Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Определение. Два события называются независимыми, если появление (или непоявление) одного из них не меняет вероятность появления другого события (или непоявления).

Пример.

1) Работа автоматических линий, которые не взаимосвязаны. А и В – остановки этих линий – независимые события.

2) Опыт состоит в бросании двух монет. События:  – появление герба на первой монете;  – появление герба на второй монете.

Заметим, что вероятность события  не изменяется, произошло ли событие  или нет. То же самое можно сказать и о вероятности события . События  и  независимы.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Задача. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,08. Предполагая, что оба события независимы, определить вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы. 

Решение.

Введем события:

 - потребитель увидит рекламу по телевидению;

 - потребитель увидит рекламу на стенде;

 - потребитель увидит обе рекламы;

 - потребитель увидит хотя бы одну рекламу.

События  и  независимые.

По условию задачи, вероятности ; .

Нужно найти вероятность .

В наших обозначениях событие  - потребитель увидит две рекламы – это произведение событий . Поскольку события  и  независимы, то .

Ответ: .

Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Определения.

Событие  называется зависимым от события , если вероятность появления события  зависит от того, произошло или не произошло событие .

Вероятность того, что произошло событие  при условии, что произошло событие , будем обозначать  и называть условной вероятностью события  при условии .

Пример. Пример зависимых событий.

В ящике 2 белых шара и 4 черных шара. Из ящика вынимают один шар (первое вынимание), затем второй шар (второе вынимание).

События:  – появление белого шара при первом вынимании;  – появление белого шара при втором вынимании.

Очевидно, что вероятность события , если   произошло, будет равна

.

Вероятность события , если   не произошло (при первом вынимании появился черный шар), будет равна

.

Видим, что .

 

Пример.

1) Несовместные события – это, например, пара противоположных событий:

· А – выпал орел, В – выпала решка;

· А – выпало 5 очков, В – выпало любое число очков, кроме 5;

· А – наступилохотя бы одно из событий А1, А2; 

В – не наступило ни одно из событий А1, А2.

 

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий