0696023 2.75557]

d2 =

 

0.837216 1.570450

0.069602 2.755570

 

>> det(d4)

ans = 2.7504

>> det(d3)

ans = 2.7504

>> det(d2)

ans = 2.1977

      

Т.к. все определители матрицы Гурвица больше нуля, то система устойчива.

Запас устойчивости смотрим по минору  ; он больше нуля=> запас устойчивости есть, но т.к. величина маленькая, то и запас устойчивости системы будет большим.

 

Частотный критерий Михайлова

   Для устойчивости линейной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начинаясь на действительной, положительной полуоси при изменении w от 0 до бесконечности, последовательно, в положительном направлении (против часовой стрелки) обходил n квадрантов, где n- порядок характеристического уравнения.

Собственный оператор системы

Построим годограф Михайлова с помощью Octave:

>> figure(1)

>> a0=1;

>> a1=1.57045;

>> a2=2.75557;

>> a3=0.837216;

>> a4=0.0696023;

>> Re=[];

>> Im=[];

>> for w=0.01:0.01:100,

Njw=a4*((w*j)^4)+a3*((w*j)^3)+a2*((w*j)^2)+a1*(w*j)+(a0);

Re = real(Njw);

Im = imag(Njw);

plot(Re, Im, 'k.')

xlabel('Re(W)')

ylabel('Im(W)')

hold on

grid on

 axis([-100 100 -100 100])

end

Рисунок 3- Годограф Михайлова для собственного оператора объекта управления(для разных масштабов)

 

 

Годограф Михайлова поворачивается на 180 градусов(w≠∞) => система   устойчива.

Для критерия Михайлова запасом устойчивости является удаленность годографа D (jω) от начала координат, годограф проходит довольно далеко от начала координат, т.е. запас устойчивости есть, и весьма большой.

Определение устойчивости объекта управления разными способами дало одинаковый результат (система устойчива с большим запасом устойчивости)

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Умение разделять САУ на основные функциональные элементы и составлять функциональные и структурные схемы способствует ясности представлений о физических процессах, происходящих в системе, и имеет большое значение для дальнейшего исследования и расчета систем. Целью курсовой работы по дисциплине «Теория управления» является закрепление теоретических знаний и овладение навыками анализа и синтеза систем автоматического управления объектами на примере металлорежущих станков и промышленных роботов. При выполнении курсовой работы приобретается опыт разработки и расчета САУ производственными процессами и отдельными объектами в машиностроении.

В курсовой работе были решены поставленные задачи:

1. Исходная структурная схема приведена к типовой одноконтурной системе автоматического управления.

2. Линейное дифференциальное уравнение объекта, определенное по передаточной функции  управления было приведено к стандартной форме записи;

3. Получено  описание объекта управления через нули полюса и коэффициенты усиления системы;

4. Получено описание объекта управления в форме матрицы пространства состояния.

5. Найдена передаточную функцию системы по задающему и возмущающему воздействию. Записано уравнение динамики АСУ.

6. Объект управления исследован на устойчивость алгебраическими и частотными методами, был определен запас устойчивости.

7. Выбран закон управления и произведен расчет настроечных параметров регулятора по заданным параметрам качества управления.

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теория автоматического управления. Методические указания и варианты заданий для практических занятий. [Электронный ресурс] /Сост. Г.Г. Гоппе, З.А. Федорова. - Иркутск: Изд-во НИ ИрГТУ, 2012.- 42 с.- Электрон. опт. диск (CD-ROM).

2. Теория автоматического управления. Методические указания для самостоятельной работы студентов. [Электронный ресурс] /Сост. Г.Г. Гоппе, З.А. Федорова. - Иркутск: Изд-во НИ ИрГТУ, 2012.- 71 с.- Электрон. опт. диск (CD-ROM).

3. Гоппе Г.Г., Федорова З.А. Теория автоматического управления. Методическое пособие и варианты заданий для курсового проектирования студентам специальностей: 1804 – Электропривод и автоматика промышленных и технологических комплексов; 1807 – Электрический транспорт– Иркутск, Изд-во ИрГТУ, 2003 г.- 26 c.