Расчет центрально сжатых элементов

Сжатые элементы бывают центрально сжатыми и внецентренно сжатыми. Далее рассматриваются только центрально сжатые, то есть такие, сжимающие силы на которые, приложены к центрам тяжести их сечений.

К центрально сжатым конструкциям относят: некоторые симметрично загруженные колонны, стойки, элементы стропильных ферм и др.

Центрально сжатые конструкции рассчитывают по прочности по формуле (2.9)

 

где N – сжимающая сила, действующая на элемент; А_n – площадь сечения элемента нетто. Проверка прочности необходима только в том случае, если в конструкции имеются ослабления (отверстия, выемки) которые уменьшают ее сечение, если их нет, проводится только расчет общей устойчивости.

Расчет общей устойчивости выполняют по формуле

                                                                                         (2.11)

где N – сжимающая сила, действующая на элемент; φ – коэффициент устойчивости, который определяется в зависимости от гибкости рассчитываемого элемента. Свод правил СП 53-102-2004 рекомендует определять коэффициент устойчивости по условной гибкости   и в зависимости от формы сечения стержней. Условная гибкость определяется по формуле

                                                                                         (2.12)

где λ – гибкость элемента; Е – модуль упругости стали, Е = 2,06·10⁵ МПа;

А – площадь сечения элемента брутто;

R_y –  расчетное сопротивление стали взятое по пределу текучести;

γ _с – коэффициент условия работы элемента.

В сжатых конструкциях также следует ограничивать гибкость λ. Гибкость проверяют по формуле (2.10). Предельные гибкости сжатых элементов см. табл. 2.5 Приложения 2. Расчетные длины для колонн определяют по формуле (2. 8); для стержней ферм см. табл. 11 СНиП II-23-81*.

Кроме прочности, общей устойчивости, и проверки гибкости, в сжатых элементах может возникнуть необходимость проверки местной устойчивости. Расчеты местной устойчивости в настоящем практикуме не рассматриваются.

Примеры расчета к параграфу 2.7

Пример 2.15. Подобрать стержень основной стальной колонны общественного здания. Стержень колонны выполнен из прокатного двутавра с параллельными гранями полок. Нагрузка N = 400 кН. Коэффициент надежности по ответственности γ _n = 0,95. Длина колонны l = 2,8 м. Расчетная схема колонны и ее сечение см. рис. 2.21.

Рис.2.21. Расчётная схема колонны (а) и сечение колонны

из прокатного двутавра(б). К примеру 2.15, задаче 2.23

 

Решение.

1. Принимаем сталь С245. Определяем расчетное сопротивление стали по пределу текучести (табл. 2.1 Приложение 2), назначая толщину проката от 2 до 20 мм, Ry = 240 МПа = 24 кН/см2.

2. Так как колонна не имеет ослаблений в сечении, расчет прочности не производим. Рассчитываем колонну на общую устойчивость.

Коэффициент условия работы определяем по табл. 2.2 Приложения 2. Для колонны общественного здания γ _c = 0,95.

Задаемся коэффициентом устойчивости φ= 0,7. Из формулы (2.11) определяем требуемую площадь сечения

 

 

3. По требуемой площади подбираем двутавр. Принимаем по ближайшему большему значению (табл. 2.6 Приложение 2) двутавр 23Б1; характеристики двутавра: А = 32,91 см²; i_x = 9,54 см, i_y = 2,47 см.

4.Проверяем подобранное сечение:определяем наибольшую фактическую гибкость (наибольшая гибкость будет относительно оси у, так как радиус инерции относительно оси у меньше радиуса инерции относительно оси х, а расчетные длины колонны относительно этих осей одинаковы).

Находим значение расчетной длины колоны (формула 2.8)

                               l_ef = μ l = 1,0 · 2,8 = 2,8 м.

Определяем наибольшую гибкость (формула 2. 10)λ _y = l_ef / i_y = 280/2,47 = 113,4.

 По наибольшей гибкости, определяем условную гибкость (формула 2.12)

                

Фактическое значение коэффициента устойчивости определяем по табл. 2.3 Приложение 2 с учетом формы сечения стержня, φ = 0,47 (определено с интерполяцией).

Проверяем общую устойчивость по формуле (2.11)

 

общая устойчивость не обеспечена, так как полученные напряжения больше расчетного сопротивления стали. Увеличиваем сечение двутавра.

Принимаем двутавр с большими расчетными характеристиками – двутавр № 26Б1, характеристики двутавра: А = 35,62 см²; i_x = 10,63 см, i_y = 2,63 см.

Проверяем новое сечение:

λ _y = l_ef / i_y = 280 / 2,63 = 106,5;

 φ = 0,524;

 

Общая устойчивость обеспечена.

Проверяем гибкость. Для основных колонн предельная гибкость определяется как λ_пред   = 180 – 60 α (табл. 2.5 Приложение 2),

где α = N γ _n /(φ ΑR_y γ _c)= 400·0,95/ (0,524·35,62·24·0,95) = 0,893 > 0,5;

λ_пред. = 180 – 60α = 180 − 60·0,893 = 126,4;     

λ _y = 106,5 < λ_пред. = 126,4 гибкость в пределах нормы, следовательно, жесткость стержня колонны достаточна.

Принимаем стержень колонны из широкополочного двутавра 26 Б1.

Пример 2.16. Проверить общую устойчивость стержня основной колонны, ее расчетная схема и сечение см. рис. 2.22.

Рис.2.22. Расчётная схема колонны (а) и сечение колонны,

сваренное из стальных листов (б). К примеру 2.16

 

Нагрузка N = 2800 кН. Коэффициент надежности по ответственности γ _n = 0,95. Коэффициент условия работы γ _с = 1,0. Длина колонны l = 6 м. Стержень колонны сварен из листов: сечения листов полок 300×14 мм, сечение стенки 300×10 мм. Сталь С345.

Решение.

1. Определяем расчетное сопротивление стали по пределу текучести (табл. 2.1 Приложения 2) R_y = 315 МПа = 31,5 кН/см².

2. Расчетная длина колонны (формула 2.8)  l_ef = μ l = 0,7 · 6,0 = 4,2 м.

3. Находим площадь сечения колонны А = 2 · 30 · 1,4 + 30 · 1,0 = 114 см².

4. Определяем меньший момент инерции сечения колонны, таким будет момент инерции относительно оси у (при определении момента инерции стенкой пренебрегаем)

  I_у = 2(t_f b_f ³/12) = 2(1,4·30³/12) = 6300 см⁴.

5. Определяем радиус инерции

6. Находим гибкость по формуле (2.10) λ = l_ef / i_у = 420/7,4 = 56,8;

условная гибкость по формуле (2.12)

                        

7. По табл. 2.3 Приложения 2 находим значение коэффициента устойчивости (с учетом формы сечения стержня) φ = 0,794.

8. Проверяем общую устойчивость по формуле (2.11)

условие (2.11) выполняется, общая устойчивость обеспечена.

9. Проверяем гибкость.

Находим предельную гибкость (табл. 2.5 Приложения 2):

       α = N γ _n /(φ ΑR_y γ _c)= 2800·0,95/ (0,794·114·31,5·1,0) = 0,93 > 0,5;

λ_пред. = 180 – 60α = 180 − 60·0,93 = 124,2;     

λ _y = 56,8 < λ_пред. = 124,2.   

Гибкость стержня колонны в пределах нормы.

Принятое сечение стержня колонны обеспечивает ее общую устойчивость и удовлетворяет требованиям жесткости.

Пример 2.17. Подобрать сечение центрально сжатого стержня решетки стальной стропильной фермы (рис. 2.23) выполненного из двух спаренных уголков. На стержень действует усилие N = 300 кН (нагрузка статическая); γ _n = 1,0. Длина стержня (расстояние между узлами фермы) l = 3000 мм. Толщина фасонки t = 10 мм. Сталь С345.

Рис.2.23. Сжатый элемент фермы. К примеру 2.17

 

Решение.

1. Расчетное сопротивление стали по пределу текучести (табл. 2.1 Приложение 2) R_y = 315 МПа = 31,5 кН/см² (при толщине проката 2-20 мм).

2. Определяем коэффициент условий работы, принимая гибкость λ ≥ 60 (табл. 2.2 Приложение 2), γ _c = 0,95.

3. Определяем расчетные длины стержня (см. табл. 11 СНиП II-23-81*): расчетная длина в плоскости фермы l_{ef , х} = 0,8 l = 0,8·3,0 = 2,4 м; расчетная длина в плоскости, перпендикулярной плоскости фермы l_{ef , у1} = l = 3,0 м.

4. Задаемся гибкостью (λ = 100), условная гибкость  коэффициент устойчивости φ определяем по типу кривой устойчивости с (табл. 2.3 Приложения 2), φ= 0,416 (с интерполяцией).

5. Находим требуемую площадь сечения стержня из формулы (2.11)

 

по сортаменту прокатной угловой стали (табл. 2.7 Приложение 2) подбираем уголки, учитывая, что сечение стержня состоит из двух уголков. Требуемая площадь одного уголка А = 24,1/2 = 12,0 см², принимаем ∟90×90×7: А = 12,28 см², i_х = 2,77 см, характеристики спаренного сечения: А = 24,56 см, i_{у, 1}= 4,06 см. Расстояния между соединительными прокладками обеспечивающими совместную работу уголков, для сжатых элементов принимается не более 40 i_х.

а = 40 i_х = 40·2,77 = 110,8 см, принимаем а = 100 см.

6. Определяем фактическую гибкость стержня относительно осей х и у:

λ_х = l_ef,х / i_х = 240/2,77 = 86,6; λ_у = l_ef,у / i_{у, 1} = 300/4,06 = 73,9.

По большему значению гибкости определяем условную гибкость  коэффициент устойчивости (с интерполяцией) φ = 0,492 (табл. 2.3 Приложение 2).

7. Проверяем общую устойчивость

 

условие (2.11) выполняется, общая устойчивость обеспечена.

8. Проверяем гибкость.

 Находим предельную гибкость (табл. 2.5 Приложение 2):

α = N γ _n /(φ ΑR_y γ _c)= 300·1,0/ (0,492·24,56·31,5·0,95) = 0,83 > 0,5;

λ_пред. = 180 – 60α = 180 − 60·0,83 = 130,2.

λ _х = 86,6 < λ_пред. = 130,2, гибкость стержня в пределах нормы.

Принимаем раскос фермы из двух уголков 2∟90×90×7.

 

 

Задачи для самостоятельной работы к параграфу 2.7

Задача 2.22. Подобрать сечение стержня основной стальной колонны выполненной из прокатного широкополочного двутавра. Нагрузка, действующая на колонну N = 550 кН, коэффициент надежности по ответственности γ _n = 0,95. Сталь С345 – 4 (для сталей с обозначением категории: С345 – 3, С345 – 4, расчетные сопротивления определяются как для стали С345), коэффициент условия работы γ _с = 1. Длина колонны l равна расчетной длине l_ef = 3,2 м. Данные расчета задачи 2.22 будут использованы в задачах 2.26, 2.28, 2.29.

Задача 2.23. Проверить общую устойчивость стальной второстепенной колонны, выполненной из двутавра 20К1. Нагрузка, действующая на колонну,приложена по центру тяжести сечения, N = 100 кН, γ _n = 1,1. Сталь С245, коэффициент условия работы γ _с = 0,95. Колонна шарнирно закреплена вверху и внизу, длина стержня колонны l = 7,0 м.

Задача 2.24. Подобрать сечение центрально сжатого стержня решетки стальной стропильной фермы (конструкцию стержня см. на рис. 2.23) выполненного из двух спаренных уголков. На стержень действует сжимающее усилие N = 500 кН (нагрузка статическая); γ _n = 1,0. Расчетные длины: l_{ef , х} = 3,5 м, l_{ef , у} = 3,5 м. Толщина фасонки t = 12 мм. Сталь С245. Коэффициент γ _с определить по табл. 2.2 Приложения 2.

Задача 2.25. Проверить общую устойчивость центрально сжатого пояса стропильной фермы, выполненного из прокатных уголков (конструкцию элемента сжатого пояса фермы см. на рис. 2.23). Нагрузка статическая N = 400 кН, γ _n = 1,0. Сталь С345, коэффициент условия работы γ _с определить по табл. 2.2 Приложения 2. Расчетные длины: l_{ef , х} = 3,0 м, l_{ef , у} = 3,0 м. Сечение пояса фермы состоит из двух уголков 2∟110×110×8.

 

 

Расчет элементов колонн

В колоннах кроме стержня (см. примеры 2.15; 2.16) необходимо рассчитывать и конструировать ее верхнюю часть – оголовок и нижнюю часть – базу.

Оголовки колонны

Оголовок обеспечивает передачу нагрузок от балок на стержень колонны.

                    

Рис.2.24 Оголовок колонны. К задаче 2.26:

1 – опорное ребро оголовка; 2 – опорная плита; 3 – опорные рёбра балок;

4 – стальная прокладка

Конструкция оголовка во многом зависит от способа передачи на колонну давления от балок. Простейшее опирание балок получается при свободном сопряжении, когда балки передают опорные реакции через фрезерованные торцы опорных ребер (рис. 2.24). Толщина опорной плиты оголовка принимается без расчета 16–25 мм. В случае, если ширина колонны из прокатного двутавра меньше, чем ширина опорных ребер балок, плита поддерживается траверсами (рис. 2.25).

Рис.2.25. Оголовок колонны с траверсами. К примеру 2.18, задаче 2.27:

1 – траверсы; 2 – опорная плита; 3 – опорные рёбра балок

 

Базы колонны

База обеспечивает крепление колонны и передает нагрузки на фундамент. Существует много различных конструкций баз. Самая простая конструкция базы колонны состоит из опорной плиты, которая приварена к стержню. Колонна крепится к фундаменту анкерными болтами за опорную плиту. Подобное крепление считается шарнирным.

Рис.2.26. База колонны. К примеру 2.20:

1 - опорная плита; 2 – фундамент; σ_ф – напряжение в фундаменте под плитой

 

Опорная плита передает давление на фундамент р = σ_ф (рис. 2.26). Размеры опорной плиты должны обеспечивать передачу такого давления, которое способен выдерживать бетон фундамента

               σ_ф = N / A _пл ≤ R_{b , loc} ,                                              (2.13)

где N – усилиепередаваемое от колонны на фундамент; A _пл – площадь опорной плиты базы колонны; R_{b , loc} – расчетное сопротивление бетона фундамента местному сжатию (приближенно значение R_{b , loc} можно принять равным призменной прочности бетона R_b (см. подраздел 3.1)).

Рис.2.27. База колонны с траверсой:

1 – опорная плита; 2 – траверса.

 

Для обеспечения большей жесткости опорной плиты, к ней приваривают вертикальные листы (траверсы), которые разделяют плиту на отдельные пластины, что ведет к уменьшению требуемой толщины опорной плиты (рис. 2.27).

Примеры расчета к параграфу 2.8

Пример 2.18. Рассчитать оголовок колонны, общая устойчивость стержня которой была проверена в примере 2.15. Нагрузка на оголовок N = 400 кН, γ _n = 0,95. Нагрузка передается через опорные ребра балок шириной b _о = 155 мм. Сталь С245, γ _с = 0,95. Конструкция оголовка см. рис. 2.25.

Решение.

1. Принимаем толщину опорной плиты оголовка равную t _пл = 20 мм.

2. Определяем площадь опорных ребер оголовка из условия сопротивления их смятию давлением, передаваемым через опорные ребра балок. Расчетное сопротивление смятию при наличии пригонки поверхностей R_р = 327 МПа = 32,7 кН/см² (см. табл. 52* СНиП II-23-81*). Площадь сечения двух ребер А_р определяем из формулы                                     (2.14)

Принимаем ширину опорного ребра жесткости из конструктивных соображений, равную ширине опорного листа b _р = 200 мм. Определяем толщину ребра t _р = А _р/2 b _р = 12,23/400 = 0,03 см, принимаем толщину ребра 6 мм.

3. Определяем длину опорного ребра жесткости исходя из требуемой длины сварного шва; условно считается, что сварной шов ребер воспринимает все давление от опорных реакций балок. Принимаем ручную сварку электродами Э46 – R_wf = 200 МПа = 20 кН/см²; β _f = 0,7; β _z = 1,0; С245 – R_un = 370 МПа = 37 кН/см². Проверяем выполнение условия (2.2), β _fR_wf /(0,45β _zR_un)<1; 0,7·20/(0,45·1,0·37) = 0,84 < 1, условие (2.2) выполняется, следовательно, расчет производим по металлу шва. Принимаем высоту катета шва k_f = 0,6 мм. Из формулы (2.3) определяем требуемую длину шва, учитывая, что два ребра прикрепляются четырьмя швами

l_w = N γ _n /(4β _f k_f R_wf γ _с) = 400·0,95/(4·0,7·0,6·20·1,0) = 11,3 см, с учетом дефектов швов, длину каждого шва (длину ребра) увеличиваем на 10 мм, округляем и принимаем h_р = l_w = 125 мм.

В случае проектирования траверс, их расчет выполняется аналогично.

Пример 2.19. Рассчитать базу колонны без опорных ребер жесткости, стержень которой был подобран в примере 2.15. Нагрузка N = 400 кН, γ _n = 0,95. Сталь С245, γ _с = 0,95. стержень из двутавра № 26 Б1.

Решение.

1. По сортаменту (табл. 2. 6 Приложение 2) устанавливаем размеры сечения двутавра: h = 258 мм, b = 120 мм, s =5,8 мм, t = 8,5 мм.

2. Принимаем класс прочности бетона фундамента – В15, расчетное сопротивление бетона сжатию R_b = 8,5 МПа (см. подраздел 3.1). Принимаем R_b,loc = R_b = 8,5 МПа = 0,85 кН/см².

3. Определяем из формулы (2.13) размер площади опорной плиты колонны А _пл = N γ _n / R_b,loc = 400·0,95/0,85 = 447 см². Принимаем плиту квадратной с размерами сторон см, окончательно назначаем размеры опорной плиты с учетом размеров стержня колонны и способа ее крепления к фундаменту, а = b = 300×300 мм.

4. Определяем толщину опорной плиты. Для этого находим возникающие в ней изгибающие моменты от реакции фундамента. Пренебрегая точностью расчетов и учитывая, что на фундамент передается относительно небольшая нагрузка, можно определить изгибающий момент в плите, как в консоли загруженной снизу давлением σ_ф (рис. 2.26). По формуле (2.13) σ_ф = N γ _n /(аb)= 400·0,95/(30·30) = 0,42 кН/см²; принимаем длину консоли равную расстоянию от стенки стержня колонны до свободной грани опорной плиты l _к ≈ 15см (рис. 2.28); Максимальный изгибающий момент в плите М = σ_ф l _к²/2 = 0,43·15²/2 = 48,4 кН см.

Рис.2.28. Расчётная схема консольной части опорной плиты. К примеру 2.19

 

Толщину плиты определяем через момент сопротивления полосы плиты шириной 1 см, которая изгибается в направлении своей толщины                W _пл = 1см· t _пл²/6, подставляя значение момента сопротивления в уравнение (2.15) M/W = R_y γ _с; получаем (учитывая расчетное сопротивление стали R_у = 23 кН/см²),  принимаем толщину плиты t _пл = 40 мм.

Задачи для самостоятельной работы к параграфу 2.8

Задача 2.26. Рассчитать оголовок колонны с опорными ребрами жесткости (конструкцию см. на рис. 2.24). Данные для расчета принять по задаче 2.22. Нагрузка на оголовок передается двумя опорными ребрами балок шириной b _о = 180 мм, толщиной t _р = 20 мм. Расчетное сопротивление смятию при наличии пригонки поверхностей R_р = 427 МПа (см. табл. 52* СНиП II-23-81*). Данные расчета задачи 2.26 будут использованы в задаче 2.29.

Задача 2.27. Рассчитать оголовок колонны с траверсами (рис. 2.25). Данные для расчета принять по примеру 2.16. Нагрузка на оголовок (N = 2800 кН, γ _n = 0,95) передается двумя опорными ребрами балок шириной b _о = 200 мм, толщиной t _р = 20 мм. Расчетное сопротивление смятию при наличии пригонки поверхностей R_р = 427 МПа (см. табл. 52* СНиП II-23-81*).

Задача 2.28. Рассчитать базу колонны без траверс по данным задачи 2.22, нагрузка действующая на базу колонны N = 550 кН,γ _n = 0,95; сталь С345, γ _с = 1,0; бетон фундамента В25, R_b = 14,5 МПа; стержень колонны выполнен из двутавра №16 Б1.Данные расчета задачи 2.28 будут использованы в задаче 2.29.

 

 

Конструирование колонны

После выполнения расчетов всех элементов конструкции, выполняются ее чертежи, и составляется спецификация металла. В спецификации указывается принятая сталь, подсчитываются массы каждого элемента конструкции и в целом отправочной марки, заполняя графы обозначенные буквой «т» и буквой «н», имеют в виду, что изображенный на чертеже элемент может изготавливаться (так) – как его видят, или (наоборот) – в зеркальном отображении. Кроме масс основных элементов, учитывают массу наплавляемого металла, составляющую 1,0 - 2% от массы конструкции.

Чертеж колонны рассчитанной в примерах: стержень колонны в примере 2.15, оголовок – в примере 2.18, база – в примере 2.19 см. рис. 2.29, спецификация металла для чертежа колонны приведена в табл. 2.1.

 

 

Рис.2.29. Чертёж колонны

(спецификацию металла см. в табл.2.1)

 

Таблица 2.1

Спецификация металла

Сталь С245, ГОСТ 27772
Отправочная марка	Позиция	Кол-во			Сечение	Длина, мм	Масса, кг			Примечание
		Т		Н			Сбороч ной марки	Общая	Всего
Колонна К-1	1		1		I № 26Б1	2740	76,72	76,72	118,0	Торцы фрезеровать
	2		2		- 125×6	200	1,18	2,36		Фрезеровать
	3		1		- 200×20	300	9,4	9,4
	4		1		- 300×40	300	28,3	28,3
	1,0 % наплавляемый металл при сварке. Св. проволока Св-08А, электроды Э42А.							1,2

 

Задача для самостоятельной работы к параграфу 2.9

Задача 2.29. Выполнить чертеж и составить спецификацию металла колонны, стержень которой рассчитан в задаче 2.22, оголовок – в задаче 2.26, база – в задаче 2.28.

Расчет изгибаемых элементов

К изгибаемым элементам относят: балки, прогоны, настилы и др. Здесь рассматриваются однопролетные изгибаемые элементы, работающие на прямой изгиб.

На относительно несложные по назначению и конструкции балки, достаточно часто действуют равномерно распределенные нагрузки. Иногда равномерно распределенные нагрузки действуют в комбинации с сосредоточенными силами.

В сечениях балок под воздействием нагрузок возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q. В результате воздействия моментов, в балке появляются нормальные напряжения σ, и в результате воздействия поперечной силы - касательные напряжения τ.

Расчет балок производят по прочности (первая группа предельных состояний) и проверяют их прогибы (вторая группа предельных состояний).

Сечения балок могут приниматься из прокатных изделий (двутавров, швеллеров), или выполняться составного сечения (свариваться из листов). В соответствии с программой учебной дисциплины, рассматриваем балки, выполненные из прокатных профилей.

Расчет прочности на действие нормальных напряжений σ производим по формуле

                                                                                          (2.15)

где М – изгибающий момент, действующий в расчетном сечении; W_n – момент сопротивления сечения нетто, относительно плоскости изгиба балки; R_y – расчетное сопротивление стали принятое по пределу текучести; γ_с – коэффициент условия работы.

Расчет прочности на действие касательных напряжений τ производим по формуле

                                                                                        (2.16)

где Q _max – наибольшая поперечная сила вблизи от опоры; I – момент инерции сечения, относительно плоскости изгиба балки; S – статический момент сдвигаемой части сечения;  t_w – толщина стенки балки; R _s – расчетное сопротивление стали сдвигу(R _s = 0,58 R_у); γ_с – коэффициент условия работы.

Проверка жесткости балки,если балка загружена равномерно распределенной нагрузкой, производится по формуле

                                                                                 (2.17)

где f – прогиб балки, f_u – предельный вертикальный прогиб балки (см п.10.7 СНиП 2.01.07.-85*); I – момент инерции сечения относительно плоскости изгиба, см⁴; Е – модуль стали (Е = 2,06·10⁴ кН/см²); q_n – нормативная нагрузка, приходящаяся на погонный сантиметр балки, кН/см; l_ef – расчетный пролет балки, см. Формулы для определения прогибов в случае других схем нагружения балок (консольные балки, сосредоточенные силы и др.) приводятся в справочной литературе.

Примеры расчета к параграфу 2.10

Пример 2.20. Подобрать сечение балки выполненной из прокатного широкополочного двутавра (рис. 2.30).

 

Рис.2.30. Конструктивная и расчётная схема балки с эпюрами

моментов и поперечных сил. К примеру 2.20

 

 

Нагрузки, действующие на балку:

             q_n = 30 кН/м;       q = 35 кН/м,              γ _n = 1,0.

Балка перекрытия промышленного здания, коэффициент условия работы γ _с = 1,0. Длина балки в осях (номинальная)       l = 6000 мм, конструктивная длина 5960 мм, расчетная l_ef  = 5800 мм. Предельный прогиб в соответствии с конструктивными требованиями равняется f_u =  l_ef /150.

Решение.

1. Принимаем сталь С245, R_y = 240 МПа = 24,0 кН/см² (табл. 2.1 Приложения 2).

2. Определяем максимальные значения, расчетного момента и поперечной силы

М _max = (q γ _n) l_ef ²/8 = 35·1,0·5,8²/8 = 147,2 кН м = 14720 кН см,

Q _max = (q γ _n) l_ef /2 = 35·1,0·5,8/2 = 101,5кН.

3. Из формулы (2.15) определяем требуемый момент сопротивления относительно оси изгиба  

4. По табл. 2.6 Приложения 2, в соответствии с требуемым моментом сопротивления принимаем двутавр 35Б2, выписываем его характеристики: W_х  = 662,2см³, I_х = 11550 см⁴, S _x = 373,0 см³, t = 10 мм.

5.Выполняемрасчет прочности на действие касательных напряженийпо формуле (2.16), в которой расчетное сопротивление

  R _s = 0,58 R_у = 0,58·24 = 13,92 кН/см²

                                                                               

прочность на действие касательных напряжений обеспечена.

6. Проверяем жесткость балки по формуле (2.17). При проверке жесткости, модуль упругости Е = 2,06·10⁴ кН/см²; нагрузку определяем на один сантиметр длины балки q_n = 30 кН/м = 0,3 кН/см; предельный прогиб f_u = l_ef /150 = 580/150 = 3,9 см

 

прогиб в пределах требований норм – жесткость балки достаточна.

7. Проверяем прочность подобранного сечения балки по нормальным напряжениям по формуле (2.15)

условие (2.15) выполняется, прочность обеспечена. Принимаем для изготовления балки широкополочный двутавр № 35Б2. Длина двутавра принимается в соответствии с конструктивной длинной балки l = 5960 мм.

 

 

Задачи для самостоятельной работы к параграфу 2.10

Задача 2.30. Проверить прочностьи прогибстальной балки, из прокатного двутавра № 23Б1. Сталь С245. Балка располагается под перекрытием магазина. Значение коэффициента γ _с  установить по табл. 2.2 Приложения 2. Нагрузки: q_n = 20 кН/м; q = 22 кН/м, γ _n = 1,0. Расчетная длина балки l_ef  = 3750 мм. Предельный относительный прогиб в соответствии с конструктивными требованиями f_u = l_ef /150.

Задача 2.31. Собрать нагрузку на один погонный метр балки и подобрать ее сечение (сбор нагрузок выполнить аналогично с примером 1.12). Выполнить проверку прогибов. Балки перекрытия выполнены из прокатного широкополочного двутавра (рис. 2.31).

 

Рис.2.31. План перекрытия. К задаче 2.31

 

Нагрузка на один квадратный метр перекрытия: q_n ^перекр = 8кПа, q ^перекр = 9 кПа. Шаг балок а = 2,5 м. Погонная нагрузка от веса балки (приближенно): q _n ^б = 0,40 кН/м, q ^б = q_n ^б γ _f = 0,40 · 1,05 = 0,42 кН/м. Коэффициент γ _n = 0,95. Расчетная длина балки l_ef = 5,8 м. Сталь С345, γ _с = 1,0. Предельный относительный прогиб в соответствии с эстетико-психологическими требованиями f_u = l_ef /200. Данные расчета задачи 2.31 будут использованы в задаче 2.34.

Задача 2.32. Подобрать сечение балки Б-1, из прокатного широкополочного двутавра, опирающуюся на столики колонны (рис. 2.32) и проверить ее прогиб. На балку действует погонная нагрузка (с учетом веса балки): q_n = 28 кН/м; q = 31 кН/м, коэффициент γ _n = 0,95. Сталь С245, γ _с = 1,0.

 

Рис.2.32. Схема опирания балки на опорные столики колонн. К задаче 2.32

 

 Пролет l = 5000 мм, расстояние, а = 175 мм, толщина опорного ребра 20 мм. Предельный относительный прогиб в соответствии с конструктивными требованиями 

f_u = l_ef /150. Данные расчета задачи 2.32 будут использованы в задаче 2.35.

Задача 2.33. Подобрать сечение балки Б-2 и проверить ее прогиб. Балка из прокатного широкополочного двутавра, опирается через болтовые соединения на балки Б-1. Расчетный пролет балки принять равным расстоянию между опорными болтами (рис. 2.14). Нагрузка действующая на 1 м² перекрытия (с учетом веса балок) q_n ^п = 7,0 кПа, q ^п = 8,2 кПа, γ _n = 1,0. Шаг балок Б-2, а = 2,5 м. Сталь С245, γ _с = 1,0. Предельный относительный прогиб в соответствии с конструктивными требованиями f_u = l_ef /150. Данные расчета задачи 2.33 будут использованы в задаче 2.36.

Расчет опорных ребер балок

        Опирание балок на колонны часто выполняют через опорные ребра, которые приваривают к торцам балки. Опорные ребра укрепляют стенку и передают опорные реакции балки. Торцевая поверхность опорного ребра для плотного соприкосновения с колонной фрезеруется.

Расчет опорных ребер производят на действие сжимающей силы Q, равной опорной реакции балки. Выполняют следующие расчеты: на прочность по ослабленному отверстиями для болтов сечению (по формуле 2.9); на смятие торцевой поверхности; на устойчивость. При расчете на устойчивость считается, что совместно с опорным ребром работает участок стенки балки длинной    откладываемый в каждую сторону от ребра. Конструкцию опорных ребер и их расчетные сечения при расчетах на устойчивость см. рис. 2. 33.

 

Рис.2.33. Конструкция опорного ребра:

а – в торце балки; б – удалённого от торца балки

 

Расчет ребра на смятие выполняют по формуле (2.14)

 где N принимается равная опорной реакции балки Q; площадь сечения ребра А _р= b_рt_р. Опорное ребро часто выступает вниз, за пределы нижнего пояса балки на а = 15 – 20 мм, оно назначается толщиной t_р = 14 – 20 мм, при этом если выполняется соотношение а ≤ 1,5 t_р – расчет устойчивости ребра производят по формуле                        (2.18)                                                                                    

где Q – опорная реакция балки; φ – коэффициент продольного изгиба, определяется как для центрально сжатого элемента по формуле (2.12), где за расчетную длину ребра принимают высоту стенки; R_р – расчетное сопротивление стали на смятие (табл. 52* СНиП II – 23 - 81*).

В балках также проверяется местная устойчивость стенки и при необходимости стенка укрепляется ребрами жесткости. Расчеты местной устойчивости стенки в Практикуме не рассматриваются.

 

Примеры расчета к параграфу 2.11

Пример 2.21. Рассчитать опорное ребро балки, сечение которой подобрано в примере 2.20 (в случае опирания балки сверху на колонны). Балка выполнена из прокатного двутавра № 35Б2, сталь С245, γ _с = 1,0. На ребро передается опорная реакция равная максимальному значению поперечной силы Q = 101,5 кН.

Решение.

1. Задаемся конструкцией и размерами ребра; принимаем прикрепление ребра на сварке с торца балки. Размеры ребра назначаем с учетом размеров двутавра. Ребро выступает за грань нижней полки на а = 20 мм и не доходит до верха двутавра для обеспечения приварки ребра к полке угловым швом; высота ребра h_р = 360 мм, ширина b_р = 155 мм, толщина t_р = 16 мм.Соотношение

а = 20 мм ≤ 1,5 t_р = 1,5·16 = 24 мм выполняется, расчет на устойчивость производим по формуле (2.18).

2. По табл. 52* СНиП II-23-81* устанавливаем значение расчетного сопротивления стали на смятие, при подгонке торцевой поверхности ребра R_р = 327 МПа = 32,7 кН/см²; площадь сечения ребра А_р = t_р b_р = 1,6·15,5 = 24,8 см².

3. Выполняем расчет ребра на смятие по формуле (2.14)

 условие (2.14) выполняется, прочность на смятие обеспечена.

4. Выполняем расчет устойчивости ребер по формуле (2.18). Для нахождения коэффициента устойчивости φ, сначала определяем момент инерции расчетного сечения относительно продольной оси балки z–z (рис. 2.33, а), затем радиус инерции расчетного сечения относительно оси z–z, гибкость и условную гибкость сечения. Вместе с ребром работает участок стенки длиной, равной b_w:

I_z = t_рb_р ³/12 + b_wt_w ³/12 = 1,6·15,5³/12 + 12·0,65³/12 = 496,8 см⁴;

А _ст = b_wt_w + t_рb_р = 12·0,65 + 1,6·15,5 = 32,6 см²;

 λ = h_w / i_z = (34,9 – 2·1,0)/3,9 = 8,4;

 по условной гибкости в табл. 2.3 Приложения 2 определяем коэффициент устойчивости φ = 0,992. Проверяем устойчивость

Устойчивость опорного ребра обеспечена.