Рациональные вычисления в курсе математики начальных классов

Автор: Т.Е. Демидова, А.П. Тонких

Журнал «Начальная школа плюс до и после» - № 07, 2001, с. 15-22

https://vk.com/away.php?utf=1&to=http%3A%2F%2Fschool2100.com%2Fupload%2Fiblock%2F560%2F560127db2568c56d9f59c0ecc00f6967.pdf

В настоящее время происходит активное внедрение в практику школы различных педагогических инноваций, авторских программ и учебников, смещение акцента в обучении на разностороннее гармоничное развитие учащихся и прежде всего умственное развитие.

Одной из важнейших задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, в основу которых кладется осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Это достигается в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Решение детьми большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствует усвоению вычислительного приема, но вместе с тем часто определяет однообразие мыслительной деятельности учащихся, реализуя лишь обучающие цели – закрепление знаний, формирование умений и навыков. Это отрицательно сказывается на развитии учащихся. Снижается их познавательная активность: пропадает интерес, рассеивается внимание, нарастает число ошибок и т.п.

В условиях развивающего обучения система заданий, направленная на усвоение школьниками вычислительных умений и навыков, должна формировать обобщенные способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению различных способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Введение приемов рациональных вычислений в начальном курсе математики является подготовительной ступенью для изучения других приемов в курсе математики средней школы и применения полученных знаний на практике.

Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию у учащихся положительных мотивов к этому виду учебной деятельности.

Работа по культивированию рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом. К сожалению, далеко не всегда удается добиться этой цели. Существуют объективные и субъективные причины такого положения. Одной из наиболее важных объективных причин неумения школьников использовать рациональные приемы вычислений является, по нашему мнению, недостаточная математическая подготовка самих учителей.

Учителю прежде всего самому необходимо усвоить теоретические основы рациональных вычислений, научиться применять их на практике, а затем овладеть умениями, позволяющими формировать соответствующие приемы рациональных вычислений у школьников.

В данной статье мы выделим лишь наиболее употребительные приемы рациональных вычислений, которые стали незаслуженно забываться и в школе, и в вузе.

Приемы сложения. Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы. Напомним их. Коммутативный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.

Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится.

Свойство 1.3. Если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Прием 1.1. Округление одного или нескольких слагаемых. Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.

Пример: а) 164 + 48 = (164 + (48 + + 2)) – 2 = (164 + 50) – 2= 214 – 2 = 212; б) 784 + 297 = (784 +(297 + 3)) – 3 = = (784 + 300) – 3 = 1084 – 3 = 1081; в) 89 + 433 = 433 +89 = (430 + 90) + 3 – 1 = 520 + 2 = 522.

Прием 1.2. Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом – всех единиц, а затем складывают полученные суммы. Пример: а) 32 +26 +73 +45 = (30 + 20 + 70 +40) + (2 +6 +3 +5) = 160 + 16 = 176.

2. Приемы вычитания. Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 2.2. Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.

Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз. Рассмотрим некоторые приемы вычитания.

Прием 2.1. Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц. Суть приема поясним на примерах. Пример: 561 – 35 = (561 – 1) – (35 – 1) = 560 – 34 = 526. Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу. Пример: 3125 – 198 = (3125 + 2) – – (198 + 2) = 3127 – 200 = 3127 – (100 + + 100) = (3127 – 100) – 100 = 3027 – 100 = 2927.

Прием 2.2. Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяем ближайшим к нему «круглым» числом, находим разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляем к полученной разности или вычитаем из нее. Пример: 1285 – 296 = 1285 – ((296 + 4) – 4) = 1285 – (300 – 4) = (1285 – 300) + 4 = 1285 – (200 + 100) + 4 = = (1085 – 100) + 4 = 985 + 4 = 989.