Критическая скорость, критическое давление, максимальный расход

Исследование формул (8.8) и (8.10) показывает, что с уменьшением давления р ₂ увеличиваются значения v ₂  и w. Но в начале адиабатного расширения скорость w увеличивается быстрее, чем объем v ₂, и расход М. растет. Достигнув некоторого максимума при β = р ₂/ p ₁ = 0,5, расход М начинает уменьшаться. Это происходит потому, что при дальнейшем

 

уменьшении отношения p ₂/ p ₁ скорость w растет медленнее, чем объем v ₂. При р ₂ = 0 w   w _макс, a v ₂ , следовательно, М 0 и кривая M = j (β) принимает форму параболы (см. рис. 8.4).

Опыт, однако, показывает, что изменение расхода М после достижения максимума М _макс при дальнейшем уменьшении р ₂ и вместе с ним β следует не по пунктирной линии ВО, а по горизонтали BD. Такое расхождение с формулой (8.10) объясняется тем, что, понижая постепенно давление р ₂, будем получать давление в устье сопла, равное р ₂, только до значения p _2кр/ p ₁  0,5. При дальнейшем уменьшении этого отношения, т. е. при снижении давления р ₂ в среде, куда втекает газ, давление в устье сопла р _у не понижается, а остается постоянным, происходит как бы «запирание» сопла. Это остающееся постоянным в устье сопла давление, которое нельзя понизить, уменьшив давление в среде, куда происходит истечение, называется критическим и обозначается р _2кр, а отношение p _2кр/ p ₁ обозначается β_Kp.

Формула (8.10) дает соответствующее действительности значение расхода, если в ней и при р ₂/ p ₁  < β_Kp рассматривать р ₂ как давление в устье сопла, а не как давление среды, в которую втекает газ. Вместе с этим в устье сопла остаются постоянными и удельный объем v _2|кр, и скорость истечения w _кр, несмотря на уменьшение давления среды р ₂.

Секундный расход М, достигающий при β_Kp максимального значения М _макс, также остается постоянным и не зависит от дальнейшего понижения р ₂. Поэтому, начиная от β_Kp, действительные кривые расхода и скорости (см. рис. 8.4) изобразятся прямыми, параллельными оси абсцисс.

Рассмотренное явление объясняется тем, что устанавливающаяся при β = β_кр критическая скорость истечения является максимальной и превысить ее для суживающихся сопел не представляется возможным [см. уравнение (8.17)]. Следовательно:

 

Обобщая все сказанное, устанавливаем в соответствии с уравнением (8.10), что расход М газа данных параметров зависит от сечения f и давления в устье сопла р _у.

Для определения β _кр нужно найти отношение р ₂/ p ₁, при котором функция М = j(р ₂/ p ₁) достигает максимального значения. Для этого нужно взять первую производную от этой функции, приравнять ее к нулю и найти то значение аргумента р₂/р₁, при котором функция М будет иметь экстремум.

В формуле (8.10) переменной является разность

  —

 

  {M = f         (8.10) }

 

 

Поэтому в целях сокращения математических преобразований первую производную берем от этого выражения и приравниваем ее к нулю, в результате чего получаем:

Но  ¹ 0, ибо для этого или р ₂ = 0, или р ₁ = ¥, чего практически не бывает. Тогда может быть равен нулю лишь второй множитель, т. е.

2  = k + 1; 2  = , или  = ,

И окончательно

b_кр =                     (8.11)

 

Формула (8.11) показывает, что  b_кр = р _2кр/ р зависит только от природы газа или пара, вытекающего через сопло, так как для каждого рабочего тела имеется свое значение k: для двухатомных газов k = 1,4, р _кр = 0,528, р _2кр = 0,528 р ₁; для перегретого пара k =1,3, b_кр = 0,546, р _2кр = 0,546 р ₁.

{ w (8.8) }

Подставляя в формулу (8.8) значение b_кр из уравнения (8.11), получим выражение для определения w _KP: 

 

Тогда

w _кр =       (8.12)

 

Из формулы следует, что критическая скорость вполне определяется начальным состоянием газа и показателем адиабаты k. В частности, для двухатомных газов w _кр = 1,08 , или w _кр = 1,08 т. е. скорость w _кр возрастает с увеличением начальной температуры и для разных газов различна. Например, для воздуха при t = 200 °С

 

w _кр = 1,08 = 398 м/с,

а при   t = 1000 °С

w _кр =1,08  = 650 м/с.

Для перегретого пара w _кр  = 1,06  . Во всех формулах р в Н/м², w в м/с, а  в м³/кг.  

 

 

Лекция №5.