Математическая база параметрической стандартизации

 

Многообразие типов, размеров и параметров изделий регламентируется параметрическими стандартами. Разработка параметрических рядов требует прежде всего установления единой закономерности в системе стандартизируемых величин. Эта задача решается при помощи рядов предпочтительных чисел. Свое название эти числа получили потому, что они рекомендуются для предпочтительного применения при конструировании и расчётах, при стандартизации и унификации. Система предпочтительных чисел оформлена ГОСТом и является базой развития параметрической стандартизации в нашей стране. Смысл этой системы заключается в выборе лишь тех значений параметров и размеров, которые подчиняются строго определённой математической закономерности.

    Применение предпочтительных чисел позволяет широко унифицировать размеры и параметры продукции не только в пределах одной нашей отрасли, но и в масштабе всего народного хозяйства. Ряды предпочтительных чисел должны отвечать следующим требованиям:

    - представлять рациональную систему градации, отвечающую потребностям производства и эксплуатации;

    - быть бесконечным, как в сторону малых так и в сторону больших величин (т.е. дополнять неограниченное развитие параметров или размеров в направлении их увеличения или уменьшения);

- включать все десятикратные значения любого числа и единицу;

быть простыми и легко запоминающимися.

Наиболее целесообразные ряды размеров использовались ещё в глубокой древности в Риме, и даже в России. Пётр 1 издав указ в котором устанавливались калибры ядер: 4-6-8-12-18-24-30. В данном случае ряд построен по ступенчато-арифметической прогрессии с разностями 2,4,6. Ряды предпочтительных чисел могут быть выражены в виде арифметических или геометрических прогрессий. Элементарные арифметические прогрессии представим следующим образом:

(1) 1-2-3-4-5-6…

(2) 0,2-0,4-0,6-0,8-1,0…

(3) 25-50-75-100-125-150…

Из приведённых примеров видно, что разность между любыми двумя, следующими друг за другом числами арифметического ряда постоянна и составляет соответственно 1,0,2; 25. Неизменность разности (интервала) значений двух соседних членов во всём диапазоне ряда характерно для любого арифметического ряда, что выражается таким образом:

 

                                            n_n – n_n-1 = d = const,                                        (39)

 

где n_n n_n-1 – значение рядом стоящих членов ряда;    

d – разность (интервал) значений между двумя смежными членами ряда.

Вместе с тем при постоянств абсолютной разности относительная разность между членами резко уменьшается с возрастанием ряда. Так, относительная разность между членами арифметического ряда (1) 1,2,3…10, для чисел 1 и 2 составляет 100%, а для чисел 9 и 10 – всего 11%. В арифметическом ряду (3) для чисел 25 и 50 – 100%, а для чисел 475 и 500 – 5%. Такая нецелесообразная разряженность значений в зоне малых и сгущенность их в зоне больших величин является существенным недостатком и ограничивает возможность применения рядов арифметической прогрессии.

К арифметическим рядам прибегали на ранней стадии стандартизации. Так, по арифметической прогрессии построены ряды диаметров стандартных подшибников качения.

Несколько чаще применяют ступенчато-арифметические ряды, у которых разность (интервал) значений является постоянной не для всего ряда, а только для определённой его части. Примером такого решения является ступенчато-арифметические ряды стандартных рядов. Диаметры резьбы по ГОСТ 8724-81:

1-1,1-1,2-1,4-1,6-1,8-2…3-3,5-4-4,5-5…145-150-155-150-165…

соответственно разность составляет 0,1-0,2-0,5-5… Таким образом, любой член ряда в пределах данной группы вычисляется по формуле

 

                                           

                                       n_n = n₁ + d (n-1),                                                   (40)

 

где n₁ – первый член ряда;  

d – разность прогрессии;

n – номер искомого члена.

 

Практика показала, что наиболее дробными являются геометрические ряды, т.к. при этом относительная разность между любыми смежными числами ряда одинакова. Это важное свойство объясняется тем, что геометрическая прогрессия представляет собой ряд чисел, в котором отношение двух смежных членов всегда постоянно для данного ряда и равно знаменателю прогрессии. Например,

1-2-4-8-16-32…

1-1,1-1,21-1,331…

1-10-100-1000-10000…

Знаменателями прогрессии в этих примерах соответственно является 2; 1,1; 10.

Как известно, в геометрической прогрессии, имеющей в числе членов единицу, каждый её член (n_i) определяется из выражения

 

                                                    n_i = ^(i-1),                                                 (41)

 

где i – порядковый номер члена;

     - знаменатель прогрессии.

     Так при значении  = 2, геометрическая прогрессия имеет вид: 1-2-4-8-16-32…

     Геометрические прогрессии обладают важными свойствами, имеющими большое практическое значение.

     Международная практика показала, что для удовлетворения потребностей производства достаточно в основу построения рядов предпочтительных чисел взять геометрические прогрессии со следующими показателями:

          

       Условное обозначение ряда.               Знаменатель прогрессии.

                            R₅                                                     = 1,6

                            R₁₀                                                    = 1,25

                            R₂₀                                                                                    = 1,12

                            R₄₀                                                     = 1,095

                            R₈₀                                                     = 1,029

     Число в условном обозначении ряда (R₅, R₁₀ и др.) представляет собой степень корня из 10 и в то же время показывает количество членов в пределах ряда (например, в ряду R₂₀ знаменатель равен ). Из приведённых 5-ти рядов – 4 основных (R₅ R₁₀ R₂₀ R₄₀) и 1 дополнительный (R₈₀). Из основных рядов можно составить ряды с ограниченными пределами. Различают стандарты главного. Основных и вспомогательных параметров.

     Главный параметр характеризуется тем, что наиболее полно выражает технологические и эксплутационные показатели изделий, является стабильным, т.е. остаётся неизменным при конструкторских модификациях и технических усовершенствованиях изделий, не зависит от таких часто изменяемых факторов, как технология изготовления, применяемое сырьё. Отсюда и стандарты на ряды главных параметров длительное время не подвергаются изменениям. 

     Стандарты основных параметров устанавливают наиболее рациональные типы и виды изделий и являются перспективными.

     Параметры, зависящие от конструкции и методов производства, являются вспомогательными и должны систематически пересматриваться. Важнейшие требования к параметрическим рядам – обеспечение взаимной увязки нескольких типов изделий. Так, предполагается, что ряд R₅ – наиболее пригоден для установления емкостей котлов для предприятий общественного питания.

     Главный и основной параметры должны характеризовать технические условия, эксплуатационные и технологические возможности изделия.

     Для построения оптимального параметрического ряда важно правильно выбрать характер градации, т.е. расчленить переходный процесс на последовательно расположенные этапы. Параметрические ряды имеют большое значение для осуществления унификации и агрегатирования.