Раздел 13. Итоговое повторение курса математики

Г.

 

Раздел 13. Итоговое повторение курса математики

 

Тема 13.10. Тела вращения. Площадь поверхностей

 

Цилиндр и конус. Усеченный конус.

Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Конусом называется тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершин конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

                                          

Осевые сечения и сечения, параллельные основанию

Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Сечение шара плоскостью:

· Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

· Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).

Касательная плоскость к сфере:

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Теорема 1. Через любую точку A сферы проходит единственная касательная плоскость. Эта плоскость перпендикулярна радиусу OA сферы, где O – центр сферы.

Теорема 2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:

а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны;

б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

Теорема 3. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Шар

Шаровой пояс. Сегмент и сектор

Вписанный и описанный шар

Определения:

1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

2. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).

4. Шар называется описанным около цилиндра, усеченного конуса (конуса), если окружности оснований (окружность основания и вершина) принадлежат поверхности шара.

 

Комбинация шара с призмой

Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Теорема 2. Шар можно описать около призмы, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

Комбинация шара с пирамидой

Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар, если около ее основания можно описать окружность.

Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

Интеграла

1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела.

2. Найти пределы интегрирования а и b.

3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси О х через точку с абсциссой х.

4. Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(x).

5. Проверить непрерывность функции S(x) на [a;b].

6. Вычислить объем по формуле:

 

 

Г.

 

Раздел 13. Итоговое повторение курса математики