Статистическая проверка статистических гипотез.

Статистическая гипотеза (нулевая и конкурирующая, простая и сложная).

       Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если этот закон не известен, то имеются основания предположить, что он имеет определенный вид. Выдвигают гипотезу: «закон распределения имеет вид А (нормальный, показательный, равномерный…)».

Иногда бывает, что закон распределения известен, но не известны его некоторые параметры. Если есть основания предполагать, что определенный параметр θ равен значению θ₀, то выдвигают гипотезу: θ=θ₀. В этой гипотезе речь идет о величине параметра распределения генеральной совокупности.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух совокупностей, о независимости двух выборов и др.

 

Определение.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения и о параметрах известного распределения.

 

«Гипотеза – “есть ли жизнь на Марсе?”, статистической не является».

 

 

Определение.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H ₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H ₁, которая противоречит основной.

 

Если нулевая гипотеза отвергается, то ее место занимают конкурирующая гипотеза.

Например:

Для нормальной случайной величины нулевая гипотеза H ₀: a =10, а конкурирующая гипотеза H ₁: a ≠10. Эти гипотезы о равенстве некоторого параметра известного распределения.

 

Определение.

Различают гипотезы с одним или несколькими числом предположений. Гипотеза с одним числом предположений называется простой, гипотеза с большим количеством предположений называется сложной.

Простая H ₀: а=10 (σ -известно и равно 1)

Сложная H ₀: а=10 (σ -неизвестно)

 

При принятии гипотезы можно либо принимать нулевую гипотезу, либо ее отвергнуть, потому что выдвинутая гипотеза может быть правильной, а может быть не правильной. Если отвергается правильная гипотеза, то совершается ошибка первого рода. Если принимается конкурирующая гипотеза, то совершается ошибка второго рода. Последствия этих ошибок разные.

 

Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия.

Для проверки статистической гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное значение которой известно. Обычно такие величины обозначают U, T, X ² … В общем случае будем ее обозначать K.

 

Определение.

Статистическим критерием называют случайную величину K, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборки вычисляют частные значения, входящие в критерий величин и получают наблюдаемое значение критерия.

 

Определение.

Наблюдаемым значением критерия K _набл называют значение, полученное по выборке.

 

Критическая область. Область принятия гипотезы. Уровень значимости. Мощность критерия.

После выбора критерия множество всех его значений разбивают на 2 подмножества: область, где нулевую гипотезу принимают и область, где нулевую гипотезу отвергают.

Определение.

Критической областью называют совокупные значения критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а областью принятия гипотезы – там, где нулевую гипотезу принимают.

 

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу нужно отвергнуть.

Определение.

Критической точкой K _крит называют точку, разделяющую критическую область и область принятия гипотезы.

             

Различают правосторонние, левосторонние и двусторонние критические области.

Правосторонняя

Левосторонняя     

 

 

Двусторонняя 

                K < - K _КР

                                                                                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                      K > K_KP

Для нахождения критической точки К_КР задаются малой величиной: уровнем значимости α. Уровень значимости α – это вероятность попадания в критическую область.

Для правосторонней области:

Для левосторонней области:

Для двусторонней области:

Для уровня значимости предполагается, что нулевая гипотеза справедлива.

       Определение.

Мощностью критерия называется вероятность попадания его в критическую область при условии, что конкурирующая гипотеза справедлива.

Важно чтобы мощность критерия была максимальной.