Об’єм тіла. Об’єм тіла обертання

 

Розглянемо множину  точок простору , обмеженою замкненою без перетинів поверхнею. Таку множину називають тілом. Як відомо, обчислення об’єму многогранника зводиться до обчислення об’єму трикутних пірамід (тетраїдрів), а тому вважаємо, що об’єм многогранника відомий. Розглянемо всілякі многогранники, вписані  і описані  навколо тіла : . Символом позначають об’єм тіла, через  позначимо точну верхню (нижню) грань множини .

Означення. Тіло  називають кубіруємим, якщо  і це число називають об’ємом тіла  і позначають через .

Нагадаємо, що циліндром називають тіло, обмежене циліндричною поверхнею з образующими, які паралельні деякій осі, двома площинами, перпендикулярними цій осі. Ці площини в перетині з циліндричною поверхнею утворюють плоскі фігури, які називають основами циліндра, а відстань  між основами − висотою циліндра.

Нехай тіло  в координатному просторі обмежене зліва площиною , а справа − , причому відома площа  плоскої фігури, яка є перетином тіла  площиною .

Нехай розбиття відрізка  точками . Проведемо площини  і розглянемо частину  тіла , обмежену площинами . Довільним чином виберемо , проведемо площини , в перетині з  одержимо плоску фігуру, площа якої . Якщо мале, то зрозуміло (рис.11), що

                                          ,

а тому об’єм

                                          

За умовою, що , можна показати, що кубіруєме тіло і

                                                                                    (6.1)

Цю формулу називають формулою обчислення об’єму за відомою площею плоских перетинів.

 

Приклад 6.1. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнею об’єм еліпсоїда.

 

Розв'язання. Плоский перетин еліпсоїда площиною  є еліпс

                                            

з півосями .

Як відомо, площа цього еліпса дорівнює , а тому за формулою (6.1) маємо

               

Нехай тепер тіло  одержане обертанням навколо осі  криволінійної трапеції  (рис.12). Тоді будь-який переріз перпендикулярний до осі , буде кругом, радіус якого дорівнює .

Оскільки площа круга дорівнює , то за формулою (6.1) маємо

                                                                                     (6.2)

де .

Якщо тіло одержано обертанням навколо осі  криволінійної трапеції  (рис.13), то

                                                                                     (6.3)

Приклад 6.2.  Обчислити об’єм тіла обертання фігури, обмеженої еліпсом  а) навколо осі ; б) навколо осі .

 

Розв'язання.

а) оскільки , то за формулою (6.2) маємо

 

б) в даному випадку  і за формулою (6.3) маємо

                               

Якщо , то зрозуміло, що

 

Приклад 6.3. Розглянемо тіло , одержане обертанням круга, обмеженого колом  навколо осі . Така поверхня називається тором. Обчислити об’єм тора.

Розв'язання. Зрозуміло, що , де об’єм тіла одержаний обертанням криволінійної трапеції  навколо осі , а трапеції  навколо тієї ж осі. За формулою (6.2) і властивістю інтеграла

   

 тому що  за геометричним змістом визначає площу півкола.

Одержаний результат можна сформулювати наступним чином: об’єм тора дорівнює площі круга , помноженій на путь , який пробігає центр ваги при одному обороті навколо осі обертання − відомий як наслідок теореми Гульдіна.

Площа поверхні обертання

 

Передусім зупинимось, що розуміють під цім терміном.

Нехай поверхня, одержана обертанням навколо осі  графіка функції , заданої на відрізку  (рис.15).

Проведемо розбиття  відрізку  точками  і нехай відповідні точки графіка функції . Побудуємо ломану . При обертанні її навколо осі  одержимо поверхню зрізаних кругових конусів, площа яких відома з курсу геометрії середньої школи, а тому площа  елемента поверхні обертання відповідно  приблизно дорівнює

                                  

де довжина відрізка , а значить

                                   .

Можна довести, що коли , то поверхня, одержана обертанням кривої  навколо осі , квадровна і її площа  обчислюється за формулою

                                  .                           (7.1)

Відмітимо, що можна одержати (7.1) і за ослабленою умовою: .

Приклад 7.1. Знайти площу поверхні еліпсоїда обертання.

 

Розв'язання. Нехай еліпс  обертається навколо осі . У цьому випадку , ексцентриситет  і за формулою (7.1) маємо

.

Якщо , то, як неважко перевірити, .

Приклад 7.2. Обчислити площу тора (див. приклад. 6.3 розділу ІІІ).

 

Розв'язання. Зрозуміло, що , де площа поверхні яка одержана обертанням графіка функції , а площа поверхні яка одержана обертанням графіка функції , , навколо осі . Тому за формулою (7.1)

              .

У даному випадку ,  і

  .

Під знаком інтеграла необмежена функція і зрозуміло, що він не існує в традиційному сенсі. Чи означає це, що тор немає площі? Поки це свідчить лише про те, що вибране параметричне представлення півкола не задовольняє умові . Поставлена задача потребує розширення поняття інтеграла  Рімана і про це ми поговоримо в темі — невласні інтеграли. А щоб завершити розв’язок задачі використаємо параметричне рівняння півкола   

                           

Тому

                                    .

Площа поверхні тора дорівнює довжині кола  помноженій на путь , який проходить центр тяжіння при одному оберті навколо осі обертання. − І знову одержали наслідок з відомої теореми Гульдіна.