Законы Стефана-Больцмана и смещения Вина

 

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является одной из важнейших задач теории теплового излучения.

 

Австрийские физики Й. Стефан и Л. Больцман решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R_е от температуры.  

 

Закон Стефана-Больцмана:

энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры:

,

(36.1)

где s – постоянная Стефана-Больцмана, .

 

Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость R_е от температуры, не дает ответа на вопрос относительно спектрального состава излучения черного тела.

Из экспериментальных кривых зависимости спектральной плотности энергетической светимости -  от l () при различных температурах (рис. 36.1) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным.

Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн.

Рис. 36.1

Площадь, ограниченная кривой зависимости  и осью l, пропорциональна энергетической светимости R _е черного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин установил зависимость длины волны l_max, соответствующей максимуму функции  от температуры Т.

Закон смещения Вина: длина волны l _max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела, обратно пропорционально его термодинамической температуре.

,

(36.2)

где b –постоянная Вина, b =2,9×10^-3м×К.

 

Выражение (36.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции по мере возрастания температуры в области коротких длин волн.

Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

 

Формулы Рэлея-Джинса и Планка

 

Из рассмотрения законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа  не дал желаемых результатов.

Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости  принадлежит английским ученым Д.Рэлею и Д.Джинсу, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид:

,

(37.1)

где < e > = к×Т – средняя энергия осциллятора с собственной частотой n.

Рис. 37.1

 

Как показал опыт, выражение (37.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула (37.1) резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина.

Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду.

Действительно, вычисленная с использованием (37.1) энергетическая светимость черного тела, равна:

.

(37.2)

А согласно по закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость – R_е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы».

Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 году немецким физиком М. Планком.

Он предположил, что атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания:

,

(37.3)

где h=6,625×10^-34 Дж×с – постоянная Планка.

Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора  может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии :

,

(37.4)

(n=0,1,2,3…).

Итак, в данном случае среднюю энергию < > осциллятора нельзя принимать равной k × Т.  Она равна:

,

(37.5)

где e₀=h×n.

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу (37.6):

,

(37.6)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур.

При малых частотах, когда h × n << k × Т формула Планка совпадает с формулой Вина.

Из формулы Планка можно получить закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина. Можно вычислить все постоянные: s, b, h и k.

 

Следовательно, формула Планка является полным решением задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом.

 

Оптическая пирометрия