Методика работы над изучением уравнений в начальной школе

Группы ЗНО-116

Володько М.И.

 

2020 год.

 

Методика работы над изучением уравнений в начальной школе

Математика – наука, которая нужна каждому человеку. В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики.

Основная часть нашей жизни состоит из вычислений и подсчетов. Математика помогает развивать интеллект и находить решения в сложной задаче. Математика учит нас получать и приобретать знания, развивает внимание, логику, ясное мышление, умение делать выводы.

Уже с первого класса дети начинают задаваться вопросами: зачем мы изучаем математику? Чем она пригодиться в жизни?

Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоценить.

Во-первых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала.

Во-вторых, обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни, когда получить ответ на поставленный вопрос можно только владея навыками решения уравнений.

В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Актуальность темы исследования: решение уравнений всегда было и до сих пор остается острой проблемой в методике математики, так как, несмотря на напряженные поиски и безусловные достижения в этой области, степень усвоения материала учащимися невысока. В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики. Вот почему так важно дать учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и показать им пути его решения.

 

Уравнения и их решения

Уравнение - это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений. Классическими примерами являются равенства 2 ·2 =4 и 2 ·2 =5

Уравнения – это не просто формальное равенство двух выражений. Главное в понятии уравнения – это постановка вопроса о его решении. Следовательно, уравнение – это равенство двух выражений вместе с призывом найти его решение. Что же значит решить уравнение?

Буквы, входящие в состав уравнения (т.е. в состав выражений, образующих уравнение), называются неизвестными. Если такая буква одна, то говорят, что мы имеем дело с уравнением с одним неизвестным. Значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение с одним неизвестным, значит найти все его корни. Полезно помнить, что подставлять в уравнение можно любое значение х. При каком-то значении х может получиться бессмысленное числовое выражение, а при х из области допустимых значений получится осмысленное числовое равенство. Если при этом оно окажется еще и верным, то взятое число х является корнем уравнения. Уравнение может иметь один корень, например, х=5.Все корни (решения) уравнения образуют множество корней. Слово «множество» не означает, что корней очень много («великое множество»). Если множество корней обозначить одной буквой, например х, то ответ может быть записан иначе. Примеры записей ответов с употреблением теоретиком множественных обозначений: x ={5}[2].

Впервые ученики знакомятся с уравнениями еще в первом классе. Включение в программу этой темы в первом классе продиктовано необходимостью глубокого осознания связи, которая существует между действиями сложения и вычитания, а в дальнейшем между умножением и делением. Эту основную задачу выполняют уравнения и их решение на основе взаимосвязи между компонентами действий. В силу такой подчиненности изучения уравнений вопросам связи между действиями на протяжении первого и второго годов обучения дети сталкиваются с простейшими уравнениями (а+x=b; a-x=b; x-a=b; a×x=b; a: x=b; x: a=b).

Начиная с третьего класса, в учебниках появляются задания, где на материале уравнений прослеживаются вопросы, связанные с зависимостью результата действия от изменения одного из компонентов. Примером таких заданий могут быть задания, где рассматриваются группы уравнений, в которых часть членов остается неизменной, а часть меняется. Основной вопрос таких заданий требует, не решая уравнений, установить, остаются ли при этом корни одинаковыми или определенным образом меняются. Найти корни уравнений в этих заданиях для проверки сделанных выводов дети могут по-разному: и способом подбора, и опираясь на законы сложения и свойства вычитания, и на основе установления закономерности между компонентами и результатом действий. Сюда же относятся задания, начинающие линию знакомства с тождественными преобразованиями уравнений, которые становятся основой в четвертом классе.

В четвертом классе основной целью работы с уравнениями остается формирование представлений об общем алгоритме выполнения задания, поэтапное упрощение исходного задания, вплоть до получения простейшего вида, который и дает ответ на стоящую перед детьми проблему. Выявить этот алгоритм в перечисленных случаях затруднительно, так как это потребует существенной затраты дополнительного времени. Решение же уравнений требует записи каждого шага, связанного с тем или иным тождественным преобразованием.

Для достижения поставленной цели предлагается последовательно рассматривать все более усложняющиеся уравнения и прослеживается путь их решения через последовательное преобразование во все более простые.

Авторы большинства учебников для начальной школы значительно расширили круг рассматриваемых вопросов, включив в программы изучение усложненных уравнений (И.И. Аргинская, Э.И. Александрова, Н.Б. Истомина и др.), решение уравнений на основе свойств равенств (Э.И. Александрова, С.Ф. Горбов, А.М. Захарова, Т.И. Фещенко и др.) и алгебраический способ решения задач.

Анализ учебников математики показывает, что уровень сложности упражнений, предлагаемых нетрадиционными учебниками, более высокий. Кроме того, в альтернативных программах дети обучаются решению задач способом составления уравнений, что не предполагается традиционной программой.

Выделив виды уравнений, и определив их значение для математического образования, теперь мы рассмотрим способы решения как простых, так и усложненных уравнений, для решения которых необходимы дополнительные преобразования.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин «решение» употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Способ подбора.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще «доказать» его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: «Почему х не может равняться 2?» (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащегося умение «оценить», «проанализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью «правил».

Заключение.

Анализ школьных учебников математики для начальных классов показал, что некоторые авторы учебников придерживаются мнения, что необходимо приступать к решению уравнений только после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений. Сторонники этой точки зрения – разработчики традиционной программы «Школа России» и УМК «Гармония».

В этих учебниках встречаются традиционные задания на решение уравнений разных видов.

Другое мнение - учащихся надо познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. В частности этой точки зрения придерживаются авторы программы «Школа – 2100» и системы развивающего обучения Л.В. Занкова. Кроме этого, в учебнике математики И.И. Аргинской (система РО Л.В. Занкова) дети знакомятся со свойствами равенств и возможностями использования этих свойств при решении уравнений.

Мы видим, что большую трудность для младшего школьного возраста представляет умение решать уравнения. Изучение уравнений в начальной школе носит пропедевтический характер. Поэтому очень важно подготовить детей в начальной школе к более глубокому изучению уравнений в старших классах. В начальной школе в процессе работы над уравнением закрепляются правила о взаимосвязи части и целого, сторон прямоугольника с его площадью, формируются вычислительные навыки и понимание связи между компонентами действий, закрепляется порядок действий и формируется умения решать текстовые задачи, идет работа над развитием правильной математической речи. На уроках закрепления уравнения позволяют разнообразить виды заданий.

 

 

Группы ЗНО-116

Володько М.И.

 

2020 год.

 

Методика работы над изучением уравнений в начальной школе

Математика – наука, которая нужна каждому человеку. В каждой области знания, в любой профессии нужна помощь математики.

Основная часть нашей жизни состоит из вычислений и подсчетов. Математика помогает развивать интеллект и находить решения в сложной задаче. Математика учит нас получать и приобретать знания, развивает внимание, логику, ясное мышление, умение делать выводы.

Уже с первого класса дети начинают задаваться вопросами: зачем мы изучаем математику? Чем она пригодиться в жизни?

Роль обучения в решении уравнений в начальной школе достаточно велика и ее сложно переоценить.

Во-первых, знания, умения и навыки, приобретенные школьниками при решении уравнений в начальной школе, помогут им в изучении математических дисциплин и будут способствовать скорейшему усвоению нового материала.

Во-вторых, обучение решению уравнений способствует развитию мышления у школьников, которое так необходимо не только при изучении стереометрии и геометрии в целом, но и в обыденной жизни, когда получить ответ на поставленный вопрос можно только владея навыками решения уравнений.

В-третьих, можно так же отметить, что обучение навыкам решения уравнений в начальной школе является своевременным и необходимым, так как именно в этом возрасте учащиеся лучше усваивают полученную от преподавателя информацию и с раннего возраста начинают понимать основные принципы и методики решения более сложных задач, заранее подготавливаясь к изучению высших математических дисциплин.

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Актуальность темы исследования: решение уравнений всегда было и до сих пор остается острой проблемой в методике математики, так как, несмотря на напряженные поиски и безусловные достижения в этой области, степень усвоения материала учащимися невысока. В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики. Вот почему так важно дать учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и показать им пути его решения.

 

Уравнения и их решения

Уравнение - это самая простая и самая распространенная форма математической задачи. Возьмем два числовых выражения и поставим между ними знак равенства. Мы получим числовое равенство. Оно будет верным или неверным в зависимости от того, равны или не равны значения взятых числовых выражений. Классическими примерами являются равенства 2 ·2 =4 и 2 ·2 =5

Уравнения – это не просто формальное равенство двух выражений. Главное в понятии уравнения – это постановка вопроса о его решении. Следовательно, уравнение – это равенство двух выражений вместе с призывом найти его решение. Что же значит решить уравнение?

Буквы, входящие в состав уравнения (т.е. в состав выражений, образующих уравнение), называются неизвестными. Если такая буква одна, то говорят, что мы имеем дело с уравнением с одним неизвестным. Значение неизвестного, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Решить уравнение с одним неизвестным, значит найти все его корни. Полезно помнить, что подставлять в уравнение можно любое значение х. При каком-то значении х может получиться бессмысленное числовое выражение, а при х из области допустимых значений получится осмысленное числовое равенство. Если при этом оно окажется еще и верным, то взятое число х является корнем уравнения. Уравнение может иметь один корень, например, х=5.Все корни (решения) уравнения образуют множество корней. Слово «множество» не означает, что корней очень много («великое множество»). Если множество корней обозначить одной буквой, например х, то ответ может быть записан иначе. Примеры записей ответов с употреблением теоретиком множественных обозначений: x ={5}[2].

Впервые ученики знакомятся с уравнениями еще в первом классе. Включение в программу этой темы в первом классе продиктовано необходимостью глубокого осознания связи, которая существует между действиями сложения и вычитания, а в дальнейшем между умножением и делением. Эту основную задачу выполняют уравнения и их решение на основе взаимосвязи между компонентами действий. В силу такой подчиненности изучения уравнений вопросам связи между действиями на протяжении первого и второго годов обучения дети сталкиваются с простейшими уравнениями (а+x=b; a-x=b; x-a=b; a×x=b; a: x=b; x: a=b).

Начиная с третьего класса, в учебниках появляются задания, где на материале уравнений прослеживаются вопросы, связанные с зависимостью результата действия от изменения одного из компонентов. Примером таких заданий могут быть задания, где рассматриваются группы уравнений, в которых часть членов остается неизменной, а часть меняется. Основной вопрос таких заданий требует, не решая уравнений, установить, остаются ли при этом корни одинаковыми или определенным образом меняются. Найти корни уравнений в этих заданиях для проверки сделанных выводов дети могут по-разному: и способом подбора, и опираясь на законы сложения и свойства вычитания, и на основе установления закономерности между компонентами и результатом действий. Сюда же относятся задания, начинающие линию знакомства с тождественными преобразованиями уравнений, которые становятся основой в четвертом классе.

В четвертом классе основной целью работы с уравнениями остается формирование представлений об общем алгоритме выполнения задания, поэтапное упрощение исходного задания, вплоть до получения простейшего вида, который и дает ответ на стоящую перед детьми проблему. Выявить этот алгоритм в перечисленных случаях затруднительно, так как это потребует существенной затраты дополнительного времени. Решение же уравнений требует записи каждого шага, связанного с тем или иным тождественным преобразованием.

Для достижения поставленной цели предлагается последовательно рассматривать все более усложняющиеся уравнения и прослеживается путь их решения через последовательное преобразование во все более простые.

Авторы большинства учебников для начальной школы значительно расширили круг рассматриваемых вопросов, включив в программы изучение усложненных уравнений (И.И. Аргинская, Э.И. Александрова, Н.Б. Истомина и др.), решение уравнений на основе свойств равенств (Э.И. Александрова, С.Ф. Горбов, А.М. Захарова, Т.И. Фещенко и др.) и алгебраический способ решения задач.

Анализ учебников математики показывает, что уровень сложности упражнений, предлагаемых нетрадиционными учебниками, более высокий. Кроме того, в альтернативных программах дети обучаются решению задач способом составления уравнений, что не предполагается традиционной программой.

Выделив виды уравнений, и определив их значение для математического образования, теперь мы рассмотрим способы решения как простых, так и усложненных уравнений, для решения которых необходимы дополнительные преобразования.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин «решение» употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Способ подбора.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще «доказать» его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: «Почему х не может равняться 2?» (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащегося умение «оценить», «проанализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью «правил».