Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда.

1. Медиана — величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула:

где: где x ₀ — низшая граница интервала, в котором находится медиана;

             f_{M е -1} —накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;

             f_Me — частота в медианном интервале;

             i — величина интервала;

             k — число групп.

1. Мода распределения - величина признака, которая встречается в изучаемом ряду, в совокупности, чаще всего. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Для расчета моды используют формулу:

где:       x ₀ - нижняя граница модального интервала;

             f_Mo - частота в модальном интервале;

             f_{Mo -1} - частота в предыдущем интервале;

             f_{Mo +1} - частота в следующем интервале за модальным;

             i - величина интервала.

1. Средняя арифметическая вариационного ряда – рассчитывается как средневзвешенная по частоте середины интервалов.

Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

1. Размах или амплитуда вариации — абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности значений. Вычисляется по формуле:

1. Среднее линейное отклонение вычисляется как взвешенное по частоте отклонение по модулю середин интервалов от средней арифметической величины, то есть по формуле:

 

Для ранжированного ряда:

Для интервального ряда:

1. Среднее квадратическое отклонение:

Для ранжированного ряда:

Для интервального ряда:

Среднее квадратическое отклонение по величине в реальных совокупностях всегда больше среднего модуля отклонений. Соотношение σ / а зависит от наличия в совокупностях резких, выделяющихся отклонений и может служить индикатором "засоренности" совокупности неоднородными с основной массой элементами: чем это соотношение больше, тем сильнее подобная "засоренность". Для нормального закона распределения σ / а = 1,2.

 

1. Дисперсия – квадрат среднего квадратического отклонения.

Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Асимметрия и эксцесс являются важнейшими характеристиками формы распределения.

Асимметрия

Ряды распределения могут иметь один и тот же центр группирования (показатели центра распределения) и одинаковые пределы варьирования признака (показатели вариации), однако при этом отличаться характером распределения единиц совокупности вокруг центра.

Если большая часть совокупности расположена левее центра имеет место левосторонняя асимметрия, если правее – правосторонняя.

Для оценки асимметрии применяют моментный и структурный коэффициенты асимметрии.

1. Моментный коэффициент определяют по формуле:

где М₃ – центральный момент третьего порядка.

На направление асимметрии указывает знак коэффициента:

Если As <0, то это левосторонняя асимметрия

Если As >0, то это правосторонняя асимметрия

1. Структурный коэффициент асимметрии – характеризует асимметричность только в центральной части распределения. Для расчета данного показателя наиболее часто используют формулу К. Пирсона:

Эксцесс

Эксцесс – это отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины нормального распределения. Эксцесс рассматривается только для симметричных и умеренно асимметричных распределений.

Эксцесс оценивается с помощью показателя:

Где М₄ – центральный момент четвертого порядка.

Формула эксцесса основана на отклонении от нормального распределения (в нормальном распределении отношение M⁴ / σ⁴ = 3

Если Ех>0 то распределение более островершинное чем нормальное

Если Ех<0 то распределение более плосковершинное чем нормальное.

 

Контрольные вопросы

1. Назовите основные виды средних величин.

2. В чем особенности расчета средней арифметической?

3. Когда используют среднюю хронологическую? Как ее рассчитать?

4. Когда используют среднюю гармоническую? Как ее рассчитать?

5. Когда используют среднюю геометрическую? Как ее рассчитать?

6. В чем особенности расчета структурных средних: моды и медианы?

7. Что характеризуют показатели вариации?