Определение потерь при внезапном расширении трубопровода.

При внезапном расширении трубы (рис. 8.3) поток расширяется не сразу. Жидкость выходит из меньшего сечения S₁ (обозначено 3 - 3) в виде расширяющейся струи. Эта струя отделена почти конической поверхностью раздела от жидкости, находящейся вокруг ее. 

Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется и на некотором расстоянии    l от начала расширения заполняет все сечение S₂ (обозначено 2-2).

В пространстве между струёй и стенками жидкость вовлекается в вихревое движение, затухающее по мере приближения к стенкам. Жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, а жидкость из струи попадает в вихревую зону. Из-за отрыва потока и вихреобразования при расширении теряется энергия.

Давление, скорость и площадь потока:

в сечении 1 – 1: Р₁, V₁, S₁, в сечении 2 – 2: Р₂, V₂, S₂.

Допущения при выводе формулы для коэффициента сопротивления:

1) Гидростатическое давление распределяется в рассматриваемых сечениях по закону гидростатики: ;

2) Распределение скоростей в сечениях соответствует турбулентному режиму движения α₁ = α₂ = 1;

3) Трение жидкости о стенки на участке 1-2 не учитывается из-за небольшой длины участка;

Рис. 3. Внезапное расширение потока

4) Движение жидкости является установившимся, напор истечения постоянен,  средние скорости в сечениях S₁ и S₂ имеют определенное значение и не меняются;

Уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 2 - 2 с учетом потерь напора на внезапное расширение                       .

Выразим потери на расширение

Используем теорему механики: " изменение количества движения (потока) за единицу времени равно импульсу сил, действующих на поток ".

Выразим приращение количества движения потока через объемный расход и скорость

=	=
Изменение количества движения потока	масса*ΔV		импульс

                                                             

где – изменение количества движения массы элементарной струйки   ρQδt, где Qδt - объем  жидкости "1-1-2-2",   F* δt -  проекция на ось потока импульса внешних сил, действующих на этот объем.

 За время δ t объем "3-3-2-2", состоящий из элементарных струек, переместится в положение: 3'-3' -2'-2'. Произойдёт изменение количества движения массы жидкости, заключённой в объёме "1-1-2-2". 

Жидкость в застойной зоне не участвует в главном движении, поэтому изменение количества движения в объеме "1-1-2-2" за время δt будет равно разности количества движения в объёмах: 3-3’-3’-3 и 2-2' -2'-2. Внутренняя часть объёма при вычитании сократится.

Выделим в потоке струйку с сечениями δ s₁, δ s₂, обозначим скорости u₁  и u₂ в этих сечениях.  Изменение количества движения δq массы элементарной струйки

(1а)

где

В скобках (1а) изменение массы струйки  в сечениях δs₁ и δs₂ за время δt.

Вынесем δt в (1а) за скобки, перейдя к дифференциалам, получим

 Проинтегрировав по площади выражение в скобках, получаем  

.

Эти интегралы можно выразить через средние скорости V₁ и V₂ в этих сечениях

,    

В результате, получим изменение количества движения потока, протекающего через живые сечения S₁ и S₂ в единицу времени.

 (2)

Внешние силы, действующие на рассматриваемый объем:

 - сила тяжести G = ρ S₂ l, где l – длина рассматриваемого объёма 1-1-2-2;

- силы давления жидкости на поверхность сечения 1-1 - S₁, имея ввиду, что давление Р₁ действует по всей площади 1-1 - S₁, так как на кольцевую площадь "3-1 и 3-1" действует реакция стенки трубы, а на поверхность сечения 2-2 - S₂ действует давление Р₂.

Рис.3а Определение силы давления жидкости на выделенный объем.

 

Так как давления в сечениях действуют по гидростатическому закону, для определения сил на плоские стенки надо умножить давления в центре тяжести площадей S₁ = S₂ на их величину. Для проекции импульса на ось получим

где

Приращение количества движения будет равно импульсу

/ ρgS₂ (3)

Используя  уравнение неразрывности, выразим произведение V₁*V₂

и, поделив (3) на ρgS₂, получим

                          .   (4)

Подставляя из (4) выражение   в выражение (1) для ранее определенных потерь на расширение

(1)

получим

Потеря напора при внезапном расширении равна разности скоростных напоров в сечениях  для турбулентного режима движения при α₁=α₂.

Эту формулу  называют формулой  Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г. Потери, определённые по этой формуле, подтверждаются экспериментально.

Рис. 4. Внезапное расширение

 

Коэффициент сопротивления можно определять относительно скорости в узком и в широком сечении, зависит от того, к какому скоростному напору приводим потери и этот коэффициент.

Уравнение неразрывности, выражаем скорость V₂ через скорость V₁

Потери и коэффициент потерь при внезапном расширении, относительно скорости в узком сечении V₁

Потери и коэффициент потерь относительно скорости V₂ в широком сечении

,

где n=(D/d)².