Тема. Определение многогранника

Тема. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА

И ЕГО ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Вопросы темы:

Определение многогранника.

Основные элементы многогранников.

Правильные многогранники.

Решение задач.

5. Домашнее задание.

Вопрос 1. Определение многогранника

Дадим понятие многогранника как геометрической фигуры, составленной из плоских геометрических фигур:

Многогранник ( полиэдр: поли – много, эдр - грань ) – совокупность конечного числа плоских многоугольников, где:

1.  Каждая сторона любого из многоугольников это одновременно сторона другого многоугольника (но только одного многоугольника, который называем смежным с первым многоугольником именно по данной стороне);

От любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого другого многоугольника, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с другим, и т.д.

 

Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:

– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;

– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником;

- от сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.

Дадим еще одно определение многогранника с точки зрения стереометрии, как объемной геометрической фигуре в пространстве.

 

Многогранник (многогранная поверхность) – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В качестве примеров, рассмотрим два простейших вида многогранников:

 

1. Треугольная пирамида, которая носит название тетраэдр.

Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

 

Рис. 1

 

2. Четырехугольная призма, которая носит название параллелепипед.

Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов:

АВС D, A 1 B 1 C 1 D 1,

AA 1 D 1 D, BB 1 C 1 C,

AA 1 B 1 B, DD 1 C 1 C, (Рис. 2).

рис. 2

Вопрос 2. Основные элементы многогранников

 

Из выше приведенных определений многогранника можем сформулировать следующий вывод:

- многоугольники, составляющие многогранник, являются гранями многогранника;

- стороны многоугольников, составляющих многогранник, являются – ребрами многогранника;

- вершины многоугольников, составляющих многогранник, являются – вершинами многогранника.

 

Отсюда следует, что грани, ребра и вершины многогранника являются основными элементами многогранника:

Грань многогранника – это любой из многоугольников, составляющих многогранник.

Ребро многогранника – это любая из сторон грани многогранника.

Вершина многогранника – это точка пересечения соответствующих ребер многогранника.

 

Примерами многогранника являются призма и пирамида.

Рассмотрим, какими основными элементами характеризуются представленные в Вопросе 1 многогранники тетраэдр и параллелепипед.

1. Основные элементы тетраэдра ABCD

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

 

 

2. Основные элементы

параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁

 

Грани: параллелограммы

АА₁D₁D,   D₁DСС₁,   ВВ₁С₁С,   АА₁В₁В,  ABCD,   A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА ₁, ВВ ₁, СС ₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁.

Вопрос 3. Правильные многогранники

В вопросе «Правильные многогранники» открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами.

Ни одни геометрические тела не обладают такими совершенством и красотой, как правильные многогранники.

«Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Определение правильного многогранника:

Многогранник называется правильным, если:

1. Многогранник выпуклый;

Правильный тетраэдр

Правильный гексаэдр (куб)

Правильный октаэдр

Правильный гексаэдр (куб)

Правильный додекаэдр

Куб и октаэдр дуальны, то есть, получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно.

Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр.

Тетраэдр дуален сам себе.

Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру.

Так получаются из куба все остальные правильные многогранники.

Факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

 

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида.

Эти многогранники часто называют так же платоновыми телами (телами Платона) в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном.

Четыре из них олицетворяли четыре стихии:

- тетраэдр – огонь, - куб – земля, - икосаэдр – вода, - октаэдр - воздух;

- додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”).

Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что этими формами обладают природные кристаллы, Как известно, правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ:

- куб – монокристалл поваренной соли (NaCl),

- октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO₄)₂·l2H₂O).

- додекаэдр древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS).

Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры 12 граней додекаэдра.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела?

- икосаэдр точно передает форму одноклеточных организмов – феодарии.

Чем же вызвана эта природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

На рассмотренных примерах мы увидели, что правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

 

Мы уже дали определение выпуклого многогранника:

Задача 1

Дано:

SABC - пирамида;        ΔАВС – правильный треугольник;

SΔABC = 9√3 см2;

(SBC)⊥(ABC), (SAC)⊥(ABC), ∠SHC = 30°.

Найти: SC, SA, SB

Решение:

Примечание рассматриваем решение задачи, исключив п.6. (в решении) и в Ответе – последнее число.

Ответ:

Задача 2

Дано: SABC - пирамида.    ΔАВС - прямоугольный треугольник

АС = ВС; SC⊥(ABC); ∠SHC = 45°; АВ = 4√2 см.

Найти: SC, SA, SB.

 

Решение:

1) ΔАВС - прямоугольный:

АС = ВС = 4 см.

2) ΔНВС- прямоугольный треугольник:

Ответ:

Примечание: Примечание рассматриваем решение задачи, исключив п.6. (в решении) и в Ответе – последнее число.

 

Вопрос 6. Домашнее задание

Задание 1 (на пп. 1-2 дать развернутые ответы)

1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?

2. Существует ли призма, которая имеет ровно 100 ребер?

 

Задание 2

Решить задачу.

Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы (перпендикуляр, опущенный из вершины призмы на ее основание), если боковое ребро равно 6 N см.

Где N – это число, равное номеру студента в классном журнале.

 

Задание 3

Заполнить графы 5-10 в данной Таблице.

Таблица. Сравнительная характеристика правильных многогранников

Определение многогранника