Вращательное движение твёрдого тела

Кинематика.

Основной задачей механики является определение состояния изучаемой системы (материальная точка, совокупность материальных точек, твердое тело) в любой момент времени, если известно состояние этой системы в начальный момент.

Описать движение точки — значит указать еѐ положение в любой момент времени. При своѐм движении она проходит непрерывную последовательность точек системы отсчѐта, называемую траекторией движения.

Положение материальной точки М в пространстве (рис. 1.1) задают радиус-вектором  или координатами , которые связаны выражением

                                      .

Здесь  - единичные векторы координатных осей.

Путь — расстояние, которое проходит точка при своѐм движении вдоль траектории, это скалярная величина. Путь S и перемещение не всегда совпадают даже при прямолинейном движении.

Если движение прямолинейное и однонаправленное, то очевидно, что численное значение вектора перемещения равно пройденному пути

Скорость определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени. Средней скоростью за промежуток времени Δt называют вектор . Вектор средней скорости совпадает по направлению с вектором перемещения.

 

Скорость  точки определяется по формуле

                                           ,  

Скоростью точки называется векторная величина , равная первой производной по времени от радиус-вектора точки.

Вектор скорости, как и любой вектор, можно выразить через его компоненты , , :

Модуль скорости:

Свяжем компоненты скорости с компонентами радиус-вектора

, производная:

,

сравнивая выражения для , получим:

т.е. проекции вектора скорости на координатные оси равны производным по времени соответствующих координат движущейся частицы.

Если при движении точки направление еѐ скорости неизменно, то движение будет прямолинейным.

Если направление скорости изменяется, то движение будет криволинейным. Если величина скорости неизменна, то движение является равномерным. Если величина скорости изменяется, то движение будет переменным.

Ускорение  точки определяется по формуле

.

 

Ускорением точки называется векторная величина , равная первой производной по времени от скорости точки или, что то же самое, второй производной по времени от радиус-вектора этой точки.

Легко показать (читатель сам может это проверить), что

,

,

.

 

Для прямолинейного равноускоренного движения координата и скорость точки изменяются по законам

                           , ,

где индексом «0» отмечены начальные значения величин в момент времени t=0.

 

При криволинейном движении ускорение можно разложить на нормальную  и тангенциальную  составляющие

                          , , .

Нормальное ускорение направлено по радиусу R к центру кривизны траектории, а тангенциальное - по касательной к траектории.

 

Вращательное движение точки характеризуется углом поворота j, угловой скоростью  и угловым ускорением , которые связаны формулами

                                      , .

При равноускоренном вращении точки угол поворота j и угловая скорость w определяются по формулам

                          , .

Индексом “0” отмечены начальные значения величин.

Линейные и угловые величины связаны соотношениями

            , , , .

Динамика.

 

Действие одного тела на другое характеризуется силой. На тело действует столько сил, со сколькими телами оно взаимодействует. Под действием силы тело изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, т. е. приобретает конечное по величине ускорение, которое тем меньше, чем больше масса тела. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние. Это свойство тел называется инертностью. В качестве количественной характеристики инертности используется величина, называемая массой тела. Мерой инертности тела является его масса.

 

I закон Ньютона. Тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, пока на него не действуют другие тела, или их действие скомпенсировано. Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инерцией. Инерция – это свойство тела сохранять свое состояние покоя или движения. Системы отсчета, в которых выполняется I закон Ньютона (закон инерции), называются инерциальными.

 

II закон Ньютона. Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе 

.

где– импульс (количество движения), векторная величина, равная для материальной точки произведению её массы на скорость  и направленная вдоль ;

 – масса – мера инертности тел.

Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.

Из этого определения вытекает вторая формулировка второго закона Ньютона: ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей силе, обратно пропорционально массе и направлено в сторону действующей силы

                                             .

 

Сила  в механике – мера механического действия на данное материальное тело других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (электромагнитным, полем тяготения). Сила – величина векторная и в каждый момент времени характеризуется численным значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Сложение сил производится по правилу параллелограмма.

 

В современной физике различают 4 вида взаимодействий:

1) гравитационное (обусловлено всемирным тяготением);

2) электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля);

3) сильное, или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре);

4) слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

III закон Ньютона. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению

                                           _.

Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта. Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света.

 

Силы. В основе всех механических явлений лежит два вида взаимодействия: гравитационное и электромагнитное. Гравитационное взаимодействие двух неподвижных материальных точек описывается законом всемирного тяготения

                                          ,

гдеg = 6,67×10^-11 м³/(кг×с²)- гравитационная постоянная; m ₁ и m ₂ - массы материальных точек; r ₁₂ - расстояние между точками; направлена сила по прямой, соединяющей точки.

На практике широко применяют следующие силы:

сила тяжести (гравитационная по своей природе, обусловлена притяжением Земли и направлена вертикально вниз)

                                            ,

сила упругости (электромагнитная по своей природе, контактная сила, направлена противоположно деформации)

                                           ,

сила трения (электромагнитная по своей природе) скольжения, контактная сила, направлена противоположно скорости

                                            ,

сила вязкого трения (при движении тела в жидкости или газе) зависит от скорости тела и направлена против скорости; при малых скоростях она пропорциональна скорости, а при больших - квадрату скорости:

                                 , .

 

Импульс. Произведение массы точки на ее скорость называют импульсом

                                             .

Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов точек

                                           .

Скорость изменения импульса системы точек равна сумме всех внешних действующих сил

                               , .

Изменение импульса системы точек равно импульсу всех внешних сил

                                        .

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется

                                    .

Система называется замкнутой, если на нее не действуют внешние тела.

Центром масс системы называется точка, радиус-вектор которой определяется выражение

                                          .

Теорема о движении центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, к которой приложены все действующие на систему силы и в которой сосредоточена вся масса системы

                                        .

На практике широко используют следующие следствия баланса импульса:

если действующие на систему силы скомпенсированы, то импульс системы сохраняется

                         , если ;

если проекция сил на ось х равна нулю, то проекция импульса системы на эту ось сохраняется

                       , если .

Работа и энергия. Элементарной работой силы  при перемещении  называется скалярное произведение силы на перемещение

                                   .

Работа силы при перемещении из точки 1 в 2 определяется интегралом

                                          .

Работа силы за единицу времени называется мощностью

                                    .

Кинетическая энергия точки и системы точек определяется по формулам

                              , .

Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил

                                          .

Среди сил в механике выделяют консервативные, работа которых не зависит от формы траектории (тяжести, упругости). Для консервативных сил вводится потенциальная энергия, убыль которой равна работе этих сил

                                 .

Потенциальная энергия для сил тяжести и упругости равна

,

где z – вертикальная координата, х – деформация пружины.

Проекция силы на ось х и потенциальная энергия связаны выражением

                                          .

Полной механической энергией называется сумма кинетической и потенциальной энергий системы

                                          .

Закон сохранения полной механической энергии: в замкнутой системе полная механическая энергия сохраняется при отсутствии сил трения

                       , если .

Изменение полной механической энергии незамкнутой системы равно работе внутренних диссипативных  и внешних  сил

                               .

 

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Тепловые явления

МКТ	термодинамика
изучает свойства макроскопических тел и процессы, происходящие в них, на основе представлений о том, что все тела состоят из большого числа частиц	изучает тепловые процессы, происходящие с макроскопическими телами (термодинамическими системами), не заглядывая вовнутрь вещества, а опираясь на общие законы.

В основе МКТ лежат 3 основных положения (утверждения):

№	утверждение	комментарии	доказательства
1	Все тела состоят из отдельных частиц (атомы, молекулы, ионы), между которыми есть промежутки – дискретное строение вещества	Простые вещества состоят из одинаковых атомов(молекул)-С, Аl, O2 Сложные-молекулы состоят из атомов различных химических элементов– H2O, CH4,NaCl	- Получены фотографии молекул с помощью ионного микроскопа - растворимость веществ - механическое дробление - постепенное испарение жидкостей
2	Частицы непрерывно хаотично движутся	Молекулы (атомы) участвуют в тепловом движении, которое никогда не прекращается. Характер движения в различных состояниях вещества разный. Скорость движения определяет температуру тела	- диффузия (перемешивание молекул различных веществ) в газах, жидкостях и твёрдых телах - броуновское движение (движение растворённых в жидкости или газе макроскопических частиц: споры плауна, частицы пыли, дыма в воздухе, жира в молоке и т.д.) - испарение жидкостей
3	Частицы взаимодействуют между собой	Природа взаимодействия – электромагнитная, обусловлена взаимным притяжением и отталкиванием заряженных частиц в атоме	- свойство газов легко менять объём - несжимаемость жидкостей - возникновение упругих деформаций - форма и объём твёрдых тел - склеивание

 

Агрегатные состояния вещества.

Газ (французское  от греческого хаос) – агрегатное состояние вещества, в котором его частицы не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия и движутся свободно, заполняя весь предоставленный им объем и принимая его форму. В отличие от твердых тел и жидкостей, объем газа существенно зависит от давления и температуры. Любое вещество можно перевести в газообразное состояние надлежащим подбором давления и температуры .

Жидкость – агрегатное состояние вещества, промежуточное между твёрдым и газообразным. Жидкости присущи некоторые черты твердого тела (сохраняет свой объем, образует поверхность, обладает определенной прочностью на разрыв) и газа (принимает форму сосуда, в котором находится, может непрерывно переходить в газ). В то же время жидкость обладает рядом присущих прежде всего ей особенностей, наиболее характерной из которых является текучесть. Текучестью называют свойство тел пластически или вязко деформироваться под действием напряжений. У вязких тел (газов, жидкостей) текучесть проявляется при любых напряжениях; у пластичных твердых тел – лишь при высоких напряжениях, превышающих предел текучести.

Твердое тело – агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, которые совершают малые колебания относительно положений равновесия. Различают кристаллические и аморфные твердые тела. Для кристаллов характерна пространственная периодичность в расположении равновесных положений атомов. В аморфных телах атомы колеблются относительно хаотически расположенных в пространстве точек. Поскольку устойчивым состоянием системы атомов (с минимальной внутренней энергией) твердого тела является кристаллическое, то с термодинамической точки зрения аморфное тело находится в метастабильном состоянии и с течением времени должно закристаллизоваться. Все вещества в природе (за исключением жидкого гелия) затвердевают при атмосферном давлении и температуре .

Масса и размеры молекул

Количество вещества

Количество вещества - это величина, характеризующая количество частиц в веществе.

- обозначение, единица измерения в СИ: ν  

1 моль – это такое количество вещества, в котором содержится столько же частиц (атомов или молекул), сколько частиц содержится в 0,012 кг углерода

Постоянная Авогадро

Исходя из определения 1 моля следует, что в 1 моле любого вещества содержится одинаковое количество частиц. Это число частиц называют числом Авогадро и обозначают N _А

                       

N _А = 6∙10²³ моль^-1 - столько частиц (молекул, атомов) содержится в 1 моле любого вещества

5. Формулы для расчёта:

М = М_r∙10 ^-3                  ν = ν = m₀ =

Изопроцессы. Газовые законы

Всякое изменение состояния газа называют термодинамическим процессом.

Обычно изменение одного из параметров состояния приводит к изменению всех остальных. Однако часто при изменении состояния системы один из параметров остаётся неизменным. Процессы, протекающие при неизменном значении одного из параметров, называются изопроцессами. Количественные зависимости между двумя параметрами газа при неизменном значении третьего называют газовыми законами.

 

Изопроцесс, постоянный параметр	Связь между двумя другими параметрами	Формулировка закона	Зависимость между параметрами	График изопроцесса
Изотермический- процесс, протекающий при постоянной температуре Т - const, m, M - const	PV=const   P 1V1 = P 2V2	Для данной массы газа произведение давления газа на его объём остаётся неизменным, если температура газа не меняется(закон Бойля-Мариотта)	Между давлением и объёмом обратная зависимость: V V	Изотерма в осях PV,VT,PT
Изобарный – процесс, протекающий при постоянном давлении Р –const, m, M-const		Для данной массы газа отношение объёма газа к температуре остаётся неизменным, если давление газа не меняется (закон Гей-Люссака)	Между температурой и объёмом прямая зависимость: Т T	Изобара в осях VT,PT,PV
Изохорный - процесс, протекающий при постоянном объёме V –const m, M - const		Для данной массы газа отношение давления газа к температуре остаётся неизменным, если объём газа не меняется(закон Шарля)	Между температурой и давлением прямая зависимость: Т T	Изохора в осях PT, VT, PV

Термодинамика

Термодинамикой называют науку о наиболее общих свойствах макроскопических физических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и о процессах перехода между этими состояниями. Она позволяет найти общие закономерности при установлении равновесия в физических системах.  

Основные термодинамические понятия

  Термодинамика в отличие от молекулярно-кинетической теории не вдаётся в рассмотрение микроскопической картины явлений (оперирует с макропараметрами). Термодинамика рассматривает явления, опираясь на основные законы (начала), которые являются обобщением огромного количества опытных данных.   

Внутренняя энергия – энергия физической системы, зависящая от её внутреннего состояния. Внутренняя энергия включает энергию хаотического (теплового) движения всех микрочастиц системы (молекул, атомов, ионов и т.д.) и энергию взаимодействия этих частиц. Кинетическая энергия движения системы как целого и её потенциальная энергия во внешних силовых полях во внутреннюю энергию не входит. В термодинамике и её приложениях представляет интерес не само значение внутренней энергии, а её изменение при изменении состояния системы. Внутренняя энергия – функция состояния системы.

Работа термодинамической системы над внешними телами заключается в изменении состояния этих тел и определяется количеством энергии, передаваемой системой внешним телам при изменении объема.

работа.

Если мы хотим определить работу, совершаемую в конечном процессе, то надо вычислить интеграл

                                   .            

Однако такое вычисление можно провести лишь в том случае, когда давление является определенной функцией объема. Между тем, как следует из уравнения состояния, давление в системе зависит не только от её объема, но и температуры.

Поскольку величина работы  зависит от способа пути перехода между состояниями и не определена однозначно для конечного состояния, мы пишем для работы, совершаемой системой на бесконечно малом перемещении, , а не .

Графически работа может быть представлена площадью под кривой, описывающей процесс в координатах  (или на плоскости ).

Пусть система квазистатически переходит из состояния  в состояние , причем переход может осуществляться по двум альтернативным путям 1 и 2. Обе кривые  и  определяют давление  как функцию объема . Поэтому работа  системы определяется для каждого случая однозначно и равна площади соответствующей криволинейной трапеции. Очевидно, что, вообще говоря, .

Вычислим работу, совершаемую молем идеального газа в трех различных процессах:

                                  1.                        ;

                                  2.                       , т.к. ;

                                  3.               .

Приведенный пример наглядно указывает на зависимость работы, совершаемой системой от пути перехода из начального состояния в конечное.

  Если система в результате произведенных в ней изменений вернулась в исходное состояние, то говорят, что она совершила круговой процесс, или цикл. Если произведенный процесс квазистатический, то на диаграмме  он изображается замкнутой кривой. Работа, совершенная системой в круговом процессе, численно равна площади цикла, заштрихованной на рисунке. Если цикл проходится в направлении по часовой стрелке, то работа системы положительна, если против часовой – отрицательна.

Количество теплоты. Математическая формулировка первого начала термодинамики.

 при соприкосновении внутренняя энергия горячего тела будет уменьшаться и, наоборот, холодное тело будет увеличивать свою внутреннюю энергию, хотя макроскопическая работа при этом не совершается.

Процесс обмена внутренними энергиями соприкасающихся тел, не сопровождающийся производством макроскопической работы, называется теплообменом. Энергия, переданная телу окружающей средой в результате теплообмена, называется количеством теплоты, или просто теплотой, полученной телом в таком процессе.

    1-ый закон (начало) термодинамики:

                 , или .  

Если внутренняя энергия системы не изменяется () и к системе не подводится тепло (), из первого начала неизбежно следует, что .

 Это означает, что невозможен процесс, единственным результатом которого являлось бы производство работы без каких бы то ни было изменений в других телах. Механизм для осуществления такого процесса получил название перпетуум мобиле (вечный двигатель). Т.о., из первого начала термодинамики следует невозможность построения вечного двигателя.

Другими словами, согласно первому началу термодинамики (закону сохранения энергии при протекании тепловых процессов) термодинамическая система может совершать работу только за счет своей внутренней энергии или (и) каких-либо внешних источников энергии.

Калориметрические опыты проводятся либо при постоянном объеме, либо при постоянном давлении. Запишем первое начало термодинамики применительно к таким процессам.

Если объем системы постоянен, то работа , произведенная системой над внешними телами, равна нулю, и первое начало может быть записано в виде:

                                                              . 

Если же постоянно давление, то, представив работу системы как

                             ,                               

для первого начала получаем

                                         .                                                 

Теплоемкость.

Теплоемкостью тела  называется отношение бесконечно малого количества теплоты , полученного телом, к соответствующему приращению  его температуры:

                                      .                                                          Теплоемкость, определенная для единицы массы тела, называется удельной и обозначается буквой . Молярной теплоемкостью называют теплоемкость одного моля вещества.

Задание приращения температуры  не определяет полностью того бесконечно близкого к начальному состояния, в которое переходит система. Одному и тому же повышению температуры могут соответствовать различные конечные состояния системы и, вообще говоря, различные количества теплоты , полученные системой. Соответственно, могут быть разными и теплоемкости системы при таких переходах. Т.о., теплоемкость есть не функция состояния тела, а характеристика бесконечно малого процесса, совершаемого телом.

Действительно, используя выражения (1.14) и (38) можно записать

                                              .                                            

теплоемкость  для любого тела определена, вообще говоря, неоднозначно. В частности, для изотермического процесса () , а для адиабатического – () .

Особое значение, в том числе и практически важное, имеют теплоемкости, определенные для процессов, происходящих в системе при постоянном объеме или постоянном давлении.

Если система заключена в жесткую оболочку, то объем остается постоянным () и

                                           .                                     

Если же в системе постоянным поддерживается давление, то в формуле (1.17) отношение  следует заменить на частную производную . Тогда для теплоемкости получим

                .                                

Уравнение Роберта Майера.

Из формул (1.19) и (1.18) следует

                                                          .

Для идеального газа по закону Джоуля ,

а из уравнения Менделеева-Клапейрона получаем .

Т.о., .

Это важное соотношение называется уравнением Роберта Майера.

 

  Теплоемкость и степени свободы. Зависимость теплоемкости от температуры.

Закон о равнораспределении энергии по степеням свободы мы обсудили, когда рассматривали средние значения энергии, приходящиеся на различные степени свободы молекул.

Рассмотрим идеальный газ. Один моль газа содержит  молекул, поэтому его внутренняя энергия может быть найдена как

                              ,

где средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы.

Определим теплоемкости  идеального газа в зависимости от строения его молекул.                                                              

1) Одноатомные молекулы - три поступательных степени свободы:

                                                          .                   Двухатомные молекулы с жесткой связью - 3 поступательных степени свободы + 2 вращательных степени = 5 степеней свободы. Тогда

                                                                .                   Двухатомные молекулы с упругой связью - 3 поступательных степени свободы + 2 вращательных степени + 1 колебательная степень свободы. На колебательную степень свободы приходится две половинки , т.е. . Тогда

                                                                    .                       Многоатомная молекула - тогда введем  и теплоемкость:

                                                                              

 Эти простые формулы хорошо описывают теплоемкости многих реальных газов (одноатомных и многих двухатомных) вблизи комнатной температуры. Для газов, образованных 3-х атомными молекулами чаще наблюдаются отклонения от полученных значений.

 

Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона.

Процесс, происходящий в системе без теплообмена с окружающей средой, называется адиабатическим.   

                                                                                    .                   

                                                                               .            Полученное соотношение называется уравнением Пуассона (1781 – 1840). Оно является уравнением адиабаты – кривой, изобража