Лекция «Векторы. Векторная алгебра»

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

ВЕКТОРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Содержание
Название	стр.	Название	стр.
1. Основные определения	3	8.1. Длина вектора	18
2. Действия над векторами	5	8.2. Расстояние между двумя точками	18
2.1. Умножение вектора на число	5	9. Направляющие косинусы вектора	18
2.2. Сумма векторов	7	10. Скалярное произведение двух векторов	20
2.3. Разность векторов	8	10.1. Определение скалярного произведения	20
3. Числовая ось	8	10.2. Свойства скалярного произведения	21
4. Единичный вектор	9	11. Векторное произведение двух векторов	21
5. Угол между векторами	10	11.1. Определение векторного произведения	21
6. Проекция вектора на ось	10	11.2. Свойства векторного произведения	22
7. Системы координат	13	12. Смешанное произведение трёх векторов	22
7.1. Декартова система координат на плоскости	13	12.1. Определение смешанного произведения	23
7.2. Декартова система координат в пространстве	14	12.2. Свойства смешанного произведения	23
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками	19

 

Действия над векторами

В качестве действий над векторами, рассматриваются линейные операции – умножение вектора на число, сложение и вычитание.

Умножение вектора на число

Определение 6. Произведением вектора  на вещественное число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину  и сонаправленный с вектором , если , и противонаправленный с вектором , если . Произведением вектора  на число  обозначается  или .

На рис. 6 – рис. 9 показаны пары векторы  и ,  и ,  и ,  и

 

 

Рис. 3. Случай

 

 

Рис. 4. Случай

 

 

Рис. 5. Случай

 

 

Рис. 6. Случай

 

Противоположный вектор  можно рассматривать как результат умножения вектора  на число :

 

.

 

Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3.  – закон дистрибутивности.

 

4.  – закон дистрибутивности.

Теорема 1. Для коллинеарности векторов  и , необходимо и достаточно существование числа  такого, что выполняется хотя бы одно из равенств  или .

Сумма векторов

Определение 7. Суммой векторов  и  называется вектор , вычисляемый как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, имеющая с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов  и  обозначается .

 

 

Рис. 10

 

Отметим некоторые свойства суммы векторов.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3. .

 

4. .

Разность векторов

Определение 8. Разностью   векторов  и  называется вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . Разность  можно определить как сумму вектора  с вектором, противоположным к вектору : .

Разность  векторов  и  можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора  (рис. 11).

Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора  совмещать с концом вектора . Для определения разности , следует концы этих векторов.

 

 

Рис. 11

 

Числовая ось

Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:

1) на ней выбрана некоторая точка, называемая началом (центром) и обозначаемая ;

 

 

2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;

 

 

3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).

 

 

Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:

1) положительное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  по направлению стрелки;

2) отрицательное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  против направления стрелки;

3) нулевое число  изображается началом оси.

Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.

Пусть точке  числовой оси соответствует число . Координатой точки  называется число  и обозначается .

 

 

Единичный вектор

 

Определение 9. Любой вектор, длина которой равна единице, называется единичным вектором.

Пусть задан вектор . Обозначим через  единичный вектор, сонаправленный с вектором , называемый орт ом этого вектора. Из определения умножения вектора на число следует, что

 

или .

 

Для каждой числовой оси  определен единичный вектор , с началом в точке  (  – центр числовой оси) и концом в точке с координатой  (рис. 12). Направление единичного вектора  совпадает с положительным направлением числовой оси .

 

 

Рис. 12

 

Угол между векторами

Определение 10. Пусть векторы  и  имеют общее начало. Углом между векторами  и  называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из этих векторов до совпадения с другим (рис. 13). Под термином совпадение понимается, что векторы  и  окажутся сонаправленными. Угол между векторами  и  обозначают .

Из определения вытекает, что угол  между произвольными векторами содержится в промежутке: .

Определение 11. Пусть начало вектора  находится в центре числовой оси . Углом между вектором  и осью  называется угол между вектором  и единичным вектором  оси  (рис. 14).

 

 

Рис. 13                                          Рис. 14

Проекция вектора на ось

Определение 12. Проекцией точки  на ось  называется точка пересечения плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно оси  с осью  (рис. 15).

 

 

Рис. 15

Определение 13. Проекцией вектора  на ось  называется число, равное разности координат проекций конца и начала (рис. 16).

 

 

Рис. 16

 

Проекция вектора  на ось  обозначается . Имеем

 

.

 

Обозначим через  угол между вектором  и осью .

Проекция вектора может быть: 1) положительной, если угол  острый. В этом случае  (рис 16), 2) отрицательной, если угол  тупой. В этом случае  (рис. 17), 3) нулевой, если угол  или . В этом случае  (рис. 18).

 

 

Рис. 17                                                    Рис. 18

 

Определение 13. Составляющей вектора   по оси  называется произведение проекции вектора  на ось  на единичный вектор  этой оси и обозначается сост .

 

Составляющей вектора  по оси  есть вектор, соединяющий проекцию начала и проекцию конца вектора:

 

сост .

 

Отметим некоторые свойства проекции вектора на ось.

Свойство 1. Проекция вектора  на ось  равна произведению длины вектора  на косинус угла между вектором  и осью :

 

.

 

Свойство 2. Проекция произведения вектора  на число  на ось  равна произведению числа  на проекцию вектора  на ось :

 

.

 

Свойство 3. Проекция суммы двух векторов  и  на ось  равна сумме проекций этих векторов на ось :

 

.

 

Свойство 4. Проекция разности двух векторов  и  на ось  равна разности проекций этих векторов на ось :

 

.

 

Системы координат

Длина вектора

Пусть  – произвольный вектор. Длина вектора  вычисляется по формуле:

 

.

 

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

ВЕКТОРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Содержание
Название	стр.	Название	стр.
1. Основные определения	3	8.1. Длина вектора	18
2. Действия над векторами	5	8.2. Расстояние между двумя точками	18
2.1. Умножение вектора на число	5	9. Направляющие косинусы вектора	18
2.2. Сумма векторов	7	10. Скалярное произведение двух векторов	20
2.3. Разность векторов	8	10.1. Определение скалярного произведения	20
3. Числовая ось	8	10.2. Свойства скалярного произведения	21
4. Единичный вектор	9	11. Векторное произведение двух векторов	21
5. Угол между векторами	10	11.1. Определение векторного произведения	21
6. Проекция вектора на ось	10	11.2. Свойства векторного произведения	22
7. Системы координат	13	12. Смешанное произведение трёх векторов	22
7.1. Декартова система координат на плоскости	13	12.1. Определение смешанного произведения	23
7.2. Декартова система координат в пространстве	14	12.2. Свойства смешанного произведения	23
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками	19

 

Лекция «Векторы. Векторная алгебра»

 

Основные определения. Действия над векторами: умножение вектора на число; сумма векторов; разность векторов. Числовая ось. Единичный вектор. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Системы координат: декартова система координат на плоскости; декартова система координат в пространстве. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов: определение скалярного произведения; свойства скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов: определение векторного произведения; свойства векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов: определение смешанного произведения; свойства смешанного произведения

 

1. Основные определения

В физике и технических науках встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Эти численные значения являются вещественными числами. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами являются длина, площадь, объём, масса, температура и др.

Наряду со скалярными, встречаются величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Такие величины называются векторными. Они описываются с помощью векторов.

Определение 1. Вектором (свободным вектором)  называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.

О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор. Одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец, который на рисунке показывается стрелкой. Если началом вектора является точка , а конец точка , то используется обозначение  (рис. 1, рис.2).

 

 

Рис. 1                      Рис. 2

 

Определение 2. Модулем вектора  называется его длина. Модуль вектора  обозначается  (аналогично, ).

Определение 3. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается .

Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю: . У нулевого вектора направление не определено. В качестве направления нулевого вектора можно брать желаемое в данный момент направление.

Определение 4. Векторы  и  называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону, и противонаправленными, если они направлены в разные стороны.

На рис. 3 приведены примеры сонаправленных векторов  и , и противонаправленных векторов  и .

 

 

Рис. 3

 

Определение 5. Векторы  и  называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов  и  обозначается .

Если векторы  и  равны, то при соединение начало вектора  с началом вектора , а конец с концом получится параллелограмм (рис. 4). Верно и обратное правило: если при соединении начало вектора  с началом вектора , а конца с концом получится параллелограмм, то векторы  и  равны.

Если векторы обозначены своими концами  и , то равенство  эквивалентно тому, что четырёхугольник  является параллелограммом (рис. 5).

 

 

Рис. 4                                                          Рис. 5

 

Определение 5. Вектор  называется противоположным вектору , если они противонаправлены и имеют одинаковую длину. Если вектор  противоположный вектору , то обозначается .

Если вектор обозначен с помощью его концов , то для обозначения противоположного вектора можно использовать любое из двух обозначений  или .

 

Действия над векторами

В качестве действий над векторами, рассматриваются линейные операции – умножение вектора на число, сложение и вычитание.

Умножение вектора на число

Определение 6. Произведением вектора  на вещественное число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину  и сонаправленный с вектором , если , и противонаправленный с вектором , если . Произведением вектора  на число  обозначается  или .

На рис. 6 – рис. 9 показаны пары векторы  и ,  и ,  и ,  и

 

 

Рис. 3. Случай

 

 

Рис. 4. Случай

 

 

Рис. 5. Случай

 

 

Рис. 6. Случай

 

Противоположный вектор  можно рассматривать как результат умножения вектора  на число :

 

.

 

Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3.  – закон дистрибутивности.

 

4.  – закон дистрибутивности.

Теорема 1. Для коллинеарности векторов  и , необходимо и достаточно существование числа  такого, что выполняется хотя бы одно из равенств  или .

Сумма векторов

Определение 7. Суммой векторов  и  называется вектор , вычисляемый как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, имеющая с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов  и  обозначается .

 

 

Рис. 10

 

Отметим некоторые свойства суммы векторов.

 

1.  – закон коммутативности.

 

2.  – закон ассоциативности.

 

3. .

 

4. .

Разность векторов

Определение 8. Разностью   векторов  и  называется вектор, сумма которого с вектором  равна вектору . Разность  можно определить как сумму вектора  с вектором, противоположным к вектору : .

Разность  векторов  и  можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора  (рис. 11).

Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора  совмещать с концом вектора . Для определения разности , следует концы этих векторов.

 

 

Рис. 11

 

Числовая ось

Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:

1) на ней выбрана некоторая точка, называемая началом (центром) и обозначаемая ;

 

 

2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;

 

 

3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).

 

 

Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:

1) положительное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  по направлению стрелки;

2) отрицательное число  изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии  против направления стрелки;

3) нулевое число  изображается началом оси.

Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.

Пусть точке  числовой оси соответствует число . Координатой точки  называется число  и обозначается .

 

 

Единичный вектор

 

Определение 9. Любой вектор, длина которой равна единице, называется единичным вектором.

Пусть задан вектор . Обозначим через  единичный вектор, сонаправленный с вектором , называемый орт ом этого вектора. Из определения умножения вектора на число следует, что

 

или .

 

Для каждой числовой оси  определен единичный вектор , с началом в точке  (  – центр числовой оси) и концом в точке с координатой  (рис. 12). Направление единичного вектора  совпадает с положительным направлением числовой оси .

 

 

Рис. 12

 

Угол между векторами

Определение 10. Пусть векторы  и  имеют общее начало. Углом между векторами  и  называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из этих векторов до совпадения с другим (рис. 13). Под термином совпадение понимается, что векторы  и  окажутся сонаправленными. Угол между векторами  и  обозначают .

Из определения вытекает, что угол  между произвольными векторами содержится в промежутке: .

Определение 11. Пусть начало вектора  находится в центре числовой оси . Углом между вектором  и осью  называется угол между вектором  и единичным вектором  оси  (рис. 14).

 

 

Рис. 13                                          Рис. 14

Проекция вектора на ось

Определение 12. Проекцией точки  на ось  называется точка пересечения плоскости , проходящей через точку  перпендикулярно оси  с осью  (рис. 15).

 

 

Рис. 15

Определение 13. Проекцией вектора  на ось  называется число, равное разности координат проекций конца и начала (рис. 16).

 

 

Рис. 16

 

Проекция вектора  на ось  обозначается . Имеем

 

.

 

Обозначим через  угол между вектором  и осью .